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Dualidad de Matlis

En álgebra , la dualidad de Matlis es una dualidad entre módulos artinianos y noetherianos sobre un anillo local noetheriano completo . En el caso especial en el que el anillo local tiene un cuerpo [ aclaración necesaria ] que se asigna al cuerpo de residuos , está estrechamente relacionada con el trabajo anterior de Francis Sowerby Macaulay sobre anillos polinómicos y a veces se la denomina dualidad de Macaulay , y el caso general fue introducido por Matlis  (1958).

Declaración

Supóngase que R es un anillo local completo noetheriano con cuerpo de residuos k , y se elige que E sea una envoltura inyectiva de k (a veces llamada módulo de Matlis ). El dual D R ( M ) de un módulo M se define como Hom R ( M , E ). Entonces, la dualidad de Matlis establece que el funtor de dualidad D R da una antiequivalencia entre las categorías de R -módulos artinianos y noetherianos. En particular, el funtor de dualidad da una antiequivalencia de la categoría de módulos de longitud finita a sí mismo.

Ejemplos

Supóngase que el anillo local completo noetheriano R tiene un subcuerpo k que se mapea sobre un subcuerpo de índice finito de su cuerpo de residuos R / m . Entonces el dual de Matlis de cualquier módulo R es simplemente su dual como espacio vectorial topológico sobre k , si se le da al módulo su topología m -ádica. En particular, el dual de R como espacio vectorial topológico sobre k es un módulo de Matlis. Este caso está estrechamente relacionado con el trabajo de Macaulay sobre anillos polinómicos graduados y a veces se lo denomina dualidad de Macaulay.

Si R es un anillo de valoración discreto con cuerpo cociente K entonces el módulo de Matlis es K / R . En el caso especial cuando R es el anillo de números p -ádicos , el dual de Matlis de un módulo finitamente generado es el dual de Pontryagin de éste considerado como un grupo abeliano localmente compacto .

Si R es un anillo local de Cohen-Macaulay de dimensión d con módulo dualizante Ω, entonces el módulo de Matlis viene dado por el grupo de cohomología local Hdr
(Ω). En particular, si R es un anillo local artiniano, entonces el módulo de Matlis es el mismo que el módulo dualizador.

Explicación utilizando funtores adjuntos

La dualidad de Matlis se puede explicar conceptualmente utilizando el lenguaje de los funtores adjuntos y las categorías derivadas : [1] el funtor entre las categorías derivadas de los módulos R y k inducido al considerar un módulo k como un módulo R , admite un adjunto derecho ( Hom interno derivado )

Este adjunto derecho envía la envoltura inyectiva mencionada anteriormente a k , que es un objeto dualizante en . Este hecho abstracto da lugar entonces a la equivalencia mencionada anteriormente.

Véase también

Referencias

  1. ^ Paul Balmer , Ivo Dell'Ambrogio y Beren Sanders. Dualidad de Grothendieck-Neeman e isomorfismo de Wirthmüller, 2015. Ejemplo 7.2.