Espacio LB

En matemáticas , un LB -espacio , también escrito ( LB )-espacio , es un espacio vectorial topológico que es un límite inductivo localmente convexo de un sistema inductivo numerable de espacios de Banach . Esto significa que es un límite directo de un sistema directo en la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos y cada uno es un espacio de Banach. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X_{n},i_{nm})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X_{n},i_{nm}\right)}$ ${\displaystyle X_{n}}$

Si cada uno de los mapas de enlace es una incrustación de TVS, entonces el espacio LB se denomina espacio LB estricto . Esto significa que la topología inducida en por es idéntica a la topología original en ^[1]. Algunos autores (por ejemplo, Schaefer) definen el término " espacio LB " como " espacio LB estricto ". ${\displaystyle i_{nm}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n+1}}$ ${\displaystyle X_{n}.}$

Definición

La topología de se puede describir especificando que un subconjunto absolutamente convexo es un vecindario de si y solo si es un vecindario absolutamente convexo de en para cada ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U\cap X_{n}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Propiedades

Un espacio LB estricto es completo , ^[2] con barriles , ^[2] y bornológico ^[2] (y por lo tanto ultrabornológico ).

Ejemplos

Si es un espacio topológico localmente compacto que es contable en el infinito (es decir, es igual a una unión contable de subespacios compactos), entonces el espacio de todas las funciones continuas de valor complejo en con soporte compacto es un espacio LB estricto . ^[3] Para cualquier subconjunto compacto, sea el espacio de Banach de funciones de valor complejo que están soportadas por con la norma uniforme y ordene la familia de subconjuntos compactos de por inclusión. ^[3] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C_{c}(D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle K\subseteq D,}$ ${\displaystyle C_{c}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle D}$

Topología final sobre el límite directo de espacios euclidianos de dimensión finita

Dejar

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\mathbb {R} ^{\infty }~&:=~\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{ all but finitely many }}x_{i}{\text{ are equal to 0 }}\right\},\end{alignedat}}}$

denota el espacio de sucesiones finitas , donde denota el espacio de todas las sucesiones reales . Para cada número natural, denotemos el espacio euclidiano usual dotado de la topología euclidiana y denotemos la inclusión canónica definida por de modo que su imagen sea ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\}=\mathbb {R} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$

y por consiguiente,

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$

Dotar al conjunto con la topología final inducida por la familia de todas las inclusiones canónicas. Con esta topología, se convierte en un espacio vectorial topológico secuencial localmente convexo de Hausdorff completo que no es un espacio de Fréchet–Urysohn . La topología es estrictamente más fina que la topología de subespacio inducida en por donde está dotada de su topología de producto habitual . Dotar a la imagen con la topología final inducida en ella por la biyección , es decir, está dotada de la topología euclidiana transferida a ella desde a través de Esta topología en es igual a la topología de subespacio inducida en ella por Un subconjunto es abierto (o cerrado) en si y solo si para cada el conjunto es un subconjunto abierto (o cerrado) de La topología es coherente con la familia de subespacios Esto hace que sea un espacio LB. En consecuencia, si y es una secuencia en entonces en si y solo si existe alguno tal que tanto y están contenidos en y en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{\;\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right);}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right).}$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle S\cap \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} :=\left\{\;\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}.}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$

A menudo, para cada inclusión canónica se utiliza para identificar con su imagen de manera explícita, los elementos y se identifican juntos. Bajo esta identificación, se convierte en un límite directo del sistema directo donde para cada mapa es la inclusión canónica definida por donde hay ceros finales. ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty };}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$ ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$ ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{m\leq n{\text{ in }}\mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$ ${\displaystyle m\leq n,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right),}$ ${\displaystyle n-m}$

Contraejemplos

Existe un espacio LB bornológico cuyo bidual fuerte no es bornológico. ^[4] Existe un espacio LB que no es cuasi-completo . ^[4]

Véase también

• Espacio DF  : clase de espacio local convexo especialPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Límite directo  : caso especial de colimite en la teoría de categorías
• Topología final  : la mejor topología que hace que algunas funciones sean continuas
• Espacio F  : espacio vectorial topológico con una métrica completamente invariante a la traslación
• Espacio LF  – Espacio vectorial topológico

Citas

1. Schaefer y Wolff 1999, págs. 55-61.
2. Schaefer y Wolff 1999, págs. 60–63.
3. Schaefer & Wolff 1999, págs. 57–58.
4. Khaleelulla 1982, págs.

Referencias

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