Teorema de Kronecker-Weber

Toda extensión abeliana finita de Q está contenida dentro de algún campo ciclotómico

En la teoría de números algebraicos , se puede demostrar que todo cuerpo ciclotómico es una extensión abeliana del cuerpo de números racionales Q , que tiene un grupo de Galois de la forma . El teorema de Kronecker-Weber proporciona una recíproca parcial: toda extensión abeliana finita de Q está contenida dentro de algún cuerpo ciclotómico. En otras palabras, todo entero algebraico cuyo grupo de Galois sea abeliano se puede expresar como una suma de raíces de la unidad con coeficientes racionales. Por ejemplo, ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5},}$ ${\displaystyle {\sqrt {-3}}=e^{2\pi i/3}-e^{4\pi i/3},}$y ${\displaystyle {\sqrt {3}}=e^{\pi i/6}-e^{5\pi i/6}.}$

El teorema lleva el nombre de Leopold Kronecker y Heinrich Martin Weber .

Formulación teórica de campos

El teorema de Kronecker-Weber puede enunciarse en términos de cuerpos y extensiones de cuerpos . Precisamente, el teorema de Kronecker-Weber enuncia: toda extensión abeliana finita de los números racionales Q es un subcuerpo de un cuerpo ciclotómico. Es decir, siempre que un cuerpo de números algebraicos tenga un grupo de Galois sobre Q que sea un grupo abeliano , el cuerpo es un subcuerpo de un cuerpo obtenido mediante la anexión de una raíz de la unidad a los números racionales.

Para una extensión abeliana dada K de Q existe un cuerpo ciclotómico mínimo que la contiene. El teorema permite definir el conductor de K como el menor entero n tal que K se encuentre dentro del cuerpo generado por las raíces n -ésimas de la unidad. Por ejemplo, los cuerpos cuadráticos tienen como conductor el valor absoluto de su discriminante , hecho generalizado en la teoría de cuerpos de clases .

Historia

El teorema fue enunciado por primera vez por Kronecker  (1853), aunque su argumento no estaba completo para extensiones de grado a potencia de 2. Weber  (1886) publicó una demostración, pero tenía algunas lagunas y errores que fueron señalados y corregidos por Neumann (1981). La primera demostración completa fue dada por Hilbert  (1896).

Generalizaciones

Lubin y Tate (1965, 1966) demostraron el teorema local de Kronecker-Weber que establece que cualquier extensión abeliana de un cuerpo local puede construirse utilizando extensiones ciclotómicas y extensiones de Lubin-Tate . Hazewinkel (1975), Rosen (1981) y Lubin (1981) dieron otras pruebas.

El duodécimo problema de Hilbert pide generalizaciones del teorema de Kronecker-Weber a cuerpos base distintos de los números racionales, y pide los análogos de las raíces de la unidad para esos cuerpos. La teoría de cuerpos de clases ofrece un enfoque diferente a las extensiones abelianas .

Referencias

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