Rango de una partición

En matemáticas , particularmente en los campos de la teoría de números y la combinatoria , el rango de una partición entera es un número determinado asociado con la partición. De hecho, en la literatura aparecen al menos dos definiciones diferentes de rango. La primera definición, de la que se ocupa la mayor parte de este artículo, es que el rango de una partición es el número que se obtiene restando el número de partes de la partición de la parte más grande de la partición. El concepto fue introducido por Freeman Dyson en un artículo publicado en la revista Eureka . ^[1] Fue presentado en el contexto de un estudio de ciertas propiedades de congruencia de la función de partición descubierta por el genio matemático indio Srinivasa Ramanujan . En combinatoria se utiliza un concepto diferente, que comparte el mismo nombre, donde el rango se considera el tamaño del cuadrado de Durfee de la partición.

Definición

Por partición de un entero positivo n nos referimos a un multiconjunto finito λ = { λ _k , λ _{k − 1} , . . . , λ ₁ } de números enteros positivos que satisfacen las dos condiciones siguientes:

λ _k ≥ . . . ≥ λ ₂ ≥ λ ₁ > 0.
λ _k + . . . + λ ₂ + λ ₁ = norte .

Si λ _k , . . . , λ ₂ , λ ₁ son distintos, es decir, si

λ _k > . . . > λ ₂ > λ ₁ > 0

entonces la partición λ se llama partición estricta de n . Los números enteros λ _k , λ _{k − 1} , ..., λ ₁ son las partes de la partición. El número de partes en la partición λ es k y la parte más grande en la partición es λ _k . El rango de la partición λ (ya sea ordinaria o estricta) se define como λ _k − k . ^[1]

Los rangos de las particiones de n toman los siguientes valores y ningún otro: ^[1]

norte - 1, norte -3, norte -4,. . . , 2, 1, 0, −1, −2, . . . , −( norte − 4), −( norte − 3), −( norte − 1).

La siguiente tabla muestra los rangos de las distintas particiones del número 5.

Rangos de las particiones del número entero 5.

Notaciones

Las siguientes notaciones se utilizan para especificar cuántas particiones tienen un rango determinado. Sean n , q números enteros positivos y m un número entero cualquiera.

El número total de particiones de n se denota por p ( n ).
El número de particiones de n con rango m se denota por N ( m , n ).
El número de particiones de n con rango congruente con m módulo q se denota por N ( m , q , n ).
El número de particiones estrictas de n se denota por Q ( n ).
El número de particiones estrictas de n con rango m se denota por R ( m , n ).
El número de particiones estrictas de n con rango congruente con m módulo q se denota por T ( m , q , n ).

Por ejemplo,

p (5) = 7 , norte (2, 5) = 1 , norte (3, 5) = 0 , norte (2, 2, 5) = 5 .

Q (5) = 3, R (2, 5) = 1, R (3, 5) = 0, T (2, 2, 5) = 2.

Algunos resultados básicos

Sean n , q números enteros positivos y m un número entero cualquiera. ^[1]

$N(m,n)=N(-m,n)$
$N(m,q,n)=N(qm,q,n)$
$N(m,q,n)=\sum _{r=-\infty }^{\infty }N(m+rq,n)$

Las congruencias de Ramanujan y la conjetura de Dyson

Srinivasa Ramanujan en un artículo publicado en 1919 demostró las siguientes congruencias que involucran la función de partición p ( n ): ^[2]

p (5 norte + 4) ≡ 0 (mód 5)
p (7 n + 5) ≡ 0 (mód 7)
p (11 n + 6) ≡ 0 (mod 11)

Al comentar este resultado, Dyson señaló que "... aunque podemos demostrar que las particiones de 5 n + 4 pueden dividirse en cinco subclases igualmente numerosas, no es satisfactorio no recibir de las pruebas ninguna idea concreta de cómo se realiza la división". para realizarse. Requerimos una prueba que no sea atractiva para las funciones generadoras ". ^[1] Dyson introdujo la idea del rango de una partición para realizar la tarea que se propuso. Utilizando esta nueva idea, hizo las siguientes conjeturas:

norte (0, 5, 5 norte + 4) = norte (1, 5, 5 norte + 4) = norte (2, 5, 5 norte + 4) = norte (3, 5, 5 norte + 4) = norte ( 4, 5, 5n + 4)
norte (0, 7, 7 norte + 5) = norte (1, 7, 7 norte + 5) = norte (2, 7, 7 norte + 5) = . . . = norte (6, 7, 7 norte + 5)

Estas conjeturas fueron demostradas por Atkin y Swinnerton-Dyer en 1954. ^[3]

Las siguientes tablas muestran cómo las particiones de los números enteros 4 (5 × n + 4 con n = 0) y 9 (5 × n + 4 con n = 1) se dividen en cinco subclases igualmente numerosas.

Particiones del entero 4

Particiones del número entero 9

Funciones generadoras

La función generadora de p ( n ) fue descubierta por Euler y es bien conocida. ^[4]

\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^ {k}}}

La función generadora de N ( m , n ) se proporciona a continuación: ^[5]

\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }N(m,n)z^{m}q^{n}=1+ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{\prod _{k=1}^{n}(1-zq^{k})( 1-z^{-1}q^{k})}}

La función generadora de Q ( n ) se proporciona a continuación: ^[6]

\sum _{n=0}^{\infty }Q(n)x^{n}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1-x^ {2k-1}}}

La función generadora de R ( m , n ) se proporciona a continuación: ^[6]

\sum _{m,n=0}^{\infty }R(m,n)z^{m}q^{n}=1+\sum _{s=1}^{\infty } {\frac {q^{s(s+1)/2}}{(1-zq)(1-zq^{2})\cdots (1-zq^{s})}}

Definición alternativa

En combinatoria, la frase rango de una partición se usa a veces para describir un concepto diferente: el rango de una partición λ es el entero más grande i tal que λ tiene al menos i partes, cada una de las cuales no es menor que i . ^[7] De manera equivalente, esta es la longitud de la diagonal principal en el diagrama de Young o el diagrama de Ferrers para λ, o la longitud del lado del cuadrado de Durfee de λ.

La tabla de rangos de particiones de 5 se proporciona a continuación.

Rangos de las particiones del número entero 5.

Otras lecturas

Fórmulas asintóticas para la función de partición de rango: ^[8]
Congruencias para la función de rango: ^[9]
Generalización de rango a rango BG: ^[10]

Ver también

Manivela de una partición

Referencias

^ abcde F. Dyson (1944). «Algunas conjeturas en la teoría de las particiones» (PDF) . Eureka (Cambridge) . 8 : 10-15.
^ Srinivasa, Ramanujan (1919). "Algunas propiedades de p ( n ), número de particiones de n ". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . XIX : 207–210.
^ AOL Atkin; HPF Swinnerton-Dyer (1954). "Algunas propiedades de las particiones". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 66 (4): 84-106. doi :10.1112/plms/s3-4.1.84.
^ GH Hardy y EW Wright (1938). Una introducción a la teoría de los números . Londres: Oxford University Press. pag. 274.
^ Bringmann, Kathrin (2009). "Congruencias de las filas de Dyson" (PDF) . Revista Internacional de Teoría de Números . 5 (4): 573–584. doi :10.1142/S1793042109002262 . Consultado el 24 de noviembre de 2012 .
^ ab María Monjes (2010). "Propiedades teóricas numéricas de funciones generadoras relacionadas con el rango de Dyson para particiones en partes distintas" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 138 (2): 481–494. doi : 10.1090/s0002-9939-09-10076-x . Consultado el 24 de noviembre de 2012 .
^ Stanley, Richard P. (1999) Combinatoria enumerativa, volumen 2, p. 289. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-56069-1 .
^ Bringman, Kathrin (julio de 2009). "Asintóticas para funciones de partición de rangos" (PDF) . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 361 (7): 3483–3500. arXiv : 0708.0691 . doi :10.1090/s0002-9947-09-04553-x. S2CID 42465633 . Consultado el 21 de noviembre de 2012 .
^ Bringmann, Kathrin (2009). "Congruencias del rango de Dyson" (PDF) . Revista Internacional de Teoría de Números . 5 (4): 573–584. doi :10.1142/S1793042109002262 . Consultado el 21 de noviembre de 2012 .
^ Berkovich, Alejandro; Garvan, Frank G. (2008). "El rango BG de una partición y sus aplicaciones" (PDF) . Avances en Matemática Aplicada . 40 (3): 377–400. arXiv : matemáticas/0602362 . doi : 10.1016/j.aam.2007.04.002. S2CID 7337479 . Consultado el 21 de noviembre de 2012 .