En física matemática , la teoría cuántica de campos no conmutativa (o teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo no conmutativo) es una aplicación de las matemáticas no conmutativas al espacio-tiempo de la teoría cuántica de campos que es una consecuencia de la geometría no conmutativa y la teoría de índices en las que las funciones de coordenadas [1] son no conmutativas. . Una versión comúnmente estudiada de tales teorías tiene la relación de conmutación "canónica":
donde y son los generadores hermitianos de un álgebra no conmutativa de "funciones en el espacio-tiempo". Eso significa que (con cualquier conjunto de ejes), es imposible medir con precisión la posición de una partícula con respecto a más de un eje. De hecho, esto conduce a una relación de incertidumbre para las coordenadas análoga al principio de incertidumbre de Heisenberg .
Se han afirmado varios límites inferiores para la escala no conmutativa (es decir, con qué precisión se pueden medir las posiciones), pero actualmente no hay evidencia experimental a favor de tal teoría ni motivos para descartarlos.
Una de las características novedosas de las teorías de campos no conmutativas es el fenómeno de mezcla UV/IR [2] en el que la física a altas energías afecta a la física a bajas energías, algo que no ocurre en las teorías cuánticas de campos en las que las coordenadas conmutan.
Otras características incluyen la violación de la invariancia de Lorentz debido a la dirección preferida de la no conmutatividad. Sin embargo, la invariancia relativista puede conservarse en el sentido de la invariancia retorcida de Poincaré de la teoría. [3] La condición de causalidad se modifica respecto a la de las teorías conmutativas.
Heisenberg fue el primero en sugerir extender la no conmutatividad a las coordenadas como una posible forma de eliminar las cantidades infinitas que aparecen en las teorías de campos antes de que se desarrollara y ganara aceptación el procedimiento de renormalización . El primer artículo sobre el tema fue publicado en 1947 por Hartland Snyder . El éxito del método de renormalización hizo que durante algún tiempo se prestara poca atención al tema. En la década de 1980, los matemáticos, sobre todo Alain Connes , desarrollaron la geometría no conmutativa . Entre otras cosas, este trabajo generalizó la noción de estructura diferencial a un entorno no conmutativo. Esto llevó a una descripción algebraica del operador del espacio-tiempo no conmutativo , con el problema de que clásicamente corresponde a una variedad con tensor métrico definido positivamente , de modo que no hay descripción de causalidad (no conmutativa) en este enfoque. Sin embargo, también condujo al desarrollo de una teoría de Yang-Mills sobre un toro no conmutativo .
La comunidad de física de partículas se interesó en el enfoque no conmutativo gracias a un artículo de Nathan Seiberg y Edward Witten . [4] Argumentaron en el contexto de la teoría de cuerdas que las funciones de coordenadas de los puntos finales de cuerdas abiertas constreñidas a una brana D en presencia de un campo B constante de Neveu-Schwarz, equivalente a un campo magnético constante en la brana, satisfaría el álgebra no conmutativa establecida anteriormente. La implicación es que una teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo no conmutativo puede interpretarse como un límite de baja energía de la teoría de cuerdas abiertas.
Dos artículos, uno de Sergio Doplicher , Klaus Fredenhagen y John Roberts [5] y el otro de DV Ahluwalia, [6] exponen otra motivación para la posible no conmutatividad del espacio-tiempo. Los argumentos son los siguientes: Según la relatividad general , cuando la densidad de energía crece lo suficiente, se forma un agujero negro . Por otra parte, según el principio de incertidumbre de Heisenberg , una medición de una separación espacio-temporal provoca una incertidumbre en el momento inversamente proporcional a la extensión de la separación. Así, la energía cuya escala corresponde a la incertidumbre del momento se localiza en el sistema dentro de una región correspondiente a la incertidumbre de la posición. Cuando la separación es lo suficientemente pequeña, se alcanza el radio de Schwarzschild del sistema y se forma un agujero negro , que impide que cualquier información escape del sistema. Por tanto, existe un límite inferior para la medición de la longitud. Una condición suficiente para evitar el colapso gravitacional puede expresarse como una relación de incertidumbre para las coordenadas. Esta relación puede derivarse a su vez de una relación de conmutación de las coordenadas.
Vale la pena enfatizar que, a diferencia de otros enfoques, en particular aquellos que se basan en las ideas de Connes, aquí el espaciotiempo no conmutativo es un espaciotiempo propio, es decir, extiende la idea de una variedad pseudo-riemanniana de cuatro dimensiones . Por otro lado, a diferencia de la geometría no conmutativa de Connes, el modelo propuesto resulta ser dependiente de las coordenadas desde cero. En el artículo de Doplicher Fredenhagen Roberts, la no conmutatividad de las coordenadas se refiere a las cuatro coordenadas del espacio-tiempo y no solo a las espaciales.
![{\displaystyle [x^{\mu },x^{\nu }]=i\theta ^{\mu \nu }\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cbe8280e325a601937b8a0fca528a0a3e7dd87)
