ley de weyl

En matemáticas , especialmente en teoría espectral , la ley de Weyl describe el comportamiento asintótico de los valores propios del operador de Laplace-Beltrami . Esta descripción fue descubierta en 1911 (en el caso) por Hermann Weyl para los valores propios del operador de Laplace-Beltrami que actúa sobre funciones que desaparecen en el límite de un dominio acotado . En particular, demostró que el número, , de valores propios de Dirichlet (contando sus multiplicidades) menor o igual a satisface ${\displaystyle d=2,3}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle N(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow \infty }{\frac {N(\lambda )}{\lambda ^{d/2}}}=(2\pi )^{-d}\omega _{d}\mathrm {vol} (\Omega )}$

donde es el volumen de la bola unitaria en . ^[1] En 1912 proporcionó una nueva prueba basada en métodos variacionales . ^{[2] [3]} La ley de Weyl se puede extender a variedades cerradas de Riemann , donde se puede dar otra prueba utilizando la función zeta de Minakshisundaram-Pleijel . ${\displaystyle \omega _{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Generalizaciones

La ley Weyl se ha extendido a dominios y operadores más generales. Para el operador de Schrödinger

${\displaystyle H=-h^{2}\Delta +V(x)}$

se extendió a

${\displaystyle N(E,h)\sim (2\pi h)^{-d}\int _{\{|\xi |^{2}+V(x)<E\}}dxd\xi }$

como tendiendo hacia o hacia un fondo del espectro esencial y/o . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle h\to +0}$

Aquí está el número de valores propios de abajo a menos que haya un espectro esencial debajo, en cuyo caso . ${\displaystyle N(E,h)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N(E,h)=+\infty }$

En el desarrollo de la asintótica espectral, los métodos variacionales y el análisis microlocal desempeñaron un papel crucial .

Contraejemplos

La ley de Weyl ampliada falla en determinadas situaciones. En particular, la ley de Weyl ampliada "afirma" que no existe un espectro esencial si y sólo si la expresión de la derecha es finita para todos . ${\displaystyle E}$

Si se consideran dominios con cúspides (es decir, "salidas reducidas hasta el infinito"), entonces la ley de Weyl (extendida) afirma que no existe un espectro esencial si y sólo si el volumen es finito. Sin embargo, para el Dirichlet Laplaciano no existe un espectro esencial incluso si el volumen es infinito siempre que las cúspides se contraigan en el infinito (por lo que la finitud del volumen no es necesaria).

Por otro lado, para el laplaciano de Neumann existe un espectro esencial a menos que las cúspides se contraigan en el infinito más rápido que el exponente negativo (por lo que la finitud del volumen no es suficiente).

conjetura de weyl

Weyl conjeturó que

${\displaystyle N(\lambda )=(2\pi )^{-d}\lambda ^{d/2}\omega _{d}\mathrm {vol} (\Omega )\mp {\frac {1}{4}}(2\pi )^{1-d}\omega _{d-1}\lambda ^{(d-1)/2}\mathrm {area} (\partial \Omega )+o(\lambda ^{(d-1)/2})}$

donde el término restante es negativo para las condiciones de frontera de Dirichlet y positivo para Neumann. Muchos matemáticos mejoraron la estimación restante.

En 1922, Richard Courant demostró tener un límite de . En 1952, Boris Levitan demostró el límite más estricto para colectores cerrados compactos. Robert Seeley amplió esto para incluir ciertos dominios euclidianos en 1978. ^[4] En 1975, Hans Duistermaat y Victor Guillemin demostraron la cota de cuándo el conjunto de bicaracterísticas periódicas tiene medida 0. ^[5] Esto fue finalmente generalizado por Victor Ivrii en 1980. ^[6] Esta generalización supone que el conjunto de trayectorias periódicas de un billar tiene medida 0, lo que Ivrii conjeturó que se cumple para todos los dominios euclidianos acotados con límites suaves. Desde entonces, se han obtenido resultados similares para clases más amplias de operadores. ${\displaystyle O(\lambda ^{(d-1)/2}\log \lambda )}$ ${\displaystyle O(\lambda ^{(d-1)/2})}$ ${\displaystyle o(\lambda ^{(d-1)/2})}$ ${\displaystyle \Omega }$

Referencias

1. Weyl, Hermann (1911). "Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte". Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen : 110-117.
2. "Das asymptotische Verteilungsgesetz linearen partiellen Differentialgleichungen". Annalen Matemáticas . 71 : 441–479. 1912. doi :10.1007/BF01456804. S2CID  120278241.
3. Para obtener una prueba en inglés, consulte Strauss, Walter A. (2008). Ecuaciones diferenciales parciales . John Wiley e hijos.Véase el capítulo 11.
4. Seeley, Robert (1978). "Una estimación asintótica precisa de los valores propios del laplaciano en un dominio de R 3 {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}} ". Avances en Matemáticas . 102 (3): 244–264. doi : 10.1016/0001-8708(78)90013-0 .
5. El espectro de operadores elípticos positivos y bicaracterísticas periódicas. Inventiones Mathematicae , 29(1):37–79 (1975).
6. Segundo término de la expansión asintótica espectral del operador de Laplace-Beltrami en variedad con límite. Análisis funcional y sus aplicaciones 14(2):98–106 (1980).