La conjetura de Lange

En geometría algebraica , la conjetura de Lange es un teorema sobre la estabilidad de haces de vectores sobre curvas, introducido por Herbet Lange  ^{[de] [1]} y demostrado por Montserrat Teixidor i Bigas y Barbara Russo en 1999.

Declaración

Sea C una curva proyectiva suave de género mayor o igual a 2. Para paquetes de vectores genéricos y en C de rangos y grados y , respectivamente, una extensión genérica ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle (r_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (r_{2},d_{2})}$

${\displaystyle 0\to E_{1}\to E\to E_{2}\to 0}$

tiene E estable siempre que , donde sea la pendiente del paquete respectivo. La noción de paquete vectorial genérico aquí es un punto genérico en el espacio de módulos de paquetes vectoriales semiestables en C , y una extensión genérica es aquella que corresponde a un punto genérico en el espacio vectorial . ${\displaystyle \mu (E_{1})<\mu (E_{2})}$ ${\displaystyle \mu (E_{i})=d_{i}/r_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{1}}$ ${\displaystyle (E_{2},E_{1})}$

Una formulación original de Lange es que para un par de números enteros y tales que , existe una secuencia exacta corta como la anterior con E estable. Esta formulación es equivalente porque la existencia de una secuencia corta y exacta como esa es una condición abierta en E en el espacio de módulos de haces de vectores semiestables en C. ${\displaystyle (r_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (r_{2},d_{2})}$ ${\displaystyle d_{1}/r_{1}<d_{2}/r_{2}}$

Referencias

• Lange, Herbert (1983). "Zur Klassifikation von Regelmannigfaltigkeiten". Annalen Matemáticas . 262 (4): 447–459. doi :10.1007/BF01456060. ISSN  0025-5831. SEÑOR  0696517.
• Teixidor i Bigas, Montserrat ; Russo, Bárbara (1999). "Sobre una conjetura de Lange". Revista de Geometría Algebraica . 8 (3): 483–496. arXiv : alg-geom/9710019 . Código bibliográfico : 1997alg.geom.10019R. ISSN  1056-3911. SEÑOR  1689352.
• Ballico, Edoardo (2000). "Extensiones de haces de vectores estables en curvas suaves: conjetura de Lange". Analele Ştiinţifice ale Universităţii "Al. I. Cuza" din Iaşi . (NS). 46 (1): 149-156. SEÑOR  1840133.

Notas

1. Herbert Lange (1983)