Métrica de Kerr-Newman

Solución de las ecuaciones de campo de Einstein

La métrica de Kerr-Newman describe la geometría del espacio-tiempo alrededor de una masa que está cargada eléctricamente y rota. Es una solución de vacío que generaliza la métrica de Kerr (que describe una masa rotatoria sin carga) al tener en cuenta además la energía de un campo electromagnético , lo que la convierte en la solución asintóticamente plana y estacionaria más general de las ecuaciones de Einstein-Maxwell en relatividad general . Como solución de electrovacío , solo incluye aquellas cargas asociadas con el campo magnético; no incluye ninguna carga eléctrica libre.

Debido a que los objetos astronómicos observados no poseen una carga eléctrica neta apreciable ^{[ cita requerida ]} (los campos magnéticos de las estrellas surgen a través de otros procesos), la métrica de Kerr-Newman es principalmente de interés teórico. El modelo carece de descripción de la materia bariónica , la luz ( polvo nulo ) o la materia oscura que cae sobre ellos , y por lo tanto proporciona una descripción incompleta de los agujeros negros de masa estelar y los núcleos galácticos activos . Sin embargo, la solución es de interés matemático y proporciona una piedra angular bastante simple para una mayor exploración. ^{[ cita requerida ]}

La solución de Kerr-Newman es un caso especial de soluciones exactas más generales de las ecuaciones de Einstein-Maxwell con constante cosmológica distinta de cero . ^[1]

Historia

En diciembre de 1963, Roy Kerr y Alfred Schild encontraron las métricas de Kerr-Schild que dieron todos los espacios de Einstein que son perturbaciones lineales exactas del espacio de Minkowski . A principios de 1964, Kerr buscó todos los espacios de Einstein-Maxwell con esta misma propiedad. Para febrero de 1964, se conocía el caso especial donde los espacios de Kerr-Schild estaban cargados (incluyendo la solución de Kerr-Newman), pero el caso general donde las direcciones especiales no eran geodésicas del espacio de Minkowski subyacente resultó muy difícil. El problema fue dado a George Debney para tratar de resolverlo, pero se abandonó en marzo de 1964. En esta época, Ezra T. Newman encontró la solución para Kerr cargado mediante conjeturas. En 1965, Ezra "Ted" Newman encontró la solución axisimétrica de la ecuación de campo de Einstein para un agujero negro que es a la vez giratorio y cargado eléctricamente. ^{[2] [3]} Esta fórmula para el tensor métrico se llama métrica de Kerr-Newman. Se trata de una generalización de la métrica de Kerr para una masa puntual giratoria sin carga, que había sido descubierta por Roy Kerr dos años antes. ^[4] ${\displaystyle g_{\mu \nu }\!}$

Las cuatro soluciones relacionadas se pueden resumir en la siguiente tabla:

donde Q representa la carga eléctrica del cuerpo y J representa su momento angular de giro .

Descripción general de la solución

El resultado de Newman representa la solución más simple, estacionaria , axisimétrica y asintóticamente plana de las ecuaciones de Einstein en presencia de un campo electromagnético en cuatro dimensiones. A veces se lo denomina solución de "electrovacío" de las ecuaciones de Einstein.

Cualquier fuente de Kerr-Newman tiene su eje de rotación alineado con su eje magnético. ^[5] Por lo tanto, una fuente de Kerr-Newman es diferente de los cuerpos astronómicos observados comúnmente, para los cuales existe un ángulo sustancial entre el eje de rotación y el momento magnético . ^[6] Específicamente, ni el Sol ni ninguno de los planetas del Sistema Solar tienen campos magnéticos alineados con el eje de giro. Por lo tanto, mientras que la solución de Kerr describe el campo gravitacional del Sol y los planetas, los campos magnéticos surgen por un proceso diferente.

Si se considera el potencial de Kerr-Newman como un modelo para un electrón clásico, predice un electrón que no solo tiene un momento dipolar magnético, sino también otros momentos multipolares, como un momento cuadrupolar eléctrico. ^[7] Aún no se ha detectado experimentalmente un momento cuadrupolar de un electrón; parece ser cero. ^[7]

En el límite G  = 0, los campos electromagnéticos son los de un disco giratorio cargado dentro de un anillo donde los campos son infinitos. La energía de campo total para este disco es infinita, por lo que este límite G  = 0 no resuelve el problema de la autoenergía infinita . ^[8]

Al igual que la métrica de Kerr para una masa rotatoria sin carga, la solución interior de Kerr-Newman existe matemáticamente, pero probablemente no sea representativa de la métrica real de un agujero negro rotatorio físicamente realista debido a problemas con la estabilidad del horizonte de Cauchy , debido a la inflación de masa impulsada por la materia que cae. Aunque representa una generalización de la métrica de Kerr, no se considera muy importante para fines astrofísicos, ya que no se espera que los agujeros negros realistas tengan una carga eléctrica significativa (se espera que tengan una carga positiva minúscula, pero solo porque el protón tiene un momento mucho mayor que el electrón y, por lo tanto, es más probable que supere la repulsión electrostática y sea transportado por el momento a través del horizonte).

La métrica de Kerr-Newman define un agujero negro con un horizonte de eventos solo cuando la carga y el momento angular combinados son suficientemente pequeños: ^[9]

${\displaystyle J^{2}/M^{2}+Q^{2}\leq M^{2}.}$

El momento angular J y la carga Q de un electrón (especificados adecuadamente en unidades geométricas ) exceden su masa M , en cuyo caso la métrica no tiene horizonte de eventos. Por lo tanto, no puede existir nada parecido a un electrón de agujero negro , solo una singularidad de anillo giratorio desnudo . ^[10] Una métrica de este tipo tiene varias propiedades aparentemente no físicas, como la violación por parte del anillo de la hipótesis de censura cósmica , y también la aparición de curvas temporales cerradas que violan la causalidad en la vecindad inmediata del anillo. ^[11]

Un artículo de 2009 del teórico ruso Alexander Burinskii consideró un electrón como una generalización de los modelos previos de Israel (1970) ^[12] y López (1984), ^[13] que truncaron la hoja "negativa" de la métrica de Kerr-Newman, obteniendo la fuente de la solución de Kerr-Newman en forma de un disco rotatorio relativista. El truncamiento de López regularizó la métrica de Kerr-Newman por un corte en : , reemplazando la singularidad por un espacio-tiempo regular plano, la llamada "burbuja". Suponiendo que la burbuja de López corresponde a una transición de fase similar al mecanismo de ruptura de la simetría del Higgs, Burinskii demostró que una singularidad de anillo creada por la gravedad forma por regularización el núcleo superconductor del modelo del electrón ^[14] y debe ser descrita por el modelo de campo supersimétrico de Landau-Ginzburg de transición de fase: ${\displaystyle r=r_{e}=e^{2}/2M}$

Omitiendo el trabajo intermedio de Burinsky, llegamos a la nueva propuesta reciente: considerar la hoja negativa truncada por Israel y López de la solución KN como la hoja del positrón. ^[15]

Esta modificación une la solución KN con el modelo de QED y muestra el importante papel de las líneas de Wilson formadas por el arrastre de marco del potencial vectorial.

Como resultado, la solución KN modificada adquiere una fuerte interacción con la gravedad de Kerr causada por la contribución de energía adicional del vacío electrón-positrón y crea la cuerda circular relativista de Kerr-Newman de tamaño Compton.

Casos limitantes

Se puede observar que la métrica de Kerr-Newman se reduce a otras soluciones exactas en relatividad general en casos límite. Se reduce a

• la métrica de Kerr a medida que la carga Q tiende a cero;
• la métrica de Reissner-Nordström como el momento angular J (o a  =  ⁠Yo/METRO⁠  ) ​​va a cero;
• la métrica de Schwarzschild , ya que tanto la carga Q como el momento angular J (o a ) se llevan a cero; y
• Espacio de Minkowski si la masa M , la carga Q y el parámetro rotacional a son todos cero.

Alternativamente, si se pretende eliminar la gravedad, surge el espacio de Minkowski si la constante gravitacional G es cero, sin llevar la masa y la carga a cero. En este caso, los campos eléctricos y magnéticos son más complicados que simplemente los campos de un dipolo magnético cargado ; el límite de gravedad cero no es trivial. ^{[ cita requerida ]}

La métrica

La métrica de Kerr-Newman describe la geometría del espacio-tiempo para un agujero negro cargado en rotación con masa M , carga Q y momento angular J . La fórmula para esta métrica depende de las coordenadas o condiciones de coordenadas que se seleccionen. A continuación se dan dos formas: coordenadas de Boyer-Lindquist y coordenadas de Kerr-Schild. La métrica gravitacional por sí sola no es suficiente para determinar una solución a las ecuaciones de campo de Einstein; también se debe proporcionar el tensor de tensión electromagnética. Ambos se proporcionan en cada sección.

Coordenadas de Boyer-Lindquist

Una forma de expresar esta métrica es escribiendo su elemento de línea en un conjunto particular de coordenadas esféricas , ^[16] también llamadas coordenadas de Boyer-Lindquist :

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=-\left({\frac {dr^{2}}{\Delta }}+d\theta ^{2}\right)\rho ^{2}+\left(c\,dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)^{2}{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}-\left(\left(r^{2}+a^{2}\right)d\phi -ac\,dt\right)^{2}{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}},}$

donde las coordenadas ( r , θ , ϕ ) son el sistema de coordenadas esféricas estándar y las escalas de longitud:

${\displaystyle a={\frac {J}{Mc}}\,,}$

${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \,,}$

${\displaystyle \Delta =r^{2}-r_{\text{s}}r+a^{2}+r_{Q}^{2}\,,}$

Se han introducido para abreviar. Aquí r _s es el radio de Schwarzschild del cuerpo masivo, que está relacionado con su equivalente de masa total M por

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

donde G es la constante gravitacional y r _Q es una escala de longitud correspondiente a la carga eléctrica Q de la masa

${\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \epsilon _{0}c^{4}}},}$

donde ε ₀ es la permitividad del vacío .

Tensor de campo electromagnético en forma de Boyer-Lindquist

El potencial electromagnético en coordenadas de Boyer-Lindquist es ^{[17] [18]}

${\displaystyle A_{\mu }=\left({\frac {r\ r_{Q}}{\rho ^{2}}},0,0,-{\frac {\ a\ r\ r_{Q}\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\right)}$

mientras que el tensor de Maxwell se define por

${\displaystyle F_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}\ \to \ F^{\mu \nu }=g^{\mu \sigma }\ g^{\nu \kappa }\ F_{\sigma \kappa }}$

En combinación con los símbolos de Christoffel, las ecuaciones de movimiento de segundo orden se pueden derivar con

${\displaystyle {{{\ddot {x}}^{i}=-\Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}^{j}}}\ {g_{jk}}},}$

donde es la carga por masa de la partícula de prueba. ${\displaystyle q}$

Coordenadas de Kerr-Schild

La métrica de Kerr-Newman se puede expresar en la forma Kerr-Schild , utilizando un conjunto particular de coordenadas cartesianas , propuestas por Kerr y Schild en 1965. La métrica es la siguiente. ^{[19] [20] [21]}

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\!}$

${\displaystyle f={\frac {Gr^{2}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]}$

${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {rx+ay}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {ry-ax}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {z}{r}}\right)}$

${\displaystyle k_{0}=1.\!}$

Nótese que k es un vector unitario . Aquí M es la masa constante del objeto giratorio, Q es la carga constante del objeto giratorio, η es la métrica de Minkowski y a  =  J / M es un parámetro rotacional constante del objeto giratorio. Se entiende que el vector está dirigido a lo largo del eje z positivo, es decir . La cantidad r no es el radio, sino que está definida implícitamente por la relación ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {z}}}$

${\displaystyle 1={\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}.}$

Observe que la cantidad r se convierte en el radio habitual R

${\displaystyle r\to R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

cuando el parámetro rotacional a se acerca a cero. En esta forma de solución, las unidades se seleccionan de modo que la velocidad de la luz sea la unidad ( c = 1). Para proporcionar una solución completa de las ecuaciones de Einstein-Maxwell , la solución de Kerr-Newman no solo incluye una fórmula para el tensor métrico, sino también una fórmula para el potencial electromagnético: ^{[19] [22]}

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {Qr^{3}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}k_{\mu }}$

A grandes distancias de la fuente ( R  ≫  a ), estas ecuaciones se reducen a la métrica de Reissner-Nordström con:

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {Q}{R}}k_{\mu }}$

En la forma Kerr-Schild de la métrica de Kerr-Newman, el determinante del tensor métrico es en todas partes igual a menos uno, incluso cerca de la fuente. ^[1]

Campos electromagnéticos en forma de Kerr-Schild

Los campos eléctrico y magnético se pueden obtener de la forma habitual, diferenciando el tetrapotencial para obtener el tensor de intensidad del campo electromagnético . Será conveniente pasar a la notación vectorial tridimensional.

${\displaystyle A_{\mu }=\left(-\phi ,A_{x},A_{y},A_{z}\right)\,}$

Los campos eléctricos y magnéticos estáticos se derivan del potencial vectorial y del potencial escalar de la siguiente manera:

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi \,}$

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}\,}$

Usando la fórmula de Kerr-Newman para el cuadripotencial en la forma de Kerr-Schild, en el límite de la masa que tiende a cero, se obtiene la siguiente fórmula compleja concisa para los campos: ^[23]

${\displaystyle {\vec {E}}+i{\vec {B}}=-{\vec {\nabla }}\Omega \,}$

${\displaystyle \Omega ={\frac {Q}{\sqrt {({\vec {R}}-i{\vec {a}})^{2}}}}\,}$

La cantidad omega ( ) en esta última ecuación es similar al potencial de Coulomb , excepto que el radio vector se desplaza en una cantidad imaginaria. Este potencial complejo fue analizado ya en el siglo XIX por el matemático francés Paul Émile Appell . ^[24] ${\displaystyle \Omega }$

Masa irreducible

La masa equivalente total M , que contiene la energía del campo eléctrico y la energía rotacional , y la masa irreducible M _irr están relacionadas por ^{[25] [26]}

${\displaystyle M_{\rm {irr}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2M^{2}-r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-(r_{Q}^{2}+a^{2})c^{4}/G^{2}}}}}}$

que se puede invertir para obtener

${\displaystyle M={\frac {4M_{\rm {irr}}^{2}+r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}}{2{\sqrt {4M_{\rm {irr}}^{2}-a^{2}c^{4}/G^{2}}}}}}$

Para cargar eléctricamente y/o hacer girar un cuerpo neutro y estático, se debe aplicar energía al sistema. Debido a la equivalencia masa-energía , esta energía también tiene una masa equivalente; por lo tanto, M siempre es mayor que M _irr . Si, por ejemplo, la energía rotacional de un agujero negro se extrae mediante los procesos de Penrose , ^{[27] [28]} la masa-energía restante siempre será mayor o igual que M _irr .

Superficies importantes

Horizontes de eventos y ergosferas de un agujero negro cargado y giratorio en coordenadas pseudoesféricas r , θ , φ y cartesianas x , y , z .

Al establecerlo en 0 y resolverlo se obtiene el horizonte de eventos interno y externo , que se encuentra en la coordenada de Boyer-Lindquist. ${\displaystyle 1/g_{rr}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r_{\text{H}}^{\pm }={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {r_{\rm {s}}^{2}}{4}}-a^{2}-r_{Q}^{2}}}.}$

Repitiendo este paso se obtiene la ergosfera interna y externa. ${\displaystyle g_{tt}}$

${\displaystyle r_{\text{E}}^{\pm }={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {r_{\rm {s}}^{2}}{4}}-a^{2}\cos ^{2}\theta -r_{Q}^{2}}}.}$

Partícula de prueba en órbita alrededor de un agujero negro giratorio y cargado ( a / M  = 0,9, Q / M  = 0,4)

Ecuaciones de movimiento

Para abreviar, utilizamos además cantidades no dimensionalizadas normalizadas contra , , y , donde se reduce a y a , y las ecuaciones de movimiento para una partícula de prueba de carga se convierten en ^{[29] [30]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Jc/G/M^{2}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\textstyle Q/(M{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}})}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\dot {t}}\Delta \rho ^{2}=\csc ^{2}\theta \ ({L_{z}}(a\ \Delta \sin ^{2}\theta -a\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta +E((a^{2}+r^{2})^{2}\sin ^{2}\theta -a^{2}\Delta \sin ^{4}\theta ))}$

${\displaystyle {\dot {r}}\rho ^{2}=\pm \left(((r^{2}+a^{2})\ E-a\ L_{z}-q\ Q\ r)^{2}-\Delta \ (C+r^{2})\right)^{1/2}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}\rho ^{2}=\pm \left(C-(a\cos \theta )^{2}-(a\ \sin ^{2}\theta \ E-L_{z})^{2}/\sin ^{2}\theta \right)^{1/2}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}\rho ^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta =E\ (a\ \sin ^{2}\theta \ (r^{2}+a^{2})-a\ \sin ^{2}\theta \ \Delta )+L_{z}\ (\Delta -a^{2}\ \sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ a\ \sin ^{2}\theta }$

con para la energía total y para el momento angular axial. es la constante de Carter : ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}\delta +L_{z}^{2}\ \tan ^{2}\delta ={\rm {const}},}$

donde es el componente poloidal del momento angular de la partícula de prueba y el ángulo de inclinación orbital. ${\displaystyle p_{\theta }={\dot {\theta }}\ \rho ^{2}}$ ${\displaystyle \delta }$

Trazado de rayos de la sombra de un agujero negro giratorio y cargado con un disco de acreción y parámetros a / M = 0,95, Q / M = 0,3. El lado izquierdo del agujero negro gira hacia el observador, la inclinación del eje de rotación con respecto al observador es de 45°.

${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }=-g_{\phi \phi }{\dot {\phi }}-g_{t\phi }{\dot {t}}-q\ A_{\phi }={\frac {v^{\phi }\ {\bar {R}}}{\sqrt {1-\mu ^{2}v^{2}}}}+{\frac {(1-\mu ^{2}v^{2})\ a\ r\ \mho \ q\ \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}={\rm {const.}}}$

y

${\displaystyle E=-p_{t}=g_{tt}{\dot {t}}+g_{t\phi }{\dot {\phi }}+q\ A_{t}={\sqrt {\frac {\Delta \ \rho ^{2}}{(1-\mu ^{2}v^{2})\ \chi }}}+\Omega \ L_{z}+{\frac {\mho \ q\ r}{\Sigma }}={\rm {const.}}}$

con y para partículas también son cantidades conservadas. ${\displaystyle \mu ^{2}=0}$ ${\displaystyle \mu ^{2}=1}$

${\displaystyle \Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {a\left(2r-Q^{2}\right)}{\chi }}}$

es la velocidad angular inducida por el arrastre del marco. El término abreviado se define por ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta .}$

La relación entre las derivadas de coordenadas y la 3-velocidad local es ${\displaystyle {\dot {r}},\ {\dot {\theta }},\ {\dot {\phi }}}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v^{r}={\dot {r}}\ {\sqrt {\frac {\rho ^{2}\ (1-\mu ^{2}v^{2})}{\Delta }}}}$

Para el radial,

${\displaystyle v^{\theta }={\dot {\theta }}\ {\sqrt {\rho ^{2}\ (1-\mu ^{2}v^{2})}}}$

para el poloidal,

${\displaystyle v^{\phi }={\sqrt {1-\mu ^{2}v^{2}}}\left(L_{z}\ \Sigma -a\ q\ Q\ r\left(1-\mu ^{2}v^{2}\right)\sin ^{2}\theta \right)\cdot ({\bar {R}}\ \Sigma )^{-1}}$

para el axial y

${\displaystyle v={\frac {\sqrt {{\dot {t}}^{2}-\varsigma ^{2}}}{\dot {t}}}={\sqrt {\frac {\chi \ (E-L_{z}\ \Omega )^{2}-\Delta \ \rho ^{2}}{\chi \ (E-L_{z}\ \Omega )^{2}}}}}$

para la velocidad local total, donde

${\displaystyle {\bar {R}}={\sqrt {-g_{\phi \phi }}}={\sqrt {\frac {\chi }{\rho ^{2}}}}\ \sin \theta }$

es el radio de giro axial (circunferencia local dividida por 2π), y

${\displaystyle \varsigma ={\sqrt {g^{tt}}}={\frac {\chi }{\Delta \ \rho ^{2}}}}$

El componente de dilatación del tiempo gravitacional. La velocidad de escape radial local para una partícula neutra es, por lo tanto,

${\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}{\varsigma }}.}$

Referencias

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Bibliografía

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Enlaces externos

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• SR Made Easy, capítulo 11: Agujeros negros cargados y rotatorios y su termodinámica