En el campo matemático de la teoría de grupos , un grupo G es residualmente finito o finitamente aproximable si para cada elemento g que no sea la identidad en G existe un homomorfismo h de G a un grupo finito , tal que
Existen varias definiciones equivalentes:
Ejemplos de grupos que son residualmente finitos son los grupos finitos , los grupos libres , los grupos nilpotentes finitamente generados , los grupos policíclicos por finitos , los grupos lineales finitamente generados y los grupos fundamentales de 3-variedades compactas .
Los subgrupos de grupos residualmente finitos son residualmente finitos, y los productos directos de grupos residualmente finitos son residualmente finitos. Cualquier límite inverso de grupos residualmente finitos es residualmente finito. En particular, todos los grupos profinitos son residualmente finitos.
Se pueden construir ejemplos de grupos finitos no residuales utilizando el hecho de que todos los grupos finitos residuales generados finitamente son grupos hopfianos . Por ejemplo, el grupo Baumslag–Solitar B (2,3) no es hopfiano y, por lo tanto, no es residualmente finito.
Todo grupo G puede convertirse en un grupo topológico tomando como base de los vecindarios abiertos de la identidad, la colección de todos los subgrupos normales de índice finito en G . La topología resultante se denomina topología profinita en G . Un grupo es residualmente finito si, y solo si, su topología profinita es Hausdorff .
Un grupo cuyos subgrupos cíclicos están cerrados en la topología profinita se dice que es . Los grupos cuyos subgrupos finitamente generados están cerrados en la topología profinita se denominan separables por subgrupos (también LERF , por finito residualmente extendido localmente ). Un grupo en el que cada clase de conjugación está cerrada en la topología profinita se denomina separable por conjugación .
Una pregunta es: ¿cuáles son las propiedades de una variedad cuyos grupos son todos residualmente finitos? Dos resultados sobre esto son:
