En geometría , más específicamente en teoría de politopos , la conjetura 3 d de Kalai es una conjetura sobre la combinatoria poliédrica de politopos centralmente simétricos , hecha por Gil Kalai en 1989. [1] Establece que cada politopo centralmente simétrico de dimensión d tiene al menos 3 d caras no vacías (incluido el politopo mismo como cara pero sin incluir el conjunto vacío ).
En dos dimensiones, los polígonos convexos centralmente simétricos más simples son los paralelogramos , que tienen cuatro vértices, cuatro aristas y un polígono: 4 + 4 + 1 = 9 = 3 2 . Un cubo es centralmente simétrico y tiene 8 vértices, 12 aristas, 6 lados cuadrados y 1 sólido: 8 + 12 + 6 + 1 = 27 = 3 3 . Otro poliedro convexo tridimensional , el octaedro regular , también es centralmente simétrico y tiene 6 vértices, 12 aristas, 8 lados triangulares y 1 sólido: 6 + 12 + 8 + 1 = 27 = 3 3 .
En dimensiones superiores, el hipercubo [0, 1] d tiene exactamente 3 d caras, cada una de las cuales puede determinarse especificando, para cada uno de los ejes de coordenadas d , si la cara se proyecta sobre ese eje en el punto 0, el punto 1 o el intervalo [0, 1]. De manera más general, cada politopo de Hanner tiene exactamente 3 d caras. Si la conjetura de Kalai es cierta, estos politopos estarían entre los politopos con simetría central con la menor cantidad posible de caras. [1]
Se sabe que la conjetura es cierta para . [2] También se sabe que es cierta para politopos simpliciales : en este caso se sigue de una conjetura de Imre Bárány y László Lovász (1982) que cada politopo simplicial centralmente simétrico tiene al menos tantas caras de cada dimensión como el politopo cruzado, demostrado por Richard Stanley (1987). [3] [4] De hecho, Kalai citó estos dos artículos anteriores como parte de la base para hacer su conjetura. [1] Otra clase especial de politopos para los que se ha demostrado la conjetura son los politopos de Hansen de grafos divididos , que habían sido utilizados por Ragnar Freij, Matthias Henze y Moritz Schmitt et al. (2013) para refutar las conjeturas más fuertes de Kalai. [5]
La conjetura 3D permanece abierta para politopos arbitrarios en dimensiones superiores.
En el mismo trabajo en el que aparece la conjetura 3 d , Kalai conjeturó con más fuerza que el f -vector de cada politopo convexo centralmente simétrico P domina al f -vector de al menos un politopo de Hanner H de la misma dimensión. Esto significa que, para cada número i desde 0 hasta la dimensión de P , el número de caras i -dimensionales de P es mayor o igual que el número de caras i -dimensionales de H . Si fuera cierto, esto implicaría la verdad de la conjetura 3 d ; sin embargo, la conjetura más fuerte fue refutada más tarde. [2]
Una conjetura relacionada también atribuida a Kalai se conoce como la conjetura de la bandera completa y afirma que el cubo (así como cada uno de los politopos de Hanner) tiene el número máximo de banderas (completas) , es decir, d !2 d , entre todos los politopos centralmente simétricos. [6]
Finalmente, tanto la conjetura 3 d como la conjetura de la bandera completa se consideran a veces análogas combinatorias de la conjetura de Mahler . Las tres conjeturas afirman que los politopos de Hanner minimizan ciertas cantidades combinatorias o geométricas, se han resuelto en casos especiales similares, pero son ampliamente abiertas en general. En particular, la conjetura de la bandera completa se ha resuelto en algunos casos especiales utilizando técnicas geométricas. [7]
