La identidad de Abel.

Sobre el Wronskiano de dos soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden

En matemáticas , la identidad de Abel (también llamada fórmula de Abel ^[1] o identidad de ecuación diferencial de Abel ) es una ecuación que expresa el wronskiano de dos soluciones de una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden en términos de un coeficiente de la ecuación diferencial original. La relación se puede generalizar a ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden n . La identidad lleva el nombre del matemático noruego Niels Henrik Abel .

Dado que la identidad de Abel se relaciona con las diferentes soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial, se puede usar para encontrar una solución a partir de la otra. Proporciona identidades útiles que relacionan las soluciones y también es útil como parte de otras técnicas como el método de variación de parámetros . Es especialmente útil para ecuaciones como la ecuación de Bessel donde las soluciones no tienen una forma analítica simple, porque en tales casos el Wronskiano es difícil de calcular directamente.

La fórmula de Liouville da una generalización de sistemas de primer orden de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas .

Declaración

Considere una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden.

${\displaystyle y''+p(x)y'+q(x)\,y=0}$

en un intervalo I de la línea real con funciones continuas p y q de valores reales o complejos . La identidad de Abel establece que el Wronskiano de dos soluciones con valores reales o complejos y de esta ecuación diferencial, es decir, la función definida por el determinante ${\displaystyle W=(y_{1},y_{2})}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$

${\displaystyle W(y_{1},y_{2})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)\\y'_{1}(x)&y'_{2}(x)\end{vmatrix}}=y_{1}(x)\,y'_{2}(x)-y'_{1}(x)\,y_{2}(x),\quad x\in I,}$

satisface la relación

${\displaystyle W(y_{1},y_{2})(x)=W(y_{1},y_{2})(x_{0})\cdot \exp \left(-\int _{x_{0}}^{x}p(t)\,dt\right),\quad x\in I,}$

para cada punto . ${\displaystyle x_{0}\in I}$

Observaciones

• En particular, cuando la ecuación diferencial tiene un valor real, el Wronskiano es siempre idénticamente cero, siempre positivo o siempre negativo en cada punto ( ver prueba a continuación). Los últimos casos implican las dos soluciones y son linealmente independientes (ver Wronskian para una prueba). ${\displaystyle W(y_{1},y_{2})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$
• No es necesario suponer que las segundas derivadas de las soluciones y sean continuas. ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$
• El teorema de Abel es particularmente útil si , porque implica que es constante. ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle W}$

Prueba

Diferenciar el wronskiano usando la regla del producto da (escribiendo y omitiendo el argumento de la brevedad) ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W(y_{1},y_{2})}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W'&=y_{1}'y_{2}'+y_{1}y_{2}''-y_{1}''y_{2}-y_{1}'y_{2}'\\&=y_{1}y_{2}''-y_{1}''y_{2}.\end{aligned}}}$

Resolviendo en la ecuación diferencial original se obtiene ${\displaystyle y''}$

${\displaystyle y''=-(py'+qy).}$

Sustituyendo este resultado en la derivada de la función Wronskiana para reemplazar las segundas derivadas de y se obtiene ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W'&=-y_{1}(py_{2}'+qy_{2})+(py_{1}'+qy_{1})y_{2}\\&=-p(y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2})\\&=-pW.\end{aligned}}}$

Ésta es una ecuación diferencial lineal de primer orden y queda por demostrar que la identidad de Abel da la solución única, que alcanza el valor en . Dado que la función es continua en , está acotada en cada subintervalo cerrado y acotado de y, por lo tanto, integrable, por lo tanto ${\displaystyle W(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle V(x)=W(x)\,\exp \!\left(\int _{x_{0}}^{x}p(\xi )\,{\textrm {d}}\xi \right),\qquad x\in I,}$

es una función bien definida. Derivando ambos lados, utilizando la regla del producto, la regla de la cadena , la derivada de la función exponencial y el teorema fundamental del cálculo , se obtiene

${\displaystyle V'(x)={\bigl (}W'(x)+W(x)p(x){\bigr )}\,\exp \!{\biggl (}\int _{x_{0}}^{x}p(\xi )\,{\textrm {d}}\xi {\biggr )}=0,\qquad x\in I,}$

debido a la ecuación diferencial para . Por lo tanto, tiene que ser constante en , porque de lo contrario obtendríamos una contradicción con el teorema del valor medio (aplicado por separado a la parte real e imaginaria en el caso de valores complejos). Dado que , la identidad de Abel se obtiene resolviendo la definición de for . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle V(x_{0})=W(x_{0})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W(x)}$

Prueba de que el wronskiano nunca cambia de signo

Para todos , el wronskiano es idénticamente cero, siempre positivo o siempre negativo, dado que , y tienen valores reales. Esto se demuestra de la siguiente manera. ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle W(y_{1},y_{2})(x)}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$ ${\displaystyle p(x)}$

La identidad de Abel dice que ${\displaystyle W(y_{1},y_{2})(x)=W(y_{1},y_{2})(x_{0})\cdot e^{-\int _{x_{0}}^{x}p(x')\,{\textrm {d}}x'}\forall x\in I,}$

Dejar . Entonces debe ser una constante con valor real porque y tienen valor real. ${\displaystyle c=W(y_{1},y_{2})(x_{0})}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$

Dejar . Como tiene valor real, también lo es , es estrictamente positivo. ${\displaystyle f(x)=-\int _{x_{0}}^{x}p(x')\,{\textrm {d}}x'}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle e^{f(x)}}$

Por tanto, es idénticamente cero cuando , siempre positivo cuando es positivo y siempre negativo cuando es negativo. ${\displaystyle W(y_{1},y_{2})(x)=c\cdot e^{f(x)}}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

Además, cuando , y , se puede demostrar de manera similar que es idéntico o distinto de cero para todos los valores de x. ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle W(y_{1},y_{2})(x)}$ ${\displaystyle 0}$

Generalización

El Wronskiano de funciones en un intervalo es la función definida por el determinante ${\displaystyle W(y_{1},\ldots ,y_{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle W(y_{1},\ldots ,y_{n})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)&\cdots &y_{n}(x)\\y'_{1}(x)&y'_{2}(x)&\cdots &y'_{n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-1)}(x)&y_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &y_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}},\qquad x\in I,}$

Considere una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de orden : ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle y^{(n)}+p_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\cdots +p_{1}(x)\,y'+p_{0}(x)\,y=0,}$

en un intervalo de la recta real con una función continua de valor real o complejo . Dejemos por soluciones de esta ecuación diferencial de orden n . Entonces la generalización de la identidad de Abel establece que este wronskiano satisface la relación: ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle p_{n-1}}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$

${\displaystyle W(y_{1},\ldots ,y_{n})(x)=W(y_{1},\ldots ,y_{n})(x_{0})\exp {\biggl (}-\int _{x_{0}}^{x}p_{n-1}(\xi )\,{\textrm {d}}\xi {\biggr )},\qquad x\in I,}$

para cada punto . ${\displaystyle x_{0}\in I}$

prueba directa

Por brevedad, escribimos a favor y omitimos el argumento . Basta demostrar que el wronskiano resuelve la ecuación diferencial lineal de primer orden ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W(y_{1},\ldots ,y_{n})}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle W'=-p_{n-1}\,W,}$

porque la parte restante de la prueba entonces coincide con la del caso . ${\displaystyle n=2}$

En el caso tenemos y la ecuación diferencial de coincide con la de . Por lo tanto, suponga lo siguiente. ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle W=y_{1}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

La derivada del Wronskiano es la derivada del determinante definitorio. De la fórmula de Leibniz para los determinantes se deduce que esta derivada se puede calcular diferenciando cada fila por separado, por lo tanto ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W'&={\begin{vmatrix}y'_{1}&y'_{2}&\cdots &y'_{n}\\y'_{1}&y'_{2}&\cdots &y'_{n}\\y''_{1}&y''_{2}&\cdots &y''_{n}\\y'''_{1}&y'''_{2}&\cdots &y'''_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&\cdots &y_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\y''_{1}&y''_{2}&\cdots &y''_{n}\\y''_{1}&y''_{2}&\cdots &y''_{n}\\y'''_{1}&y'''_{2}&\cdots &y'''_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&\cdots &y_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}\\&\qquad +\ \cdots \ +{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\y'_{1}&y'_{2}&\cdots &y'_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-3)}&y_{2}^{(n-3)}&\cdots &y_{n}^{(n-3)}\\y_{1}^{(n-2)}&y_{2}^{(n-2)}&\cdots &y_{n}^{(n-2)}\\y_{1}^{(n)}&y_{2}^{(n)}&\cdots &y_{n}^{(n)}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

Sin embargo, tenga en cuenta que cada determinante de la expansión contiene un par de filas idénticas, excepto la última. Dado que los determinantes con filas linealmente dependientes son iguales a 0, solo queda el último:

${\displaystyle W'={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\y'_{1}&y'_{2}&\cdots &y'_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-2)}&y_{2}^{(n-2)}&\cdots &y_{n}^{(n-2)}\\y_{1}^{(n)}&y_{2}^{(n)}&\cdots &y_{n}^{(n)}\end{vmatrix}}.}$

Como cada resuelve la ecuación diferencial ordinaria, tenemos ${\displaystyle y_{i}}$

${\displaystyle y_{i}^{(n)}+p_{n-2}\,y_{i}^{(n-2)}+\cdots +p_{1}\,y'_{i}+p_{0}\,y_{i}=-p_{n-1}\,y_{i}^{(n-1)}}$

para cada . Por lo tanto, sumando a la última fila del determinante anterior multiplicado por su primera fila, multiplicado por su segunda fila, y así sucesivamente hasta multiplicado por su penúltima fila, el valor del determinante para la derivada de no cambia y obtenemos ${\displaystyle i\in \lbrace 1,\ldots ,n\rbrace }$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{n-2}}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W'={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\y'_{1}&y'_{2}&\cdots &y'_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-2)}&y_{2}^{(n-2)}&\cdots &y_{n}^{(n-2)}\\-p_{n-1}\,y_{1}^{(n-1)}&-p_{n-1}\,y_{2}^{(n-1)}&\cdots &-p_{n-1}\,y_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}=-p_{n-1}W.}$

Prueba utilizando la fórmula de Liouville

Las soluciones forman la solución valorada de matriz cuadrada. ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$

${\displaystyle \Phi (x)={\begin{pmatrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)&\cdots &y_{n}(x)\\y'_{1}(x)&y'_{2}(x)&\cdots &y'_{n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-2)}(x)&y_{2}^{(n-2)}(x)&\cdots &y_{n}^{(n-2)}(x)\\y_{1}^{(n-1)}(x)&y_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &y_{n}^{(n-1)}(x)\end{pmatrix}},\qquad x\in I,}$

del sistema -dimensional de primer orden de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y'\\y''\\\vdots \\y^{(n-1)}\\y^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-p_{0}(x)&-p_{1}(x)&-p_{2}(x)&\cdots &-p_{n-1}(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y\\y'\\\vdots \\y^{(n-2)}\\y^{(n-1)}\end{pmatrix}}.}$

La huella de esta matriz es , por lo tanto, la identidad de Abel se deriva directamente de la fórmula de Liouville . ${\displaystyle -p_{n-1}(x)}$

Referencias

1. Rainville, conde David; Bediente, Phillip Edward (1969). Ecuaciones diferenciales elementales . Ediciones internacionales Collier-Macmillan.

• Abel, NH, "Précis d'une théorie des fonctions elliptiques" J. Reine Angew. Math., 4 (1829) págs. 309–348.
• Boyce, WE y DiPrima, RC (1986). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera , 4ª ed. Nueva York: Wiley.
• Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Weisstein, Eric W. "Identidad de la ecuación diferencial de Abel". MundoMatemático .