Ecuación de Liouville-Bratu-Gelfand

Para la ecuación de Liouville en geometría diferencial, véase ecuación de Liouville .

En matemáticas , la ecuación de Liouville–Bratu–Gelfand o ecuación de Liouville es una ecuación de Poisson no lineal , llamada así en honor a los matemáticos Joseph Liouville , ^[1] Gheorghe Bratu ^[2] e Israel Gelfand . ^[3] La ecuación se lee

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda e^{\psi }=0}$

La ecuación aparece en la teoría de Frank-Kamenetskii y en la astrofísica , por ejemplo, en la ecuación de Emden-Chandrasekhar . Esta ecuación también describe la carga espacial de electricidad alrededor de un cable incandescente ^[4] y describe la nebulosa planetaria .

La solución de Liouville[5]

En dos dimensiones con coordenadas cartesianas , Joseph Liouville propuso una solución en 1853 como ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle \lambda e^{\psi }(u^{2}+v^{2}+1)^{2}=2\left[\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}\right]}$

donde es una función analítica arbitraria con . En 1915, GW Walker ^[6] encontró una solución al suponer una forma para . Si , entonces la solución de Walker es ${\displaystyle f(z)=u+iv}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}$

${\displaystyle 8e^{-\psi }=\lambda \left[\left({\frac {r}{a}}\right)^{n}+\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}\right]^{2}}$

donde es un radio finito. Esta solución decae en el infinito para cualquier , pero se vuelve infinita en el origen para , se vuelve finita en el origen para y se vuelve cero en el origen para . Walker también propuso dos soluciones más en su artículo de 1915. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n<1}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n>1}$

Formas radialmente simétricas

Si el sistema a estudiar es radialmente simétrico, entonces la ecuación en dimensión queda ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \psi ''+{\frac {n-1}{r}}\psi '+\lambda e^{\psi }=0}$

¿Dónde está la distancia desde el origen? Con las condiciones de contorno ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \psi '(0)=0,\quad \psi (1)=0}$

y para , solo existe una solución real para , donde es el parámetro crítico llamado parámetro de Frank-Kamenetskii . El parámetro crítico es para , para y para . Para , existen dos soluciones y para infinitas soluciones existen con soluciones que oscilan alrededor del punto . Para , la solución es única y en estos casos el parámetro crítico está dado por . La multiplicidad de soluciones para fue descubierta por Israel Gelfand en 1963 y posteriormente en 1973 generalizada para todos por Daniel D. Joseph y Thomas S. Lundgren . ^[7] ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ ${\displaystyle \lambda \in [0,\lambda _{c}]}$ ${\displaystyle \lambda _{c}}$ ${\displaystyle \lambda _{c}=0.8785}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \lambda _{c}=2}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \lambda _{c}=3.32}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n=1,\ 2}$ ${\displaystyle 3\leq n\leq 9}$ ${\displaystyle \lambda =2(n-2)}$ ${\displaystyle n\geq 10}$ ${\displaystyle \lambda _{c}=2(n-2)}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n}$

La solución para que sea válida en el rango viene dada por ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \lambda \in [0,0.8785]}$

${\displaystyle \psi =-2\ln \left[e^{-\psi _{m}/2}\cosh \left({\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {2}}}e^{-\psi _{m}/2}r\right)\right]}$

donde está relacionado con como ${\displaystyle \psi _{m}=\psi (0)}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle e^{\psi _{m}/2}=\cosh \left({\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {2}}}e^{-\psi _{m}/2}\right).}$

La solución para que sea válida en el rango viene dada por ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \lambda \in [0,2]}$

${\displaystyle \psi =\ln \left[{\frac {64e^{\psi _{m}}}{(\lambda e^{\psi _{m}}r^{2}+8)^{2}}}\right]}$

donde está relacionado con como ${\displaystyle \psi _{m}=\psi (0)}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle (\lambda e^{\psi _{m}}+8)^{2}-64e^{\psi _{m}}=0.}$

Referencias

1. Liouville, J. "Sur l'équation aux différences partielles ". Journal de mathématiques pures et appliquées (1853): 71–72. http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1853_1_18_A3_0.pdf ${\displaystyle {\frac {d^{2}\log \lambda }{dudv}}\pm {\frac {\lambda }{2a^{2}}}=0}$
2. Bratu, G. "Sur les équations integrales non linéaires". Bulletin de la Société Mathématique de France 42 (1914): 113–142.http://archive.numdam.org/article/BSMF_1914__42__113_0.pdf
3. Gelfand, IM "Algunos problemas en la teoría de ecuaciones cuasilineales". Amer. Math. Soc. Transl 29.2 (1963): 295–381. http://www.mathnet.ru/links/aa75c5d339030f17940afb64e17793d8/rm7290.pdf
4. Richardson, Owen Willans. La emisión de electricidad de cuerpos calientes. Longmans, Green and Company, 1921.
5. Bateman, Harry. "Ecuaciones diferenciales parciales de la física matemática". Partial Differential Equations of Mathematical Physics, por H. Bateman, Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, 1932 (1932).
6. Walker, George W. "Algunos problemas que ilustran las formas de las nebulosas". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico 91.631 (1915): 410-420. https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1
7. Joseph, DD y TS Lundgren. "Problemas de Dirichlet cuasilineales impulsados ​​por fuentes positivas". Archivo de Mecánica Racional y Análisis 49.4 (1973): 241-269.