La fórmula de d'Alembert

Solución matemática

En matemáticas , y específicamente en ecuaciones diferenciales parciales (EDP), la fórmula de d´Alembert es la solución general de la ecuación de onda unidimensional :

${\displaystyle u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0,\,u(x,0)=g(x),\,u_{t}(x,0)=h(x),}$

para ${\displaystyle -\infty <x<\infty ,\,\,t>0}$

Recibe su nombre en honor al matemático Jean le Rond d'Alembert , quien lo derivó en 1747 como solución al problema de una cuerda vibrante . ^[1]

Detalles

Las características de la EDP son (donde el signo indica las dos soluciones de la ecuación cuadrática), por lo que podemos utilizar el cambio de variables (para la solución positiva) y (para la solución negativa) para transformar la EDP en . La solución general de esta EDP es donde y son funciones. De vuelta en coordenadas, ${\displaystyle x\pm ct=\mathrm {const} }$ ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle \mu =x+ct}$ ${\displaystyle \eta =x-ct}$ ${\displaystyle u_{\mu \eta }=0}$ ${\displaystyle u(\mu ,\eta )=F(\mu )+G(\eta )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle x,t}$

${\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)}$

${\displaystyle u}$es si y son . ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C^{2}}$

Esta solución puede interpretarse como dos ondas con velocidad constante que se mueven en direcciones opuestas a lo largo del eje x. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle c}$

Consideremos ahora esta solución con los datos de Cauchy . ${\displaystyle u(x,0)=g(x),u_{t}(x,0)=h(x)}$

Usando obtenemos . ${\displaystyle u(x,0)=g(x)}$ ${\displaystyle F(x)+G(x)=g(x)}$

Usando obtenemos . ${\displaystyle u_{t}(x,0)=h(x)}$ ${\displaystyle cF'(x)-cG'(x)=h(x)}$

Podemos integrar la última ecuación para obtener $${\displaystyle cF(x)-cG(x)=\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}.}$$

Ahora podemos resolver este sistema de ecuaciones para obtener $${\displaystyle F(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)-\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}\right)\right)}$$ $${\displaystyle G(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)+\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )d\xi +c_{1}\right)\right).}$$

Ahora, usando $${\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)}$$

La fórmula de d'Alembert se convierte en: ^[2] $${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )\,d\xi .}$$

Generalización para ecuaciones diferenciales hiperbólicas canónicas no homogéneas

La forma general de una ecuación diferencial de tipo hiperbólico canónico no homogéneo toma la forma: para . $${\displaystyle u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t),\,u(x,0)=g(x),\,u_{t}(x,0)=h(x),}$$ ${\displaystyle -\infty <x<\infty ,\,\,t>0,f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} )}$

Todas las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes pueden transformarse en sus respectivas formas canónicas . Esta ecuación es uno de estos tres casos: ecuación diferencial parcial elíptica , ecuación diferencial parcial parabólica y ecuación diferencial parcial hiperbólica .

La única diferencia entre una ecuación diferencial (parcial) homogénea y una no homogénea es que en la forma homogénea solo permitimos que 0 esté en el lado derecho ( ), mientras que la no homogénea es mucho más general, ya que podría ser cualquier función siempre que sea continua y pueda diferenciarse continuamente dos veces. ${\displaystyle f(x,t)=0}$ ${\displaystyle f(x,t)}$

La solución de la ecuación anterior viene dada por la fórmula: $${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}{\bigl (}g(x+ct)+g(x-ct){\bigr )}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(s)\,ds+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{x-c(t-\tau )}^{x+c(t-\tau )}f(s,\tau )\,ds\,d\tau .}$$

Si , la primera parte desaparece, si , la segunda parte desaparece, y si , la tercera parte desaparece de la solución, ya que integrar la función 0 entre dos límites cualesquiera siempre da como resultado 0. ${\displaystyle g(x)=0}$ ${\displaystyle h(x)=0}$ ${\displaystyle f(x)=0}$

Véase también

• Operador D'Alembert
• Onda mecánica
• Ecuación de onda

Notas

1. D'Alembert (1747) "Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibración" (Investigaciones sobre la curva que forma una cuerda [cuerda] tensa [cuando] se pone en vibración), Histoire de l'académie royale des sciences et bellas letras de Berlín , vol. 3, páginas 214-219. Véase también: D'Alembert (1747) "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibración" (Más investigaciones sobre la curva que forma una cuerda tensa [cuando] se pone en vibración), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlín , vol. 3, páginas 220-249. Véase también: D'Alembert (1750) "Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibrator", Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 6, páginas 355-360.
2. Pinchover, Yehuda; Rubinstein, Jacob (2013). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales (octava edición). Cambridge University Press. págs. 76–92. ISBN 978-0-521-84886-2.

Enlaces externos

• Un ejemplo de solución de una ecuación de onda no homogénea archivado el 19 de enero de 2011 en Wayback Machine de www.exampleproblems.com

https://www.knowledgeablegroup.com/2020/09/equations%20change%20world.html ^{[ enlace muerto permanente ]}