Teoría de Frank-Kamenetski

Teoría científica que explica las explosiones térmicas

En la combustión , la teoría de Frank-Kamenetskii explica la explosión térmica de una mezcla homogénea de reactivos, mantenida dentro de un recipiente cerrado con paredes a temperatura constante. Recibe su nombre del científico ruso David A. Frank-Kamenetskii , quien junto con Nikolay Semenov desarrolló la teoría en la década de 1930. ^{[1] [2] [3] [4]}

Descripción del problema

Fuentes: ^{[5] [6] [7] [8] [9]}

Consideremos un recipiente mantenido a una temperatura constante , que contiene una mezcla reaccionante homogénea. Sea el tamaño característico del recipiente . Dado que la mezcla es homogénea, la densidad es constante. Durante el período inicial de ignición , el consumo de concentración de reactivo es insignificante (ver y a continuación), por lo que la explosión está gobernada solo por la ecuación de energía. Suponiendo una reacción global de un solo paso , donde es la cantidad de calor liberado por unidad de masa de combustible consumido, y una velocidad de reacción gobernada por la ley de Arrhenius , la ecuación de energía se convierte en ${\displaystyle T_{o}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle t_{f}}$ ${\displaystyle t_{e}}$ ${\displaystyle {\text{fuel}}+{\text{oxidizer}}\rightarrow {\text{products}}+q}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \rho c_{v}{\frac {\partial T}{\partial t}}=\lambda \nabla ^{2}T+q\rho BY_{Fo}e^{-E/(RT)}}$

dónde

No dimensionalización

Un incremento de temperatura de orden , donde es la temperatura de Frank-Kamenetskii es suficiente para aumentar la reacción química en cantidad , ^[10] como es evidente a partir de la relación ^[11] ${\displaystyle T-T_{o}\sim RT_{o}^{2}/E}$ ${\displaystyle RT_{o}^{2}/E}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle {\frac {e^{-E/RT}}{e^{-E/RT_{o}}}}=\exp \left[{\frac {E}{RT_{o}}}\left(1-{\frac {T_{0}}{T}}\right)\right].}$

Las escalas adimensionales de tiempo, temperatura, longitud y transferencia de calor pueden definirse como

${\displaystyle \tau ={\frac {t}{t_{e}}},\quad \theta ={\frac {\beta (T-T_{o})}{T_{o}}},\quad \eta ^{j}={\frac {r^{j}}{a}},\quad \delta ={\frac {t_{c}}{t_{e}}}}$

dónde

Nota

En un proceso de combustión típico, de modo que . ${\displaystyle \gamma \approx 6{-}8,\ \beta \approx 30{-}100}$ ${\displaystyle \beta \gamma \gg 1}$

Por lo tanto, es decir, el tiempo de consumo de combustible es mucho mayor que el tiempo de ignición, por lo que el consumo de combustible es esencialmente insignificante en el estudio de la ignición. ${\displaystyle t_{f}=\beta \gamma t_{e}\gg 1}$

Es por esto que se supone que la concentración de combustible permanece igual a la concentración de combustible inicial . ${\displaystyle Y_{Fo}}$

Sustituyendo las variables adimensionales en la ecuación de energía de la introducción

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial \tau }}={\frac {1}{\delta }}{\frac {1}{\eta ^{j}}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\left(\eta ^{j}{\frac {\partial \theta }{\partial \eta }}\right)+e^{\theta /(1+\theta /\beta )}}$

Dado que el término exponencial se puede linealizar , por lo tanto ${\displaystyle \beta \gg 1}$ ${\displaystyle e^{\theta /(1+\theta /\beta )}\approx e^{\theta }}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial \tau }}={\frac {1}{\delta }}{\frac {1}{\eta ^{j}}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\left(\eta ^{j}{\frac {\partial \theta }{\partial \eta }}\right)+e^{\theta }}$

En , tenemos y para , necesidades a satisfacer y ${\displaystyle \tau =0}$ ${\displaystyle \theta (\eta ,0)=0}$ ${\displaystyle \tau >0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta (1,\tau )=0}$ ${\displaystyle \partial \theta /\partial \eta |_{\eta =0}=0.}$

Teoría de Semenov

Solución del problema de Semenov

Antes de Frank-Kamenetskii , su director de tesis doctoral Nikolay Semyonov (o Semenov) propuso una teoría de explosión térmica con un modelo más simple con el que supuso una función lineal para el proceso de conducción de calor en lugar del operador laplaciano . La ecuación de Semenov se lee como

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\tau }}=e^{\theta }-{\frac {\theta }{\delta }},\quad \theta (0)=0}$

en la que el término exponencial tenderá a aumentar a medida que transcurra el tiempo mientras que el término lineal tenderá a disminuir . La importancia relevante entre los dos términos está determinada por el número de Damköhler . La solución numérica de la ecuación anterior para diferentes valores de se muestra en la figura. ${\displaystyle e^{\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle -\theta /\delta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

Régimen de estado estacionario

Cuando , el término lineal finalmente domina y el sistema es capaz de alcanzar un estado estable como . En el estado estable ( ), el equilibrio está dado por la ecuación ${\displaystyle 0<\delta <e^{-1}}$ ${\displaystyle \tau \rightarrow \infty }$ ${\displaystyle d\theta /d\tau =0}$

${\displaystyle \delta e^{\theta }=\theta ,\quad \Rightarrow \quad \theta =-W(-\delta )}$

donde representa la función W de Lambert . A partir de las propiedades de la función W de Lambert, es fácil ver que la temperatura de estado estable proporcionada por la ecuación anterior existe solo cuando , donde se denomina parámetro de Frank-Kamenetskii como un punto crítico donde el sistema se bifurca desde la existencia de estado estable a estado explosivo en tiempos largos. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \delta \leq \delta _{c}=1/e}$ ${\displaystyle \delta _{c}}$

Régimen explosivo

Para , el sistema explota ya que el término exponencial domina a medida que transcurre el tiempo. No necesitamos esperar mucho tiempo para que explote. Debido al forzamiento exponencial, en un valor finito de . Este tiempo se interpreta como el tiempo de ignición o tiempo de inducción del sistema. Cuando , el término de conducción de calor puede despreciarse, en cuyo caso el problema admite una solución explícita, ${\displaystyle \delta _{c}<\delta <\infty }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta \rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \delta \gg \delta _{c}}$ ${\displaystyle -\theta /\delta }$

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\tau }}=e^{\theta },\quad \Rightarrow \quad \theta =\ln \left({\frac {1}{1-\tau }}\right)}$

En el momento , el sistema explota. Este momento también se conoce como período de inducción adiabático, ya que se ignora el término de conducción de calor . ${\displaystyle \tau =1}$ ${\displaystyle -\theta /\delta }$

En la condición casi crítica, es decir, cuando , el sistema tarda mucho tiempo en explotar. El análisis para este límite fue realizado por primera vez por Frank-Kamenetskii., ^[12] aunque las asintóticas adecuadas fueron realizadas solo más tarde por DR Kassoy y Amable Liñán ^[13] incluyendo el consumo de reactivo porque el consumo de reactivo no es despreciable cuando . Aquí se presenta un análisis simplificado sin consumo de reactivo. Definamos un parámetro pequeño tal que . Para este caso, la evolución temporal de es la siguiente: primero aumenta hasta el valor de temperatura de estado estacionario correspondiente a , que está dado por en tiempos de orden , luego permanece muy cerca de este valor de estado estacionario durante mucho tiempo antes de explotar finalmente en un tiempo largo. La cantidad de interés es la estimación de largo plazo para la explosión. Para averiguar la estimación, introduzca las transformaciones y que sean apropiadas para la región donde permanece cerca de en la ecuación gobernante y recopile solo los términos de orden principal para averiguarlo. ${\displaystyle \delta -\delta _{c}\rightarrow 0^{+}}$ ${\displaystyle \tau \sim \beta \gamma }$ ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0^{+}}$ ${\displaystyle \delta =\delta _{c}(1+\epsilon )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \delta =\delta _{c}}$ ${\displaystyle \theta =-W(-\delta _{c})=1}$ ${\displaystyle \tau \sim O(1)}$ ${\displaystyle \zeta ={\sqrt {\epsilon }}\tau }$ ${\displaystyle \theta =1+{\sqrt {\epsilon }}\psi (\zeta )-\epsilon }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \delta _{c}{\frac {d\psi }{d\zeta }}=1+{\frac {\psi ^{2}}{2}},\quad \psi (0)\rightarrow -(1-\theta )/{\sqrt {\epsilon }}=-\infty }$

donde la condición de contorno se deriva de la coincidencia con la región inicial donde . La solución al problema mencionado anteriormente viene dada por ${\displaystyle \tau ,\theta \sim 1}$

${\displaystyle \psi =-{\sqrt {2}}\cot \left({\frac {\zeta }{{\sqrt {2}}\delta _{c}}}\right)}$

lo que revela inmediatamente que al escribir esta condición en términos de , se encuentra que el tiempo de explosión en la condición casi crítica es ${\displaystyle \psi \rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \zeta ={\sqrt {2}}\pi \delta _{c}.}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau ={\sqrt {\frac {2\pi ^{2}\delta _{c}^{3}}{\delta -\delta _{c}}}}}$

lo que implica que el tiempo de ignición es como una singularidad de raíz cuadrada. ${\displaystyle \tau \rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \delta -\delta _{c}\rightarrow 0^{+}}$

Teoría del estado estacionario de Frank-Kamenetski

Fuentes: ^{[14] [15]}

El único parámetro que caracteriza la explosión es el número de Damköhler . Cuando es muy alto, el tiempo de conducción es mayor que el tiempo de reacción química y el sistema explota con alta temperatura ya que no hay tiempo suficiente para que la conducción elimine el calor. Por otro lado, cuando es muy bajo, el tiempo de conducción de calor es mucho más rápido que el tiempo de reacción química, de modo que todo el calor producido por la reacción química se conduce inmediatamente a la pared, por lo que no hay explosión, pasa a un estado casi estacionario, Amable Liñán acuñó este modo como modo de reacción lenta. En un número crítico de Damköhler, el sistema pasa del modo de reacción lenta al modo explosivo. Por lo tanto, , el sistema está en estado estacionario. En lugar de resolver el problema completo para encontrar este , Frank-Kamenetskii resolvió el problema del estado estacionario para varios números de Damköhler hasta el valor crítico, más allá del cual no existe una solución estacionaria. Entonces, el problema a resolver es ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta _{c}}$ ${\displaystyle \delta <\delta _{c}}$ ${\displaystyle \delta _{c}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\eta ^{j}}}{\frac {d}{d\eta }}\left(\eta ^{j}{\frac {d\theta }{d\eta }}\right)=-\delta e^{\theta }}$

con condiciones de contorno

${\displaystyle \theta (1)=0,\quad {\frac {d\theta }{d\eta }}_{\eta =0}=0}$

La segunda condición se debe a la simetría del vaso. La ecuación anterior es un caso especial de la ecuación de Liouville-Bratu-Gelfand en matemáticas .

Vaso plano

Explosión de Frank-Kamenetskii para un recipiente plano

Para los vasos planos, existe una solución exacta. Aquí , entonces ${\displaystyle j=0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\eta ^{2}}}=-\delta e^{\theta }}$

Si se introducen las transformaciones y , donde es la temperatura máxima que ocurre en debido a la simetría, ${\displaystyle \Theta =\theta _{m}-\theta }$ ${\displaystyle \xi ^{2}=\delta e^{\theta _{m}}\eta ^{2}}$ ${\displaystyle \theta _{m}}$ ${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\Theta }{d\xi ^{2}}}=e^{-\Theta },\quad \Theta (0)=0,\quad {\frac {d\Theta }{d\xi }}_{\xi =0}=0}$

Integrando una vez y utilizando la segunda condición de contorno, la ecuación se convierte en

${\displaystyle {\frac {d\Theta }{d\xi }}={\sqrt {2(1-e^{-\Theta })}}}$

y volver a integrarse

${\displaystyle e^{(\theta _{m}-\theta )/2}=\cosh \left(\eta {\sqrt {\frac {\delta e^{\theta _{m}}}{2}}}\right)}$

La ecuación anterior es la solución exacta, pero se desconoce la temperatura máxima, pero aún no hemos utilizado la condición de contorno de la pared. Por lo tanto, utilizando la condición de contorno de la pared en , la temperatura máxima se obtiene a partir de una expresión implícita, ${\displaystyle \theta _{m}}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle \eta =1}$

${\displaystyle e^{\theta _{m}/2}=\cosh {\sqrt {\frac {\delta e^{\theta _{m}}}{2}}}\quad {\text{or}}\quad \delta =2e^{-\theta _{m}}\left(\operatorname {arcosh} e^{\theta _{m}/2}\right)^{\!2}}$

El valor crítico se obtiene encontrando el punto máximo de la ecuación (ver figura), es decir, en . ${\displaystyle \delta _{c}}$ ${\displaystyle d\delta /d\theta _{m}=0}$ ${\displaystyle \delta _{c}}$

${\displaystyle {\frac {d\delta }{d\theta _{m}}}=0,\quad \Rightarrow \quad e^{\theta _{m,c}/2}-{\sqrt {e^{\theta _{m,c}}-1}}\operatorname {arcosh} e^{\theta _{m,c}/2}=0}$

${\displaystyle \theta _{m,c}=1.1868,\quad \Rightarrow \quad \delta _{c}=0.8785}$

Por lo tanto, el parámetro crítico de Frank-Kamentskii es . El sistema no tiene un estado estable (o explota) para y para , el sistema pasa a un estado estable con una reacción muy lenta. ${\displaystyle \delta _{c}=0.8785}$ ${\displaystyle \delta >\delta _{c}=0.8785}$ ${\displaystyle \delta <\delta _{c}=0.8785}$

Recipiente cilíndrico

Explosión de Frank-Kamenetskii para un recipiente cilíndrico

Para un recipiente cilíndrico, existe una solución exacta. Aunque Frank-Kamentskii utilizó la integración numérica asumiendo que no hay una solución explícita, Paul L. Chambré proporcionó una solución exacta en 1952. ^[16] H. Lemke también resolvió proporcionó una solución en una forma algo diferente en 1913. ^[17] Aquí , entonces ${\displaystyle j=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{\eta }}{\frac {d}{d\eta }}\left(\eta {\frac {d\theta }{d\eta }}\right)=-\delta e^{\theta }}$

Si se introducen las transformaciones y ${\displaystyle \omega =\eta d\theta /d\eta }$ ${\displaystyle \chi =e^{\theta }\eta ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {d\omega }{d\chi }}=-{\frac {\delta }{2+\omega }},\quad \omega (0)=0}$

La solución general es . Pero a partir de la condición de simetría en el centro, escribiendo nuevamente en la variable original, la ecuación se lee: ${\displaystyle \omega ^{2}+4\omega +C=-2\delta \chi }$ ${\displaystyle C=0}$

${\displaystyle \eta ^{2}\left({\frac {d\theta }{d\eta }}\right)^{2}+4\eta {\frac {d\theta }{d\eta }}=-2\delta \eta ^{2}e^{\theta }}$

Pero la ecuación original multiplicada por es ${\displaystyle 2\eta ^{2}}$

${\displaystyle 2\eta ^{2}{\frac {d^{2}\theta }{d\eta ^{2}}}+2\eta {\frac {d\theta }{d\eta }}=-2\delta \eta ^{2}e^{\theta }}$

Ahora, restando las dos últimas ecuaciones entre sí, obtenemos

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\eta ^{2}}}-{\frac {1}{\eta }}{\frac {d\theta }{d\eta }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\theta }{d\eta }}\right)^{2}=0}$

Esta ecuación es fácil de resolver porque involucra solo las derivadas, por lo que al dejar que se transforme la ecuación ${\displaystyle g(\eta )=d\theta /d\eta }$

${\displaystyle {\frac {dg}{d\eta }}-{\frac {g}{\eta }}-{\frac {g^{2}}{2}}=0}$

Esta es una ecuación diferencial de Bernoulli de orden , un tipo de ecuación de Riccati . La solución es ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle g(\eta )={\frac {d\theta }{d\eta }}=-{\frac {4\eta }{B'+\eta ^{2}}}}$

Integrando de nuevo, tenemos donde . Ya hemos utilizado una condición de contorno, queda una condición de contorno más, pero con dos constantes . Resulta que y están relacionadas entre sí, lo que se obtiene sustituyendo la solución anterior en la ecuación de partida a la que llegamos . Por lo tanto, la solución es ${\displaystyle \theta =A-2\ln(B\eta ^{2}+1)}$ ${\displaystyle B=1/B'}$ ${\displaystyle A,\ B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A=\ln(8B/\delta )}$

${\displaystyle \theta =\ln {\frac {8B/\delta }{(B\eta ^{2}+1)^{2}}}}$

Ahora bien, si utilizamos la otra condición de contorno , obtenemos una ecuación para como . El valor máximo de para el cual es posible la solución es cuando , por lo que el parámetro crítico de Frank-Kamentskii es . El sistema no tiene un estado estable (o explota) para y para , el sistema pasa a un estado estable con una reacción muy lenta. La temperatura máxima se produce en ${\displaystyle \theta (1)=0}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \delta (B+1)^{2}-8B=0}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle B=1}$ ${\displaystyle \delta _{c}=2}$ ${\displaystyle \delta >\delta _{c}=2}$ ${\displaystyle \delta <\delta _{c}=2}$ ${\displaystyle \theta _{m}}$ ${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle \theta _{m}=\ln {\frac {8B}{\delta }}\quad {\text{or}}\quad \delta =8Be^{-\theta _{m}}}$

Para cada valor de , tenemos dos valores de ya que es multivaluado. La temperatura crítica máxima es . ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \theta _{m}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \theta _{m,c}=\ln 4}$

Vaso esférico

Vaso esférico de Frank-Kamenetskii

Para los vasos esféricos, no se conoce una solución explícita, por lo que Frank-Kamenetskii utilizó métodos numéricos para encontrar el valor crítico. Aquí , entonces ${\displaystyle j=2}$

${\displaystyle {\frac {1}{\eta ^{2}}}{\frac {d}{d\eta }}\left(\eta ^{2}{\frac {d\theta }{d\eta }}\right)=-\delta e^{\theta }}$

Si se introducen las transformaciones y , donde es la temperatura máxima que ocurre en debido a la simetría, ${\displaystyle \Theta =\theta _{m}-\theta }$ ${\displaystyle \xi ^{2}=\delta e^{\theta _{m}}\eta ^{2}}$ ${\displaystyle \theta _{m}}$ ${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\Theta }{d\xi }}\right)=e^{-\Theta },\quad \Theta (0)=0,\quad {\frac {d\Theta }{d\xi }}_{\xi =0}=0}$

La ecuación anterior no es otra cosa que la ecuación de Emden-Chandrasekhar ^[18] , que aparece en astrofísica para describir una esfera de gas isotérmica . A diferencia del caso plano y cilíndrico, el recipiente esférico tiene infinitas soluciones para oscilar alrededor del punto ^[19] , en lugar de solo dos soluciones, como demostró Israel Gelfand ^[20] . Se elegirá la rama más baja para explicar el comportamiento explosivo. ${\displaystyle \delta <\delta _{c}}$ ${\displaystyle \delta =2}$

A partir de la solución numérica, se encuentra que el parámetro crítico de Frank-Kamenetskii es . El sistema no tiene un estado estable (o explota) para y para , el sistema pasa a un estado estable con una reacción muy lenta. La temperatura máxima se produce en y la temperatura crítica máxima es . ${\displaystyle \delta _{c}=3.3220}$ ${\displaystyle \delta >\delta _{c}=3.3220}$ ${\displaystyle \delta <\delta _{c}=3.3220}$ ${\displaystyle \theta _{m}}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle \theta _{m,c}=1.6079}$

Geometrías no simétricas

Para los recipientes que no son simétricos respecto del centro (por ejemplo, recipientes rectangulares), el problema implica resolver una ecuación diferencial parcial no lineal en lugar de una ecuación diferencial ordinaria no lineal , que solo se puede resolver mediante métodos numéricos en la mayoría de los casos. La ecuación es

${\displaystyle \nabla ^{2}\theta +\delta e^{\theta }=0}$

con condición de contorno en las superficies delimitadoras. ${\displaystyle \theta =0}$

Aplicaciones

Dado que el modelo supone una mezcla homogénea, la teoría es muy aplicable para estudiar el comportamiento explosivo de los combustibles sólidos (ignición espontánea de biocombustibles, materiales orgánicos, basura, etc.). Esto también se utiliza para diseñar explosivos y petardos. La teoría predijo valores críticos con precisión para fluidos/sólidos de baja conductividad con contenedores de paredes delgadas de alta conductividad. ^[21]

Véase también

• Ecuación de Clarke

Referencias

1. Frank-Kamenetskii, David A. "Hacia las distribuciones de temperatura en un recipiente de reacción y la teoría estacionaria de la explosión térmica". Doklady Akademii Nauk SSSR. Vol. 18. 1938.
2. Frank-Kamenetskii, DA "Cálculo de límites de explosión térmica". Acta. Phys.-Chim URSS 10 (1939): 365.
3. Semenov, NN "El cálculo de temperaturas críticas de explosión térmica". Z Phys Chem 48 (1928): 571.
4. Semenov, NN "Sobre la teoría de los procesos de combustión". Z. phys. Chem 48 (1928): 571–582.
5. Frank-Kamenetskii, David Albertovich. Difusión e intercambio de calor en cinética química. Princeton University Press, 2015.
6. Linan, Amable y Forman Arthur Williams. "Aspectos fundamentales de la combustión". (1993).
7. Williams, Forman A. "Teoría de la combustión". (1985).
8. Buckmaster, John David y Geoffrey Stuart Stephen Ludford. Teoría de las llamas laminares. Cambridge University Press, 1982.
9. Buckmaster, John D., ed. Las matemáticas de la combustión. Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, 1985.
10. Vazquez-Espi, C., y Linan, A. (2002). Ignición termodifusiva e iniciación de llama por una fuente de energía local. Teoría y modelización de la combustión, 6(2), 297.
11. Liñán, A., Moreno-Boza, D., Iglesias, I., Sánchez, AL, & Williams, FA (2016). El modo de combustión de reacción lenta de mezclas gaseosas en recipientes esféricos. Parte 1: Análisis transitorio y límites de explosión. Teoría y modelización de la combustión, 20(6), 1010-1028.
12. Frank-Kamenetskii, DA (1946). La teoría no estacionaria de la explosión térmica. Zhurnal fizichesko-khimii, 20, 139.
13. Kassoy, DR y Linan, A. (1978). La influencia del consumo de reactivos en las condiciones críticas para explosiones térmicas homogéneas. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 31(1), 99-112.
14. Zeldovich, IA, Barenblatt, GI, Librovich, VB y Makhviladze, GM (1985). Teoría matemática de la combustión y las explosiones.
15. Lewis, Bernard y Guenther Von Elbe. Combustión, llamas y explosiones de gases. Elsevier, 2012.
16. Chambre, PL "Sobre la solución de la ecuación de Poisson-Boltzmann con aplicación a la teoría de explosiones térmicas". The Journal of Chemical Physics 20.11 (1952): 1795–1797.
17. Lemke, H. (1913). Über die Differentialgleichungen, welche den Gleichgewichtszustand eines gasförmigem Himmelskörpers bestimmen, dessen Teile gegeneinander nach dem Newtonschen Gesetz gravitieren. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 142, 118-145.
18. Subrahmanyan Chandrasekhar. Introducción al estudio de la estructura estelar. Vol. 2. Courier Corporation, 1958.
19. Jacobsen, Jon y Klaus Schmitt . "El problema de Liouville–Bratu–Gelfand para operadores radiales". Journal of Differential Equations 184.1 (2002): 283–298.
20. Gelfand, IM (1963). Algunos problemas en la teoría de ecuaciones cuasilineales. Amer. Math. Soc. Transl, 29(2), 295–381.
21. Zukas, Jonas A., William Walters y William P. Walters, eds. Efectos explosivos y aplicaciones. Springer Science & Business Media, 2002.

Enlaces externos

• El problema de Frank-Kamenetskii en el solucionador Wolfram http://demonstrations.wolfram.com/TheFrankKamenetskiiProblem/
• Seguimiento del problema de Frank-Kamenetskii en el solucionador Wolfram http://demonstrations.wolfram.com/TrackingTheFrankKamenetskiiProblem/
• Solución planar en el solucionador Chebfun http://www.chebfun.org/examples/ode-nonlin/BlowupFK.html