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Conjetura de Köthe

En matemáticas , la conjetura de Köthe es un problema de teoría de anillos , abierto a partir de 2022. Se formula de varias maneras. Supongamos que R es un anillo . Una forma de enunciar la conjetura es que si R no tiene ningún ideal nulo , excepto {0}, entonces no tiene ningún ideal unilateral nulo , excepto {0}.

Esta pregunta fue planteada en 1930 por Gottfried Köthe (1905-1989). Se ha demostrado que la conjetura de Köthe es cierta para varias clases de anillos, como los anillos identidad polinomiales [1] y los anillos noetherianos rectos [2] , pero sigue siendo difícil encontrar una solución general.

Formulaciones equivalentes

La conjetura tiene varias formulaciones diferentes: [3] [4] [5]

  1. (Conjetura de Köthe) En cualquier anillo, la suma de dos ideales nulos es nula.
  2. En cualquier anillo, la suma de dos ideales nulos unilaterales es nula.
  3. En cualquier anillo, cada ideal nulo izquierdo o derecho del anillo está contenido en el radical nulo superior del anillo.
  4. Para cualquier anillo R y para cualquier ideal nulo J de R , el ideal matricial M n ( J ​​) es un ideal nulo de M n ( R ) para cada n .
  5. Para cualquier anillo R y para cualquier ideal nulo J de R , el ideal matricial M 2 ( J ) es un ideal nulo de M 2 ( R ).
  6. Para cualquier anillo R , el nilradical superior de M n ( R ) es el conjunto de matrices con entradas del nilradical superior de R para cada entero positivo n .
  7. Para cualquier anillo R y para cualquier ideal nulo J de R , los polinomios con x indeterminado y coeficientes de J se encuentran en el radical de Jacobson del anillo de polinomios R [ x ].
  8. Para cualquier anillo R , el radical de Jacobson de R [ x ] consiste en los polinomios con coeficientes del nilradical superior de R .

Problemas relacionados

Una conjetura de Amitsur decía: "Si J es un ideal nulo en R , entonces J [ x ] es un ideal nulo del anillo polinomial R [ x ]". [6] Esta conjetura, de ser cierta, habría demostrado la conjetura de Köthe a través de las afirmaciones equivalentes anteriores, sin embargo, Agata Smoktunowicz produjo un contraejemplo . [7] Si bien no es una refutación de la conjetura de Köthe, esto alimentó las sospechas de que la conjetura de Köthe puede ser falsa. [8]

Kegel demostró que un anillo que es la suma directa de dos subanillos nilpotentes es en sí mismo nilpotente. [ cita requerida ] Surgió la cuestión de si "nilpotente" podía reemplazarse por "localmente nilpotente" o "nil". Se logró un avance parcial cuando Kelarev [9] presentó un ejemplo de un anillo que no es nulo, sino que es la suma directa de dos anillos localmente nilpotentes. Esto demuestra que la pregunta de Kegel con "localmente nilpotente" reemplazando "nilpotente" tiene una respuesta negativa.

La suma de un subanillo nilpotente y un subanillo nulo es siempre nula. [10]

Referencias

  1. ^ John C. McConnell, James Christopher Robson, Lance W. Small, Anillos noetherianos no conmutativos (2001), pág. 484.
  2. ^ Lam, TY, Un primer curso en anillos no conmutativos (2001), p.164.
  3. ^ Krempa, J., "Conexiones lógicas entre algunos problemas abiertos relativos a anillos nulos", Fundamenta Mathematicae 76 (1972), no. 2, 121–130.
  4. ^ Lam, TY, Un primer curso en anillos no conmutativos (2001), p.171.
  5. ^ Lam, TY, Ejercicios en teoría de anillos clásica (2003), pág. 160.
  6. ^ Amitsur, SA Radicales nulos. Notas históricas y algunos resultados nuevos Rings, modules and radicals (Anillos, módulos y radicales) (Proc. Internat. Colloq., Keszthely, 1971), págs. 47-65. Colloq. Math. Soc. János Bolyai, vol. 6, Holanda Septentrional, Ámsterdam, 1973.
  7. ^ Smoktunowicz, Agata . Los anillos polinómicos sobre anillos nulos no necesitan ser nulos J. Algebra 233 (2000), no. 2, p. 427–436.
  8. ^ Lam, TY, Un primer curso en anillos no conmutativos (2001), p.171.
  9. ^ Kelarev, AV, La suma de dos anillos localmente nilpotentes puede no ser nula, Arch. Math. 60 (1993), pág. 431–435.
  10. ^ Ferrero, M., Puczylowski, ER, Sobre anillos que son sumas de dos subanillos, Arch. Math. 53 (1989), pág. 4–10.

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