La fórmula de d'Alembert.

solución matemática

En matemáticas , y específicamente en ecuaciones diferenciales parciales (PDE), la fórmula de d´Alembert es la solución general a la ecuación de onda unidimensional :

${\displaystyle u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0,\,u(x,0)=g(x),\,u_{t}(x,0)=h(x),}$

para ${\displaystyle -\infty <x<\infty ,\,\,t>0}$

Lleva el nombre del matemático Jean le Rond d'Alembert , quien lo derivó en 1747 como solución al problema de una cuerda vibrante . ^[1]

Detalles

Las características de la PDE son (donde el signo indica las dos soluciones de la ecuación cuadrática), por lo que podemos usar el cambio de variables (para la solución positiva) y (para la solución negativa) para transformar la PDE a . La solución general de esta PDE es donde y son funciones. De vuelta en coordenadas, ${\displaystyle x\pm ct=\mathrm {const} }$ ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle \mu =x+ct}$ ${\displaystyle \eta =x-ct}$ ${\displaystyle u_{\mu \eta }=0}$ ${\displaystyle u(\mu ,\eta )=F(\mu )+G(\eta )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle x,t}$

${\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)}$

${\displaystyle u}$es si y son . ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C^{2}}$

Esta solución se puede interpretar como dos ondas con velocidad constante que se mueven en direcciones opuestas a lo largo del eje x. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle c}$

Ahora considere esta solución con los datos de Cauchy . ${\displaystyle u(x,0)=g(x),u_{t}(x,0)=h(x)}$

Usando obtenemos . ${\displaystyle u(x,0)=g(x)}$ ${\displaystyle F(x)+G(x)=g(x)}$

Usando obtenemos . ${\displaystyle u_{t}(x,0)=h(x)}$ ${\displaystyle cF'(x)-cG'(x)=h(x)}$

Podemos integrar la última ecuación para obtener

$${\displaystyle cF(x)-cG(x)=\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}.}$$

Ahora podemos resolver este sistema de ecuaciones para obtener

$${\displaystyle F(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)-\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}\right)\right)}$$

$${\displaystyle G(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)+\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )d\xi +c_{1}\right)\right).}$$

Ahora, usando

$${\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)}$$

La fórmula de d'Alembert se convierte en: ^[2]

$${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )\,d\xi .}$$

Generalización para ecuaciones diferenciales hiperbólicas canónicas no homogéneas

La forma general de una ecuación diferencial canónica no homogénea de tipo hiperbólico toma la forma de:

$${\displaystyle u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t),\,u(x,0)=g(x),\,u_{t}(x,0)=h(x),}$$

${\displaystyle -\infty <x<\infty ,\,\,t>0,f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} )}$

Todas las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes se pueden transformar a sus respectivas formas canónicas . Esta ecuación es uno de estos tres casos: Ecuación diferencial parcial elíptica , Ecuación diferencial parcial parabólica y Ecuación diferencial parcial hiperbólica .

La única diferencia entre una ecuación diferencial homogénea y no homogénea (parcial) es que en la forma homogénea solo permitimos que 0 esté en el lado derecho ( ), mientras que la no homogénea es mucho más general, ya que podría ser cualquier función siempre y cuando ya que es continuo y se puede diferenciar continuamente dos veces. ${\displaystyle f(x,t)=0}$ ${\displaystyle f(x,t)}$

La solución de la ecuación anterior viene dada por la fórmula:

$${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}{\bigl (}g(x+ct)+g(x-ct){\bigr )}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(s)\,ds+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{x-c(t-\tau )}^{x+c(t-\tau )}f(s,\tau )\,ds\,d\tau .}$$

Si , la primera parte desaparece, si , la segunda parte desaparece y si , la tercera parte desaparece de la solución, ya que integrar la función 0 entre dos límites cualesquiera siempre da como resultado 0. ${\displaystyle g(x)=0}$ ${\displaystyle h(x)=0}$ ${\displaystyle f(x)=0}$

Ver también

• operador d'alembert
• onda mecanica
• Ecuación de onda

Notas

1. D'Alembert (1747) "Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibración" (Investigaciones sobre la curva que forma una cuerda [cuerda] tensa [cuando] se pone en vibración), Histoire de l'académie royale des sciences et bellas letras de Berlín , vol. 3, páginas 214-219. Véase también: D'Alembert (1747) "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibración" (Más investigaciones sobre la curva que forma una cuerda tensa [cuando] se pone en vibración), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlín , vol. 3, páginas 220-249. Véase también: D'Alembert (1750) "Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibrator", Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 6, páginas 355-360.
2. Pinchover, Yehuda; Rubinstein, Jacob (2013). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales (octava edición). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 76–92. ISBN 978-0-521-84886-2.

enlaces externos

• Un ejemplo Archivado el 19 de enero de 2011 en Wayback Machine para resolver una ecuación de onda no homogénea de www.exampleproblems.com

https://www.knowledgeablegroup.com/2020/09/equations%20change%20world.html ^{[ enlace muerto permanente ]}