La fórmula de Liouville.

Expresión en ecuaciones diferenciales.

En matemáticas , la fórmula de Liouville , también conocida como identidad de Abel-Jacobi-Liouville , es una ecuación que expresa el determinante de una solución de matriz cuadrada de un sistema de primer orden de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas en términos de la suma de los coeficientes diagonales. del sistema. La fórmula lleva el nombre del matemático francés Joseph Liouville . La fórmula de Jacobi proporciona otra representación de la misma relación matemática.

La fórmula de Liouville es una generalización de la identidad de Abel y puede usarse para probarla. Dado que la fórmula de Liouville relaciona las diferentes soluciones linealmente independientes del sistema de ecuaciones diferenciales, puede ser útil encontrar una solución a partir de las otras; consulte la aplicación de ejemplo a continuación.

Declaración de la fórmula de Liouville

Considere la ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden n -dimensional

${\displaystyle y'=A(t)y}$

en un intervalo I de la recta real , donde A ( t ) para t ∈ I denota una matriz cuadrada de dimensión n con entradas reales o complejas . Sea Φ una solución matricial en I , lo que significa que Φ( t ) es la llamada matriz fundamental , una matriz cuadrada de dimensión n con entradas reales o complejas y la derivada satisface

${\displaystyle \Phi '(t)=A(t)\Phi (t),\qquad t\in I.}$

Dejar

${\displaystyle \operatorname {tr} A(s)=\sum _{i=1}^{n}a_{i,i}(s),\qquad s\in I,}$

denota la traza de A ( s ) = ( a _{i ,  j} ( s )) _{i ,  j  ∈ {1,..., n }} , la suma de sus entradas diagonales. Si la traza de A es una función continua , entonces el determinante de Φ satisface

${\displaystyle \det \Phi (t)=\det \Phi (t_{0})\,\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\operatorname {tr} A(s)\,{\textrm {d}}s\right)}$

para todo t y t ₀ en I .

Aplicación de ejemplo

Este ejemplo ilustra cómo la fórmula de Liouville puede ayudar a encontrar la solución general de un sistema de primer orden de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas. Considerar

${\displaystyle y'=\underbrace {\begin{pmatrix}1&-1/x\\1+x&-1\end{pmatrix}} _{=\,A(x)}y}$

en el intervalo abierto I = (0, ∞) . Supongamos que la solución fácil

${\displaystyle y(x)={\begin{pmatrix}1\\x\end{pmatrix}},\qquad x\in I,}$

ya se encuentra. Dejar

${\displaystyle y(x)={\begin{pmatrix}y_{1}(x)\\y_{2}(x)\end{pmatrix}}}$

denota otra solución, entonces

${\displaystyle \Phi (x)={\begin{pmatrix}y_{1}(x)&1\\y_{2}(x)&x\end{pmatrix}},\qquad x\in I,}$

es una solución valorada en matriz cuadrada de la ecuación diferencial anterior. Dado que la traza de A ( x ) es cero para todo x ∈ I , la fórmula de Liouville implica que el determinante

es en realidad una constante independiente de x . Al escribir la primera componente de la ecuación diferencial para y , obtenemos usando ( 1 ) que

${\displaystyle y'_{1}(x)=y_{1}(x)-{\frac {y_{2}(x)}{x}}={\frac {x\,y_{1}(x)-y_{2}(x)}{x}}={\frac {c_{1}}{x}},\qquad x\in I.}$

Por lo tanto, por integración, vemos que

${\displaystyle y_{1}(x)=c_{1}\ln x+c_{2},\qquad x\in I,}$

involucrando el logaritmo natural y la constante de integración c ₂ . Resolviendo la ecuación ( 1 ) para y ₂ ( x ) y sustituyendo por y ₁ ( x ) se obtiene

${\displaystyle y_{2}(x)=x\,y_{1}(x)-c_{1}=\,c_{1}x\ln x+c_{2}x-c_{1},\qquad x\in I,}$

cuál es la solución general para y . Con la elección especial c ₁ = 0 y c ₂ = 1 recuperamos la solución fácil con la que empezamos, la elección c ₁ = 1 y c ₂ = 0 produce una solución linealmente independiente. Por lo tanto,

${\displaystyle \Phi (x)={\begin{pmatrix}\ln x&1\\x\ln x-1&x\end{pmatrix}},\qquad x\in I,}$

es la llamada solución fundamental del sistema.

Prueba de la fórmula de Liouville

Omitimos el argumento x por brevedad. Mediante la fórmula de Leibniz para determinantes , la derivada del determinante de Φ = (Φ _{i ,  j} ) _{i ,  j  ∈ {0,..., n }} se puede calcular diferenciando una fila a la vez y tomando la suma, es decir

Dado que la solución matricial Φ satisface la ecuación Φ' = A Φ , tenemos para cada entrada de la matriz Φ'

${\displaystyle \Phi '_{i,k}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}\Phi _{j,k}\,,\qquad i,k\in \{1,\ldots ,n\},}$

o para toda la fila

${\displaystyle (\Phi '_{i,1},\dots ,\Phi '_{i,n})=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}(\Phi _{j,1},\ldots ,\Phi _{j,n}),\qquad i\in \{1,\ldots ,n\}.}$

Cuando restamos de la i -ésima fila la combinación lineal

${\displaystyle \sum _{\scriptstyle j=1 \atop \scriptstyle j\neq i}^{n}a_{i,j}(\Phi _{j,1},\ldots ,\Phi _{j,n}),}$

de todas las demás filas, entonces el valor del determinante permanece sin cambios, por lo tanto

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}\Phi _{1,1}&\Phi _{1,2}&\cdots &\Phi _{1,n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\Phi '_{i,1}&\Phi '_{i,2}&\cdots &\Phi '_{i,n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\Phi _{n,1}&\Phi _{n,2}&\cdots &\Phi _{n,n}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}\Phi _{1,1}&\Phi _{1,2}&\cdots &\Phi _{1,n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{i,i}\Phi _{i,1}&a_{i,i}\Phi _{i,2}&\cdots &a_{i,i}\Phi _{i,n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\Phi _{n,1}&\Phi _{n,2}&\cdots &\Phi _{n,n}\end{pmatrix}}=a_{i,i}\det \Phi }$

para cada i ∈ {1, . . . , n } por la linealidad del determinante con respecto a cada fila. Por eso

por ( 2 ) y la definición de la traza. Queda por demostrar que esta representación de la derivada implica la fórmula de Liouville.

Fijar x ₀ ∈ yo . Dado que se supone que la traza de A es una función continua en I , está acotada en cada subintervalo cerrado y acotado de I y, por lo tanto, integrable, por lo tanto

${\displaystyle g(x):=\det \Phi (x)\exp \left(-\int _{x_{0}}^{x}\mathrm {tr} \,A(\xi )\,{\textrm {d}}\xi \right),\qquad x\in I,}$

es una función bien definida. Derivando ambos lados, utilizando la regla del producto, la regla de la cadena , la derivada de la función exponencial y el teorema fundamental del cálculo , obtenemos

${\displaystyle g'(x)={\bigl (}(\det \Phi (x))'-\det \Phi (x)\,\mathrm {tr} \,A(x){\bigr )}\exp \left(-\int _{x_{0}}^{x}\operatorname {tr} \,A(\xi )\,{\textrm {d}}\xi \right)=0,\qquad x\in I,}$

debido a la derivada en ( 3 ). Por lo tanto, g tiene que ser constante en I , porque de lo contrario obtendríamos una contradicción con el teorema del valor medio (aplicado por separado a la parte real e imaginaria en el caso de valores complejos). Dado que g ( x ₀ ) = det Φ ( x ₀ ) , la fórmula de Liouville se sigue resolviendo la definición de g para det Φ ( x ) .

Referencias

• Chicone, Carmen (2006), Ecuaciones diferenciales ordinarias con aplicaciones (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. 152-153, ISBN 978-0-387-30769-5, SEÑOR  2224508, Zbl  1120.34001
• Teschl, Gerald (2012), Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos, Providence : American Mathematical Society , MR  2961944, Zbl  1263.34002