En teoría de números , la manivela de una partición entera es un cierto número asociado con la partición. Fue introducida por primera vez sin una definición por Freeman Dyson , quien planteó la hipótesis de su existencia en un artículo de 1944. [1] Dyson proporcionó una lista de propiedades que debería tener esta cantidad aún por definir. En 1988, George E. Andrews y Frank Garvan descubrieron una definición para la manivela que satisface las propiedades hipotetizadas para ella por Dyson. [2]
Sea n un entero no negativo y sea p ( n ) el número de particiones de n ( p (0) se define como 1). Srinivasa Ramanujan en un artículo [3] publicado en 1918 enunció y demostró las siguientes congruencias para la función de partición p ( n ), conocidas desde entonces como congruencias de Ramanujan .
Estas congruencias implican que las particiones de números de la forma 5 n + 4 (respectivamente, de las formas 7 n + 5 y 11 n + 6 ) pueden dividirse en 5 (respectivamente, 7 y 11) subclases de igual tamaño. Las demostraciones conocidas hasta entonces de estas congruencias se basaban en las ideas de las funciones generadoras y no especificaban un método para la división de las particiones en subclases de igual tamaño.
En su artículo de Eureka, Dyson propuso el concepto de rango de una partición . El rango de una partición es el entero que se obtiene al restar el número de partes de la partición de la parte más grande de la partición. Por ejemplo, el rango de la partición λ = { 4, 2, 1, 1, 1 } de 9 es 4 − 5 = −1. Denotando por N ( m , q , n ), el número de particiones de n cuyos rangos son congruentes con m módulo q , Dyson consideró N ( m , 5, 5 n + 4) y N ( m , 7, 7 n + 5) para varios valores de n y m . Basándose en evidencias empíricas, Dyson formuló las siguientes conjeturas conocidas como conjeturas de rango .
Para todos los números enteros no negativos n tenemos:
Suponiendo que estas conjeturas son verdaderas, proporcionaron una forma de dividir todas las particiones de números de la forma 5 n + 4 en cinco clases de igual tamaño: poner en una clase todas aquellas particiones cuyos rangos son congruentes entre sí módulo 5. La misma idea se puede aplicar para dividir las particiones de números enteros de la forma 7 n + 5 en siete clases igualmente numerosas. Pero la idea no logra dividir particiones de números enteros de la forma 11 n + 6 en 11 clases del mismo tamaño, como lo muestra la siguiente tabla.
Por lo tanto, el rango no se puede utilizar para demostrar el teorema combinatoriamente. Sin embargo, Dyson escribió:
De hecho sostengo:
Dejo al lector la decisión de si estas suposiciones están justificadas por pruebas. Cualquiera que sea el veredicto final de la posteridad, creo que la "manivela" es única entre las funciones aritméticas por haber sido nombrada antes de ser descubierta. Ojalá se la preserve del destino ignominioso del planeta Vulcano .
En un artículo [2] publicado en 1988, George E. Andrews y FG Garvan definieron la manivela de una partición de la siguiente manera:
Las manivelas de las particiones de los números enteros 4, 5, 6 se calculan en las siguientes tablas.
Para todos los enteros n ≥ 0 y todos los enteros m , el número de particiones de n con cigüeñal igual a m se denota por M ( m , n ) excepto para n = 1 donde M (−1,1) = − M (0,1) = M (1,1) = 1 como se da por la siguiente función generadora. El número de particiones de n con cigüeñal igual a m módulo q se denota por M ( m , q , n ).
La función generadora para M ( m , n ) se da a continuación:
Andrews y Garvan demostraron el siguiente resultado [2] que muestra que la manivela tal como se definió anteriormente cumple las condiciones dadas por Dyson.
Los conceptos de rango y de manivela se pueden utilizar para clasificar particiones de ciertos números enteros en subclases de igual tamaño. Sin embargo, los dos conceptos producen diferentes subclases de particiones. Esto se ilustra en las dos tablas siguientes.
Un trabajo reciente de Bruce C. Berndt y sus coautores sostiene que Ramanujan conocía la existencia de la manivela, aunque no en la forma definida por Andrews y Garvan. En un estudio sistemático del Cuaderno perdido de Ramanujan, Berndt y sus coautores han aportado pruebas sustanciales de que Ramanujan conocía las disecciones de la función generadora de la manivela. [4] [5]
