Un poliedro geodésico es un poliedro convexo formado por triángulos . Suelen tener simetría icosaédrica , de modo que tienen 6 triángulos en un vértice , excepto 12 vértices que tienen 5 triángulos. Son el dual de los poliedros de Goldberg correspondientes , de los cuales todos, excepto el más pequeño (que es un dodecaedro regular ), tienen caras en su mayoría hexagonales.
Los poliedros geodésicos son una buena aproximación a una esfera para muchos propósitos, y aparecen en muchos contextos diferentes. Los más conocidos pueden ser las cúpulas geodésicas , estructuras arquitectónicas hemisféricas diseñadas por Buckminster Fuller , de las que se nombran los poliedros geodésicos. Las cuadrículas geodésicas utilizadas en geodesia también tienen la geometría de los poliedros geodésicos. Las cápsides de algunos virus tienen la forma de poliedros geodésicos, [1] [2] y algunos granos de polen se basan en poliedros geodésicos. [3] Las moléculas de fulereno tienen la forma de poliedros de Goldberg . Los poliedros geodésicos están disponibles como primitivos geométricos en el paquete de software de modelado 3D Blender , que los llama icosferas : son una alternativa a la esfera UV , que tiene una distribución más regular. [4] [5] La construcción de Goldberg-Coxeter es una expansión de los conceptos subyacentes a los poliedros geodésicos.
En los modelos esféricos de Magnus Wenninger , los poliedros reciben una notación geodésica en la forma {3, q +} b , c , donde {3, q } es el símbolo de Schläfli para el poliedro regular con caras triangulares y vértices de valencia q-. El símbolo + indica que la valencia de los vértices aumenta. b , c representan una descripción de subdivisión, donde 1,0 representa la forma base. Hay 3 clases de formas de simetría: {3,3+} 1,0 para un tetraedro , {3,4+} 1,0 para un octaedro y {3,5+} 1,0 para un icosaedro .
La notación dual para los poliedros de Goldberg es { q +,3} b , c , con vértices de valencia 3, con caras q -gonales y hexagonales. Hay 3 clases de formas de simetría: {3+,3} 1,0 para un tetraedro , {4+,3} 1,0 para un cubo y {5+,3} 1,0 para un dodecaedro .
Los valores de b , c se dividen en tres clases:
Las subdivisiones de la clase III no se alinean simplemente con los bordes originales. Las subcuadrículas se pueden extraer observando un mosaico triangular , colocando un triángulo grande sobre los vértices de la cuadrícula y recorriendo caminos desde un vértice b pasos en una dirección, y un giro, ya sea en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario, y luego otro c pasos hasta el siguiente vértice principal.
Por ejemplo, el icosaedro es {3,5+} 1,0 , y el pentakisdodecaedro , {3,5+} 1,1 se ve como un dodecaedro regular con caras pentagonales dividido en 5 triángulos.
La cara principal de la subdivisión se denomina triángulo poliédrico principal (PPT) o estructura de descomposición . El cálculo de un único PPT permite crear la figura completa.
La frecuencia de un poliedro geodésico se define por la suma de ν = b + c . Un armónico es una subfrecuencia y puede ser cualquier divisor entero de ν . La clase II siempre tiene un armónico de 2, ya que ν = 2 b .
El número de triangulación es T = b 2 + bc + c 2 . Este número multiplicado por el número de caras originales expresa cuántos triángulos tendrá el nuevo poliedro.
El número de elementos se especifica mediante el número de triangulación . Dos poliedros geodésicos diferentes pueden tener el mismo número de elementos, por ejemplo, {3,5+} 5,3 y {3,5+} 7,0 tienen ambos T=49.
Los poliedros geodésicos se construyen subdividiendo las caras de poliedros más simples y luego proyectando los nuevos vértices sobre la superficie de una esfera. Un poliedro geodésico tiene bordes rectos y caras planas que se aproximan a una esfera, pero también se puede hacer como un poliedro esférico (una teselación sobre una esfera ) con bordes curvos geodésicos verdaderos en la superficie de una esfera y caras de triángulos esféricos .
En este caso, {3,5+} 3,0 , con frecuencia y número de triangulación , cada una de las cuatro versiones del polígono tiene 92 vértices (80 donde se unen seis aristas y 12 donde se unen cinco), 270 aristas y 180 caras.
Los poliedros geodésicos son los duales de los poliedros de Goldberg . Los poliedros de Goldberg también están relacionados en que la aplicación de un operador kis (dividir las caras en triángulos con un punto central) crea nuevos poliedros geodésicos, y el truncamiento de los vértices de un poliedro geodésico crea un nuevo poliedro de Goldberg. Por ejemplo, Goldberg G(2,1) kised , se convierte en {3,5+} 4,1 , y al truncarlo se convierte en G(6,3). Y de manera similar, {3,5+} 2,1 truncado se convierte en G(4,1), y que kised se convierte en {3,5+} 6,3 .
El libro Spherical Models de Magnus Wenninger explora estas subdivisiones en la construcción de modelos de poliedros . Después de explicar la construcción de estos modelos, explicó su uso de cuadrículas triangulares para marcar patrones, con triángulos coloreados o excluidos de los modelos. [6]
