Número de Lah

Secuencia matemática

Ilustración de los números Lah sin signo para n y k entre 1 y 4

En matemáticas , los números de Lah (con signo y sin signo) son coeficientes que expresan factoriales ascendentes en términos de factoriales descendentes y viceversa. Fueron descubiertos por Ivo Lah en 1954. ^{[1] [2]} Explícitamente, los números de Lah sin signo se dan mediante la fórmula que involucra el coeficiente binomial ${\displaystyle L(n,k)}$

$${\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}}$$

para . ${\displaystyle n\geq k\geq 1}$

Los números Lah sin signo tienen un significado interesante en combinatoria : cuentan la cantidad de formas en que un conjunto de elementos puede dividirse en subconjuntos ordenados linealmente no vacíos . ^[3] Los números Lah están relacionados con los números de Stirling . ^[4] ${\textstyle n}$ ${\textstyle k}$

Para , el número Lah es igual al factorial en la interpretación anterior, la única partición de en 1 conjunto puede tener su conjunto ordenado de 6 maneras: es igual a 6, porque hay seis particiones de en dos partes ordenadas: es siempre 1 porque la única manera de particionar en subconjuntos no vacíos da como resultado subconjuntos de tamaño 1, que solo se pueden permutar de una manera. En la literatura más reciente, ^{[5] [6] la notación de estilo} Karamata – Knuth ha tomado el control. Los números Lah ahora se escriben a menudo como ${\textstyle n\geq 1}$ ${\textstyle L(n,1)}$ ${\textstyle n!}$ ${\textstyle \{1,2,3\}}$ $${\displaystyle \{(1,2,3)\},\{(1,3,2)\},\{(2,1,3)\},\{(2,3,1)\},\{(3,1,2)\},\{(3,2,1)\}}$$ ${\textstyle L(3,2)}$ ${\textstyle \{1,2,3\}}$ $${\displaystyle \{1,(2,3)\},\{1,(3,2)\},\{2,(1,3)\},\{2,(3,1)\},\{3,(1,2)\},\{3,(2,1)\}}$$ ${\textstyle L(n,n)}$ ${\textstyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle L(n,k)=\left\lfloor {n \atop k}\right\rfloor }$$

Tabla de valores

A continuación se muestra una tabla de valores para los números Lah:

Las sumas de las filas son (secuencia A000262 en la OEIS ). ${\textstyle 1,1,3,13,73,501,4051,37633,\dots }$

Factoriales ascendentes y descendentes

Sea el factorial ascendente y sea el factorial descendente . Los números Lah son los coeficientes que expresan cada una de estas familias de polinomios en términos de la otra. Explícitamente, y Por ejemplo, y ${\textstyle x^{(n)}}$ ${\textstyle x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$ ${\textstyle (x)_{n}}$ ${\textstyle x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ $${\displaystyle x^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(x)_{k}}$$ $${\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}L(n,k)x^{(k)}.}$$ $${\displaystyle x(x+1)(x+2)={\color {red}6}x+{\color {red}6}x(x-1)+{\color {red}1}x(x-1)(x-2)}$$ $${\displaystyle x(x-1)(x-2)={\color {red}6}x-{\color {red}6}x(x+1)+{\color {red}1}x(x+1)(x+2),}$$

donde los coeficientes 6, 6 y 1 son exactamente los números de Lah , , y . ${\displaystyle L(3,1)}$ ${\displaystyle L(3,2)}$ ${\displaystyle L(3,3)}$

Identidades y relaciones

Los números de Lah satisfacen una variedad de identidades y relaciones.

En la notación Karamata - Knuth para números de Stirling, donde son los números de Stirling del primer tipo y son los números de Stirling del segundo tipo . $${\displaystyle L(n,k)=\sum _{j=k}^{n}\left[{n \atop j}\right]\left\{{j \atop k}\right\}}$$ ${\textstyle \left[{n \atop j}\right]}$ ${\textstyle \left\{{j \atop k}\right\}}$

${\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}={n \choose k}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}={n \choose k}{n-1 \choose k-1}(n-k)!}$

${\displaystyle L(n,k)={\frac {n!(n-1)!}{k!(k-1)!}}\cdot {\frac {1}{(n-k)!}}=\left({\frac {n!}{k!}}\right)^{2}{\frac {k}{n(n-k)!}}}$

${\displaystyle k(k+1)L(n,k+1)=(n-k)L(n,k)}$, para . ${\displaystyle k>0}$

Relaciones de recurrencia

Los números de Lah satisfacen las relaciones de recurrencia donde , el delta de Kronecker y para todos los . $${\displaystyle {\begin{aligned}L(n+1,k)&=(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)\\&=k(k+1)L(n,k+1)+2kL(n,k)+L(n,k-1)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L(n,0)=\delta _{n}}$ ${\displaystyle L(n,k)=0}$ ${\displaystyle k>n}$

Función generadora exponencial

${\displaystyle \sum _{n\geq k}L(n,k){\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {1}{k!}}\left({\frac {x}{1-x}}\right)^{k}}$

Derivada de exp(1/incógnita)

La derivada n - ésima de la función se puede expresar con los números de Lah, de la siguiente manera ^[7] Por ejemplo, ${\displaystyle e^{\frac {1}{x}}}$ $${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}^{n}}{{\textrm {d}}x^{n}}}e^{\frac {1}{x}}=(-1)^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {L(n,k)}{x^{n+k}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}.}$$

${\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}e^{\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{x^{2}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}^{2}}{{\textrm {d}}x^{2}}}e^{\frac {1}{x}}={\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}\left(-{\frac {1}{x^{2}}}e^{\frac {1}{x}}\right)=-{\frac {-2}{x^{3}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}\cdot {\frac {-1}{x^{2}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}=\left({\frac {2}{x^{3}}}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}^{3}}{{\textrm {d}}x^{3}}}e^{\frac {1}{x}}={\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}\left(\left({\frac {2}{x^{3}}}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}\right)=\left({\frac {-6}{x^{4}}}+{\frac {-4}{x^{5}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}+\left({\frac {2}{x^{3}}}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)\cdot {\frac {-1}{x^{2}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}=-\left({\frac {6}{x^{4}}}+{\frac {6}{x^{5}}}+{\frac {1}{x^{6}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}}$

Enlace a polinomios de Laguerre

Los polinomios de Laguerre generalizados están vinculados a los números de Lah al establecer Esta fórmula es el polinomio de Laguerre predeterminado en la convención de cálculo Umbral . ^[8] ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$ ${\displaystyle \alpha =-1}$ $${\displaystyle n!L_{n}^{(-1)}(x)=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-x)^{k}}$$

Aplicación práctica

En los últimos años, los números de Lah se han utilizado en esteganografía para ocultar datos en imágenes. En comparación con alternativas como DCT , DFT y DWT , tiene una menor complejidad de cálculo: —de sus coeficientes enteros. ^{[9] [10]} Las transformadas de Lah y Laguerre surgen naturalmente en la descripción perturbativa de la dispersión cromática . ^{[11] [12]} En la óptica de Lah-Laguerre, este enfoque acelera enormemente los problemas de optimización. ${\displaystyle O(n\log n)}$

Véase también

• Números de Stirling
• Matriz de Pascal

Referencias

1. Lah, Ivo (1954). "Un nuevo tipo de números y su aplicación en la matemática actuarial". Boletim do Instituto dos Actuarios Portugueses . 9 : 7–15.
2. John Riordan, Introducción al análisis combinatorio, Princeton University Press (1958, reedición 1980) ISBN 978-0-691-02365-6 (reimpreso nuevamente en 2002 por Dover Publications). 
3. Petkovsek, Marko; Pisanski, Tomaz (otoño de 2007). "Interpretación combinatoria de números de Stirling y Lah sin signo". Pi Mu Epsilon Journal . 12 (7): 417–424. JSTOR  24340704.
4. Comtet, Louis (1974). Combinatoria avanzada. Dordrecht, Holanda: Reidel. p. 156. ISBN 9789027703804.
5. Shattuck, Mark (2014). "Números r-Lah generalizados". arXiv : 1412.8721 [math.CO].
6. Nyul, Gábor; Rácz, Gabriella (6 de octubre de 2015). "Los números r-Lah". Matemáticas discretas . Séptimo Simposio internacional checo-eslovaco sobre teoría de grafos, combinatoria, algoritmos y aplicaciones, Košice 2013. 338 (10): 1660–1666. doi :10.1016/j.disc.2014.03.029. hdl : 2437/213886 . ISSN  0012-365X.
7. Daboul, Siad; Mangaldan, Jan; Spivey, Michael Z.; Taylor, Peter J. (2013). "Los números Lah y la derivada n-ésima de ". Revista de matemáticas . 86 (1): 39–47. doi :10.4169/math.mag.86.1.039. JSTOR  10.4169/math.mag.86.1.039. S2CID  123113404. ${\displaystyle e^{1 \over x}}$
8. Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D; Odlyzko, A (1973-06-01). "Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria. VIII. Cálculo de operadores finitos". Journal of Mathematical Analysis and Applications . 42 (3): 684–760. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . ISSN  0022-247X.
9. Ghosal, Sudipta Kr; Mukhopadhyay, Souradeep; Hossain, Sabbir; Sarkar, Ram (2020). "Aplicación de la transformada de Lah para la seguridad y privacidad de los datos mediante la ocultación de información en las telecomunicaciones". Transactions on Emerging Telecommunications Technologies . 32 (2). doi :10.1002/ett.3984. S2CID  225866797.
10. "Esteganografía de imágenes mediante la transformada de Lah". MathWorks . 5 de junio de 2020.
11. Popmintchev, Dimitar; Wang, Siyang; Xiaoshi, Zhang; Stoev, Ventzislav; Popmintchev, Tenio (24 de octubre de 2022). "Formalismo óptico analítico de Lah-Laguerre para dispersión cromática perturbativa". Optics Express . 30 (22): 40779–40808. Bibcode :2022OExpr..3040779P. doi : 10.1364/OE.457139 . PMID  36299007.
12. Popmintchev, Dimitar; Wang, Siyang; Xiaoshi, Zhang; Stoev, Ventzislav; Popmintchev, Tenio (30 de agosto de 2020). "Teoría de la dispersión cromática, revisada". arXiv : 2011.00066 [física.óptica].

Enlaces externos

• Los números Lah con signo y sin signo son respectivamente (secuencia A008297 en la OEIS ) y (secuencia A105278 en la OEIS ).