La Géométrie se publicó en 1637 como apéndice del Discours de la méthode ( Discurso sobre el método ), escrito por René Descartes . En el Discurso , Descartes presenta su método para obtener claridad sobre cualquier tema. La Géométrie y otros dos apéndices, también de Descartes, La Dioptrique ( Óptica ) y Les Météores ( Meteorología ), se publicaron con el Discurso para dar ejemplos de los tipos de éxitos que había logrado siguiendo su método [1] (así como, tal vez, considerando el clima social europeo contemporáneo de competitividad intelectual, para presumir un poco ante un público más amplio).
La obra fue la primera en proponer la idea de unir álgebra y geometría en una sola materia [2] e inventó una geometría algebraica llamada geometría analítica , que implica reducir la geometría a una forma de aritmética y álgebra y traducir formas geométricas en ecuaciones algebraicas . Para su época esto fue innovador. También contribuyó a las ideas matemáticas de Leibniz y Newton y, por tanto, fue importante en el desarrollo del cálculo.
Este apéndice está dividido en tres "libros". [3]
El libro I se titula Problemas que pueden construirse únicamente mediante círculos y líneas rectas. En este libro presenta la notación algebraica que todavía se utiliza en la actualidad. Las letras al final del alfabeto, a saber, x , y , z , etc., denotan variables desconocidas, mientras que las del comienzo del alfabeto, a , b , c , etc., denotan constantes. Introduce la notación exponencial moderna para las potencias (excepto para los cuadrados, donde mantuvo la antigua tradición de escribir letras repetidas, como aa ). También rompe con la tradición griega de asociar potencias con referentes geométricos, un 2 con un área, un 3 con un volumen, etc., y los trata a todos como posibles longitudes de segmentos de recta. Estos recursos de notación le permiten describir una asociación de números con longitudes de segmentos de línea que podrían construirse con regla y compás . La mayor parte del resto de este libro está ocupada por la solución de Descartes a "los problemas del locus de Pappus ". [4] Según Pappus, dadas tres o cuatro líneas en un plano, el problema es encontrar el lugar geométrico de un punto que se mueve de modo que el producto de las distancias desde dos de las líneas fijas (a lo largo de direcciones específicas) sea proporcional a la cuadrado de la distancia a la tercera línea (en el caso de tres líneas) o proporcional al producto de las distancias a las otras dos líneas (en el caso de cuatro líneas). Al resolver estos problemas y sus generalizaciones, Descartes toma dos segmentos de recta como desconocidos y los designa x e y . Los segmentos de línea conocidos se denominan a , b , c , etc. La idea germinal de un sistema de coordenadas cartesiano se remonta a este trabajo.
En el segundo libro, titulado Sobre la naturaleza de las líneas curvas , Descartes describió dos tipos de curvas, llamadas por él geométricas y mecánicas . Las curvas geométricas son aquellas que ahora se describen mediante ecuaciones algebraicas en dos variables, sin embargo, Descartes las describió cinemáticamente y una característica esencial era que todos sus puntos podían obtenerse mediante construcción a partir de curvas de orden inferior. Esto representó una expansión más allá de lo permitido por las construcciones con regla y compás. [5] Otras curvas como la cuadratriz y la espiral , donde sólo algunos de cuyos puntos podían construirse, se denominaron mecánicas y no se consideraron adecuadas para el estudio matemático. Descartes también ideó un método algebraico para encontrar la normal en cualquier punto de una curva cuya ecuación se conozca. La construcción de las tangentes a la curva se sigue fácilmente y Descartes aplicó este procedimiento algebraico para encontrar tangentes a varias curvas.
El tercer libro, Sobre la construcción de problemas de sólidos y supersólidos , es más propiamente algebraico que geométrico y trata de la naturaleza de las ecuaciones y de cómo pueden resolverse. Recomienda que todos los términos de una ecuación se coloquen en un lado y se igualen a 0 para facilitar la solución. Señala el teorema del factor para polinomios y ofrece una prueba intuitiva de que un polinomio de grado n tiene n raíces. Discutió sistemáticamente las raíces negativas e imaginarias [6] de las ecuaciones y utilizó explícitamente lo que ahora se conoce como la regla de los signos de Descartes .
Descartes escribió La Géométrie en francés en lugar del idioma utilizado para la mayoría de las publicaciones académicas de la época, el latín. Su estilo expositivo estuvo lejos de ser claro, el material no estaba ordenado de manera sistemática y generalmente solo daba indicaciones de pruebas, dejando muchos de los detalles al lector. [7] Su actitud hacia la escritura está indicada por declaraciones como "No me propuse decirlo todo" o "Ya me cansa escribir tanto sobre ello", que ocurren con frecuencia. Descartes justifica sus omisiones y oscuridades con la observación de que mucho se omitió deliberadamente "para dar a otros el placer de descubrirlo por sí mismos".
A Descartes a menudo se le atribuye la invención del plano de coordenadas porque tenía los conceptos relevantes en su libro, [8] sin embargo, en ninguna parte de La Géométrie aparece el sistema de coordenadas rectangular moderno. Esta y otras mejoras fueron añadidas por matemáticos que se encargaron de aclarar y explicar el trabajo de Descartes.
Esta mejora del trabajo de Descartes fue llevada a cabo principalmente por Frans van Schooten , profesor de matemáticas en Leiden y sus alumnos. Van Schooten publicó una versión latina de La Géométrie en 1649 y a ésta le siguieron otras tres ediciones en 1659-1661, 1683 y 1693. La edición de 1659-1661 fue una obra de dos volúmenes, más del doble de la extensión del original, llena de explicaciones y Ejemplos proporcionados por van Schooten y estos estudiantes. Uno de estos estudiantes, Johannes Hudde, proporcionó un método conveniente para determinar raíces dobles de un polinomio, conocido como regla de Hudde , que había sido un procedimiento difícil en el método de las tangentes de Descartes. Estas ediciones establecieron la geometría analítica en el siglo XVII. [9]
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