Función Tau (sistemas integrables)

Las funciones Tau son un ingrediente importante en la teoría matemática moderna de sistemas integrables y tienen numerosas aplicaciones en una variedad de otros dominios. Fueron introducidas originalmente por Ryogo Hirota ^[1] en su enfoque de método directo para ecuaciones de solitones , basado en expresarlas en una forma bilineal equivalente.

El término función tau , o -función, fue utilizado por primera vez sistemáticamente por Mikio Sato ^[2] y sus estudiantes ^{[3] [4]} en el contexto específico de la ecuación de Kadomtsev–Petviashvili (o KP) y las jerarquías integrables relacionadas . Es un ingrediente central en la teoría de solitones . En este contexto, dada cualquier -función que satisfaga un sistema de ecuaciones bilineales de tipo Hirota (véase § Relación de residuo bilineal de Hirota para funciones tau KP a continuación), las soluciones correspondientes de las ecuaciones de la jerarquía integrable se pueden expresar explícitamente en términos de ella y sus derivadas logarítmicas hasta un orden finito. Las funciones Tau también aparecen como funciones de partición del modelo matricial en la teoría espectral de matrices aleatorias , ^{[5] [6] [7]} y también pueden servir como funciones generadoras , en el sentido de la combinatoria y la geometría enumerativa , especialmente en relación con los espacios de módulos de las superficies de Riemann , y la enumeración de recubrimientos ramificados , o los llamados números de Hurwitz . ^{[8] [9] [10]} ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Existen dos nociones de -funciones, ambas introducidas por la escuela de Sato . La primera son las -funciones isoespectrales del tipo Sato – Segal –Wilson ^{[2] [11]} para jerarquías integrables, como la jerarquía KP, que están parametrizadas por operadores lineales que satisfacen ecuaciones de deformación isoespectral del tipo Lax . La segunda son las -funciones isomonodrómicas ^[12] . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Dependiendo de la aplicación específica, una función puede ser: 1) una función analítica de un número finito o infinito de variables de flujo independientes y conmutativas, o parámetros de deformación; 2) una función discreta de un número finito o infinito de variables enumerables; 3) una expansión formal de una serie de potencias en un número finito o infinito de variables de expansión, que no necesita tener un dominio de convergencia, pero sirve como función generadora para ciertos invariantes enumerativos que aparecen como coeficientes de la serie; 4) un determinante finito o infinito (de Fredholm) cuyas entradas son funciones polinómicas o cuasipolinómicas específicas, o integrales paramétricas y sus derivadas; 5) el Pfaffian de una matriz antisimétrica (ya sea de dimensión finita o infinita) con entradas igualmente de tipo polinómico o cuasipolinómico. A continuación se dan ejemplos de todos estos tipos. ${\displaystyle \tau }$

En el enfoque de Hamilton-Jacobi para los sistemas hamiltonianos integrables de Liouville , la función principal de Hamilton , evaluada en las superficies de nivel de un conjunto completo de invariantes conmutativos de Poisson , desempeña un papel similar al de la función , sirviendo tanto como función generadora para la transformación canónica para linealizar las coordenadas canónicas y, cuando se evalúa en conjuntos de nivel simultáneos de un conjunto completo de invariantes conmutativos de Poisson, como una solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi . ${\displaystyle \tau }$

Funciones Tau: isoespectrales e isomonodrómicas

Una función de tipo isoespectral se define como una solución de las ecuaciones bilineales de Hirota (véase § Relación de residuo bilineal de Hirota para funciones tau KP más abajo), a partir de la cual se puede reconstruir de forma única el operador lineal que experimenta una evolución isoespectral. Geométricamente, en el sentido de Sato ^[2] y Segal -Wilson ^[11] , es el valor del determinante de un operador integral de Fredholm , interpretado como la proyección ortogonal de un elemento de una variedad de Grassmann adecuadamente definida (de dimensión infinita) sobre el origen , a medida que ese elemento evoluciona bajo la acción exponencial lineal de un subgrupo abeliano maximal del grupo lineal general. Surge típicamente como una función de partición , en el sentido de la mecánica estadística , la mecánica cuántica de muchos cuerpos o la teoría cuántica de campos , a medida que la medida subyacente experimenta una deformación exponencial lineal. ${\displaystyle \tau }$

Las funciones isomonodrómicas ${\displaystyle \tau }$ para sistemas lineales de tipo fuchsiano se definen a continuación en § Sistemas isomonodrómicos fuchsianos. Ecuaciones de Schlesinger. Para el caso más general de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes racionales, incluidas las singularidades irregulares, se desarrollan en la referencia. ^[12]

Relación de residuos bilineales de Hirota para funciones tau KP

Una función KP ( Kadomtsev–Petviashvili ) es una función de una colección infinita de variables (llamadas variables de flujo KP ) que satisface la ecuación de residuo formal bilineal ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau (\mathbf {t} )}$ ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$

idénticamente en las variables, donde es el coeficiente en la expansión formal de Laurent resultante de expandir todos los factores como series de Laurent en , y ${\displaystyle \delta t_{j}}$ ${\displaystyle \mathrm {res} _{z=0}}$ ${\displaystyle z^{-1}}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\bf {s}}:={\bf {t}}+(\delta t_{1},\delta t_{2},\cdots ),\quad [z^{-1}]:=(z^{-1},{\tfrac {z^{-2}}{2}},\cdots {\tfrac {z^{-j}}{j}},\cdots ).}$$

Como se explica a continuación en la sección § Función formal de Baker-Akhiezer y la jerarquía KP, cada una de estas funciones determina un conjunto de soluciones para las ecuaciones de la jerarquía KP. ${\displaystyle \tau }$

Ecuación de Kadomtsev-Petviashvili

Si es una función KP que satisface la ecuación del residuo de Hirota ( 1 ) e identificamos las primeras tres variables de flujo como ${\displaystyle \tau (t_{1},t_{2},t_{3},\dots \dots )}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle t_{1}=x,\quad t_{2}=y,\quad t_{3}=t,}$

de ello se deduce que la función

${\displaystyle u(x,y,t):=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log \left(\tau (x,y,t,t_{4},\dots )\right)}$

satisface la ecuación diferencial parcial no lineal de dimensión (espacial) (temporal) ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle +1}$

Conocida como ecuación de Kadomtsev-Petviashvili (KP) , esta ecuación desempeña un papel destacado en la física del plasma y en las olas oceánicas en aguas poco profundas.

Al tomar más derivadas logarítmicas de se obtiene una secuencia infinita de funciones que satisfacen más sistemas de ecuaciones diferenciales parciales autónomas no lineales, cada una de las cuales implica derivadas parciales de orden finito con respecto a un número finito de parámetros de flujo KP . Estas se conocen colectivamente como la jerarquía KP . ${\displaystyle \tau (t_{1},t_{2},t_{3},\dots \dots )}$ ${\displaystyle {\bf {t}}=(t_{1},t_{2},\dots )}$

Función formal Baker-Akhiezer y jerarquía KP

Si definimos la función Baker-Akhiezer (formal) mediante la fórmula de Sato ^{[2] [3]} ${\displaystyle \psi (z,\mathbf {t} )}$

${\displaystyle \psi (z,\mathbf {t} ):=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}z^{i}}{\frac {\tau (\mathbf {t} -[z^{-1}])}{\tau (\mathbf {t} )}}}$

y expandirla como una serie formal en las potencias de la variable ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \psi (z,\mathbf {t} )=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}z^{i}}(1+\sum _{j=1}^{\infty }w_{j}(\mathbf {t} )z^{-j}),}$

Esto satisface una secuencia infinita de ecuaciones de evolución compatibles.

donde es un operador diferencial ordinario lineal de grado en la variable , con coeficientes que son funciones de las variables de flujo , definidas de la siguiente manera ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x:=t_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}:={\big (}{\mathcal {L}}^{i}{\big )}_{+}}$

¿Dónde está el operador pseudodiferencial formal? ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial +\sum _{j=1}^{\infty }u_{j}(\mathbf {t} )\partial ^{-j}={\mathcal {W}}\circ \partial \circ {\mathcal {W}}^{-1}}$

con , ${\displaystyle \partial :={\frac {\partial }{\partial x}}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}:=1+\sum _{j=1}^{\infty }w_{j}(\mathbf {t} )\partial ^{-j}}$

es el operador de onda y denota la proyección a la parte de que contiene potencias puramente no negativas de ; es decir, la parte del operador diferencial de . ${\displaystyle {\big (}{\mathcal {L}}^{i}{\big )}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{i}}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{i}}$

El operador pseudodiferencial satisface el sistema infinito de ecuaciones de deformación isoespectral ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

y las condiciones de compatibilidad tanto para el sistema ( 3 ) como para el ( 4 ) son

Se trata de un sistema infinito compatible de ecuaciones diferenciales parciales no lineales, conocido como jerarquía KP (Kadomtsev-Petviashvili) , para las funciones , con respecto al conjunto de variables independientes, cada una de las cuales contiene solo un número finito de , y derivadas solo con respecto a las tres variables independientes . El primer caso no trivial de estos es la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili ( 2 ). ${\displaystyle \{u_{j}(\mathbf {t} )\}_{j\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$ ${\displaystyle u_{j}}$ ${\displaystyle (x,t_{i},t_{j})}$

Por tanto, cada función KP proporciona una solución, al menos en el sentido formal, de este sistema infinito de ecuaciones diferenciales parciales no lineales. ${\displaystyle \tau }$

Sistemas isomonodrómicos. Funciones tau isomonodrómicas

Sistemas isomonodrómicos fucsianos. Ecuaciones de Schlesinger

Consideremos el sistema sobredeterminado de ecuaciones diferenciales parciales matriciales de primer orden

donde son un conjunto de matrices sin traza, un conjunto de parámetros complejos, una variable compleja y es una función matricial invertible de y . Estas son las condiciones necesarias y suficientes para la representación monodromía basada del grupo fundamental de la esfera de Riemann perforada en los puntos correspondientes al operador de derivada covariante racional ${\displaystyle \{N_{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r\times r}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Psi (z,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})}$ ${\displaystyle r\times r}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$ ${\displaystyle \pi _{1}({\bf {P}}^{1}\backslash \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n})}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$

${\displaystyle {\partial \over \partial z}-\sum _{i=1}^{n}{N_{i} \over z-\alpha _{i}}}$

ser independiente de los parámetros , es decir, que los cambios en estos parámetros inducen una deformación isomonodrómica . Las condiciones de compatibilidad para este sistema son las ecuaciones de Schlesinger ^[12] ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$

Isomonodrómico τ {\displaystyle \tau } -función

Definición de funciones ${\displaystyle n}$

Las ecuaciones de Schlesinger ( 8 ) implican que la forma diferencial

${\displaystyle \omega :=\sum _{i=1}^{n}H_{i}d\alpha _{i}}$

en el espacio de parámetros está cerrado:

${\displaystyle d\omega =0}$

y, por lo tanto, localmente exacta. Por lo tanto, al menos localmente, existe una función de los parámetros, definida dentro de una constante multiplicativa, tal que ${\displaystyle \tau (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$

${\displaystyle \omega =d\mathrm {ln} \tau }$

La función se denomina función isomonodrómica asociada a la solución fundamental del sistema ( 6 ), ( 7 ). ${\displaystyle \tau (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \Psi }$

Estructura hamiltoniana de las ecuaciones de Schlesinger

Definición de los corchetes de Lie y Poisson en el espacio de -tuplas de matrices: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{N_{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$ ${\displaystyle r\times r}$

${\displaystyle \{(N_{i})_{ab},(N_{j})_{c,d}\}=\delta _{ij}\left((N_{i})_{ad}\delta _{bc}-(N_{i})_{cb}\delta _{ad}\right)}$

${\displaystyle 1\leq i,j\leq n,\quad 1\leq a,b,c,d\leq r,}$

y viendo las funciones definidas en ( 9 ) como funciones hamiltonianas en este espacio de Poisson, las ecuaciones de Schlesinger ( 8 ) pueden expresarse en forma hamiltoniana como ^{[13] [14]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{H_{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f(N_{1},\dots ,N_{n})}{\partial \alpha _{i}}}=\{f,H_{i}\},\quad 1\leq i\leq n}$

para cualquier función diferenciable . ${\displaystyle f(N_{1},\dots ,N_{n})}$

Reducción de r = 2 {\displaystyle r=2} , n = 3 {\displaystyle n=3} caso a P V I {\displaystyle P_{VI}}

El caso no trivial más simple de las ecuaciones de Schlesinger es cuando y . Aplicando una transformación de Möbius a la variable , se pueden elegir dos de los polos finitos para que estén en y , y el tercero se puede considerar como la variable independiente. Fijando la suma de las matrices que aparecen en ( 6 ), que es un invariante de las ecuaciones de Schlesinger, igual a una constante, y cociente por su estabilizador bajo conjugación, obtenemos un sistema equivalente al caso más genérico de las seis ecuaciones trascendentes de Painlevé , para las que se conocen muchas clases detalladas de soluciones explícitas . ^{[15] [16] [17]} ${\displaystyle r=2}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}N_{i}}$ ${\displaystyle Gl(2)}$ ${\displaystyle P_{VI}}$

Sistemas isomonodrómicos no fucsianos

Para sistemas no fuchsianos, con polos de orden superior, los datos de monodromía generalizados incluyen matrices de Stokes y matrices de conexión , y hay otros parámetros de deformación isomonodrómica asociados con las asintóticas locales, pero las funciones isomonodrómicas ${\displaystyle \tau }$ pueden definirse de manera similar, utilizando diferenciales en el espacio de parámetros extendido. ^[12] De manera similar, existe una estructura de corchete de Poisson en el espacio de funciones matriciales racionales del parámetro espectral y los hamiltonianos invariantes espectrales correspondientes que generan la dinámica de deformación isomonodrómica. ^{[13] [14]} ${\displaystyle z}$

Tomando todas las confluencias posibles de los polos que aparecen en ( 6 ) para el caso y , incluyendo la de , y haciendo las reducciones correspondientes, obtenemos todas las demás instancias de los trascendentes de Painlevé , para los cuales también se conocen numerosas soluciones especiales . ^{[15] [16]} ${\displaystyle r=2}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle z=\infty }$ ${\displaystyle P_{I}\cdots P_{V}}$

Representaciones VEV (valores esperados de vacío) fermiónicos

El espacio de Fock fermiónico es un espacio de producto exterior semi-infinito ^[18] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\Lambda ^{\infty /2}{\mathcal {H}}=\oplus _{n\in \mathbf {Z} }{\mathcal {F}}_{n}}$

definido en un espacio de Hilbert (separable) con elementos base y elementos base duales para . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }}$ ${\displaystyle \{e^{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$

Los operadores de creación y aniquilación fermiónicos libres actúan como endomorfismos en la multiplicación exterior e interior por los elementos base. ${\displaystyle \{\psi _{j},\psi _{j}^{\dagger }\}_{j\in \mathbf {Z} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \psi _{i}:=e_{i}\wedge ,\quad \psi _{i}^{\dagger }:=i_{e^{i}},\quad i\in \mathbf {Z} ,}$

y satisfacer las relaciones canónicas de anticonmutación

${\displaystyle [\psi _{i},\psi _{k}]_{+}=[\psi _{i}^{\dagger },\psi _{k}^{\dagger }]_{+}=0,\quad [\psi _{i},\psi _{k}^{\dagger }]_{+}=\delta _{ij}.}$

Estos generan la representación fermiónica estándar del álgebra de Clifford en la suma directa , correspondiente al producto escalar ${\displaystyle {\mathcal {H}}+{\mathcal {H}}^{*}}$

${\displaystyle Q(u+\mu ,w+\nu ):=\nu (u)+\mu (v),\quad u,v\in {\mathcal {H}},\ \mu ,\nu \in {\mathcal {H}}^{*}}$

con el espacio de Fock como módulo irreducible. Denotemos el estado de vacío, en el sector de carga fermiónica cero , como ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$

${\displaystyle |0\rangle :=e_{-1}\wedge e_{-2}\wedge \cdots }$,

que corresponde al mar de Dirac de estados a lo largo de la red de enteros reales en el que todas las posiciones de enteros negativos están ocupadas y todas las no negativas están vacías.

Esto queda aniquilado por los siguientes operadores

${\displaystyle \psi _{-j}|0\rangle =0,\quad \psi _{j-1}^{\dagger }|0\rangle =0,\quad j=0,1,\dots }$

El estado de vacío del espacio de Fock fermiónico dual, denotado , es aniquilado por los operadores adjuntos, que actúan hacia la izquierda. ${\displaystyle \langle 0|}$

${\displaystyle \langle 0|\psi _{-j}^{\dagger }=0,\quad \langle 0|\psi _{j-1}|0=0,\quad j=0,1,\dots }$

El orden normal de un producto de operadores lineales (es decir, combinaciones lineales finitas o infinitas de operadores de creación y aniquilación) se define de modo que su valor esperado de vacío (VEV) se desvanezca. ${\displaystyle :L_{1},\cdots L_{m}:}$

${\displaystyle \langle 0|:L_{1},\cdots L_{m}:|0\rangle =0.}$

En particular, para un producto de un par de operadores lineales, se tiene ${\displaystyle L_{1}L_{2}}$ ${\displaystyle (L_{1},L_{2})}$

${\displaystyle {:L_{1}L_{2}:}=L_{1}L_{2}-\langle 0|L_{1}L_{2}|0\rangle .}$

El operador de carga fermiónica se define como ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=\sum _{i\in \mathbf {Z} }:\psi _{i}\psi _{i}^{\dagger }:}$

El subespacio es el espacio propio que consta de todos los vectores propios con valor propio. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}\subset {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle C|v;n\rangle =n|v;n\rangle ,\quad \forall |v;n\rangle \in {\mathcal {F}}_{n}}$.

La base ortonormal estándar para el sector de carga fermiónica cero está etiquetada por particiones enteras , donde es una secuencia débilmente decreciente de números enteros positivos, que se puede representar de manera equivalente mediante un diagrama de Young , como se muestra aquí para la partición . ${\displaystyle \{|\lambda \rangle \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{\ell (\lambda )})}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{\ell (\lambda )}}$ ${\displaystyle \ell (\lambda )}$ ${\displaystyle (5,4,1)}$

Diagrama de Young de la partición (5, 4, 1)

Una notación alternativa para una partición consiste en los índices de Frobenius , donde denota la longitud del brazo ; es decir, el número de casillas en el diagrama de Young a la derecha de la casilla diagonal 'ésima, denota la longitud de la pierna , es decir, el número de casillas en el diagrama de Young debajo de la casilla diagonal 'ésima, para , donde es el rango de Frobenius , que es el número de elementos a lo largo de la diagonal principal. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\dots \alpha _{r}|\beta _{1},\dots \beta _{r})}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}-i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,r}$ ${\displaystyle r}$

El elemento base se obtiene entonces actuando sobre el vacío con un producto de pares de operadores de creación y aniquilación, etiquetados por los índices de Frobenius. ${\displaystyle |\lambda \rangle }$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle |\lambda \rangle =(-1)^{\sum _{j=1}^{r}\beta _{j}}\prod _{k=1}^{r}{\big (}\psi _{\alpha _{k}}\psi _{-\beta _{k}-1}^{\dagger }{\big )}|0\rangle .}$

Los números enteros indican, en relación con el mar de Dirac, los sitios no negativos ocupados en la red de números enteros, mientras que los sitios enteros negativos desocupados indican los sitios enteros negativos desocupados. El diagrama correspondiente, que consta de una cantidad infinita de sitios ocupados y desocupados en la red de números enteros que son una perturbación finita del mar de Dirac, se denomina diagrama de Maya . ^[2] ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,r}}$ ${\displaystyle \{-\beta _{i}-1\}_{i=1,\dots ,r}}$

El caso de la partición nula (conjunto vacío) da el estado de vacío, y la base dual está definida por ${\displaystyle |\emptyset \rangle =|0\rangle }$ ${\displaystyle \{\langle \mu |\}}$

${\displaystyle \langle \mu |\lambda \rangle =\delta _{\lambda ,\mu }}$

Cualquier función KP puede expresarse como una suma ${\displaystyle \tau }$

donde están las variables de flujo KP, es la función de Schur correspondiente a la partición , vista como una función de las variables de suma de potencia normalizada ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots ,\dots )}$ ${\displaystyle s_{\lambda }(\mathbf {t} )}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle t_{i}:=[\mathbf {x} ]_{i}:={\frac {1}{i}}\sum _{a=1}^{n}x_{a}^{i}\quad i=1,2,\dots }$

en términos de una secuencia auxiliar (finita o infinita) de variables y los coeficientes constantes pueden verse como las coordenadas de Plücker de un elemento del Grassmanniano de dimensión infinita que consiste en la órbita, bajo la acción del grupo lineal general , del subespacio del espacio de Hilbert . ${\displaystyle \mathbf {x} :=(x_{1},\dots ,x_{N})}$ ${\displaystyle \pi _{\lambda }(w)}$ ${\displaystyle w\in \mathrm {Gr} _{{\mathcal {H}}_{+}}({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{+}=\mathrm {span} \{e_{-i}\}_{i\in \mathbf {N} }\subset {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Esto corresponde, según la correspondencia de Bose-Fermi , a un elemento descomponible .

${\displaystyle |\tau _{w}\rangle =\sum _{\lambda }\pi _{\lambda }(w)|\lambda \rangle }$

del espacio de Fock que, hasta la proyectivización, es la imagen del elemento Grassmanniano bajo la función de Plücker ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ ${\displaystyle w\in \mathrm {Gr} _{{\mathcal {H}}_{+}}({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle {\mathcal {Pl}}:\mathrm {span} (w_{1},w_{2},\dots )\longrightarrow [w_{1}\wedge w_{2}\wedge \cdots ]=[|\tau _{w}\rangle ],}$

donde es una base para el subespacio y denota proyectivización de un elemento de . ${\displaystyle (w_{1},w_{2},\dots )}$ ${\displaystyle w\subset {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle [\cdots ]}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Las coordenadas de Plücker satisfacen un conjunto infinito de relaciones bilineales, las relaciones de Plücker , que definen la imagen de la incrustación de Plücker en la proyectivización del espacio de Fock fermiónico, que son equivalentes a la relación de residuo bilineal de Hirota ( 1 ). ${\displaystyle \{\pi _{\lambda }(w)\}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {F}})}$

Si para un elemento de grupo tiene representación fermiónica , entonces la función se puede expresar como el valor esperado del estado de vacío fermiónico (VEV): ${\displaystyle w=g({\mathcal {H}}_{+})}$ ${\displaystyle g\in \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{w}(\mathbf {t} )}$

${\displaystyle \tau _{w}(\mathbf {t} )=\langle 0|{\hat {\gamma }}_{+}(\mathbf {t} ){\hat {g}}|0\rangle ,}$

dónde

${\displaystyle \Gamma _{+}=\{{\hat {\gamma }}_{+}(\mathbf {t} )=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}J_{i}}\}\subset \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})}$

es el subgrupo abeliano de que genera los flujos KP, y ${\displaystyle \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle J_{i}:=\sum _{j\in \mathbf {Z} }\psi _{j}\psi _{j+i}^{\dagger },\quad i=1,2\dots }$

son los componentes "actuales".

Ejemplos de soluciones a las ecuaciones de la jerarquía KP

Funciones de Schur

Como se ve en la ecuación ( 9 ), cada función KP puede representarse (al menos formalmente) como una combinación lineal de funciones de Schur , en la que los coeficientes satisfacen el conjunto bilineal de relaciones de Plucker correspondiente a un elemento de una variedad de Grassmann infinita (o finita). De hecho, la clase más simple de funciones tau (polinómicas) consiste en las propias funciones de Schur , que corresponden al elemento especial de la variedad de Grassmann cuya imagen bajo la función de Plücker es . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \pi _{\lambda }(w)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle s_{\lambda }(\mathbf {t} )}$ ${\displaystyle |\lambda >}$

Soluciones multisolitones

Si elegimos constantes complejas con todas distintas, y definimos las funciones ${\displaystyle 3N}$ ${\displaystyle \{\alpha _{k},\beta _{k},\gamma _{k}\}_{k=1,\dots ,N}}$ ${\displaystyle \alpha _{k},\beta _{k}}$ ${\displaystyle \gamma _{k}\neq 0}$

${\displaystyle y_{k}({\bf {t}}):=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}\alpha _{k}^{i}}+\gamma _{k}e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}\beta _{k}^{i}}\quad k=1,\dots ,N,}$

Llegamos a la fórmula del determinante wronskiano

${\displaystyle \tau _{{\vec {\alpha }},{\vec {\beta }},{\vec {\gamma }}}^{(N)}({\bf {t}}):={\begin{vmatrix}y_{1}({\bf {t}})&y_{2}({\bf {t}})&\cdots &y_{N}({\bf {t}})\\y_{1}'({\bf {t}})&y_{2}'({\bf {t}})&\cdots &y_{N}'({\bf {t}})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(N-1)}({\bf {t}})&y_{2}^{(N-1)}({\bf {t}})&\cdots &y_{N}^{(N-1)}({\bf {t}})\\\end{vmatrix}},}$

lo que da la función general -solitón . ^{[3] [4] [19]} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \tau }$

Soluciones de la función theta asociadas a curvas algebraicas

Sea una superficie de Riemann compacta de género y fije una base de homología canónica de con números de intersección ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}}$ ${\displaystyle H_{1}(X,\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle a_{i}\circ a_{j}=b_{i}\circ b_{j}=0,\quad a_{i}\circ b_{j}=\delta _{ij},\quad 1\leq i,j\leq g.}$

Sea una base para el espacio de diferenciales holomorfas que satisfacen las condiciones de normalización estándar ${\displaystyle \{\omega _{i}\}_{i=1,\dots ,g}}$ ${\displaystyle H^{1}(X)}$

${\displaystyle \oint _{a_{i}}\omega _{j}=\delta _{ij},\quad \oint _{b_{j}}\omega _{j}=B_{ij},}$

donde es la matriz de Riemann de periodos. La matriz pertenece al semiespacio superior de Siegel. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \mathbf {S} _{g}=\left\{B\in \mathrm {Mat} _{g\times g}(\mathbf {C} )\ \colon \ B^{T}=B,\ {\text{Im}}(B){\text{ is positive definite}}\right\}.}$

La función de Riemann ${\displaystyle \theta }$ correspondiente a la matriz de período se define como ${\displaystyle \mathbf {C} ^{g}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \theta (Z|B):=\sum _{N\in \mathbb {Z} ^{g}}e^{i\pi (N,BN)+2i\pi (N,Z)}.}$

Elija un punto , un parámetro local en un entorno de con y un divisor positivo de grado ${\displaystyle p_{\infty }\in X}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle p_{\infty }}$ ${\displaystyle \zeta (p_{\infty })=0}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}:=\sum _{i=1}^{g}p_{i},\quad p_{i}\in X.}$

Para cualquier entero positivo sea el único diferencial meromórfico de segundo tipo caracterizado por las siguientes condiciones: ${\displaystyle k\in \mathbf {N} ^{+}}$ ${\displaystyle \Omega _{k}}$

• La única singularidad de es un polo de orden con residuo evanescente. ${\displaystyle \Omega _{k}}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle p=p_{\infty }}$
• La expansión de alrededor es ${\displaystyle \Omega _{k}}$ ${\displaystyle p=p_{\infty }}$

  ${\displaystyle \Omega _{k}=d(\zeta ^{-k})+\sum _{j=1}^{\infty }Q_{ij}\zeta ^{j}d\zeta }$.

• ${\displaystyle \Omega _{k}}$se normaliza para tener ciclos de desaparición: ${\displaystyle a}$

  ${\displaystyle \oint _{a_{i}}\Omega _{j}=0.}$

Denotamos por el vector de -ciclos de : ${\displaystyle \mathbf {U} _{k}\in \mathbf {C} ^{g}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \Omega _{k}}$

${\displaystyle (\mathbf {U} _{k})_{j}:=\oint _{b_{j}}\Omega _{k}.}$

Denota la imagen de debajo del mapa de Abel ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}:{\mathcal {S}}^{g}(X)\to \mathbf {C} ^{g}}$

${\displaystyle \mathbf {E} :={\mathcal {A}}({\mathcal {D}})\in \mathbf {C} ^{g},\quad \mathbf {E} _{j}={\mathcal {A}}_{j}({\mathcal {D}}):=\sum _{j=1}^{g}\int _{p_{0}}^{p_{i}}\omega _{j}}$

con punto base arbitrario . ${\displaystyle p_{0}}$

Entonces la siguiente es una función KP: ^[20] ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau _{(X,{\mathcal {D}},p_{\infty },\zeta )}(\mathbf {t} ):=e^{-{1 \over 2}\sum _{ij}Q_{ij}t_{i}t_{j}}\theta \left(\mathbf {E} +\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}\mathbf {U} _{k}{\Big |}B\right)}$.

Las funciones de partición del modelo matricial son KP τ {\displaystyle \tau } -funciones

Sea la medida de Lebesgue en el espacio dimensional de matrices hermíticas complejas. Sea una función de densidad integrable e invariante de conjugación. ${\displaystyle d\mu _{0}(M)}$ ${\displaystyle N^{2}}$ ${\displaystyle {\mathbf {H} }^{N\times N}}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle \rho (M)}$

${\displaystyle \rho (UMU^{\dagger })=\rho (M),\quad U\in U(N).}$

Definir una familia de medidas de deformación

${\displaystyle d\mu _{N,\rho }(\mathbf {t} ):=e^{{\text{ Tr }}(\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}M^{i})}\rho (M)d\mu _{0}(M)}$

Para pequeños y dejar ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\cdots )}$

${\displaystyle \tau _{N,\rho }({\bf {t}}):=\int _{{\mathbf {H} }^{N\times N}}d\mu _{N,\rho }({\bf {t}}).}$

sea ​​la función de partición para este modelo de matriz aleatoria . ^{[21] [5]} Entonces satisface la ecuación de residuo de Hirota bilineal ( 1 ), y por lo tanto es una función de la jerarquía KP. ^[22] ${\displaystyle \tau _{N,\rho }(\mathbf {t} )}$ ${\displaystyle \tau }$

τ {\displaystyle \tau } -Funciones de tipo hipergeométrico. Función generadora de números de Hurwitz

Sea una sucesión (doblemente) infinita de números complejos. Para cualquier partición entera, defina el coeficiente del producto de contenido . ${\displaystyle \{r_{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }}$ ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{\ell (\lambda )})}$

${\displaystyle r_{\lambda }:=\prod _{(i,j)\in \lambda }r_{j-i}}$,

donde el producto es sobre todos los pares de enteros positivos que corresponden a casillas del diagrama de Young de la partición , vistos como posiciones de elementos de la matriz de la matriz correspondiente. Luego, para cada par de secuencias infinitas y de variables complejas, vistas como sumas de potencias (normalizadas) de la secuencia infinita de variables auxiliares ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \ell (\lambda )\times \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$ ${\displaystyle \mathbf {s} =(s_{1},s_{2},\dots )}$ ${\displaystyle \mathbf {t} =[\mathbf {x} ],\ \mathbf {s} =[\mathbf {y} ]}$

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots )}$y , ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\dots )}$

definido por:

${\displaystyle t_{j}:={\tfrac {1}{j}}\sum _{a=1}^{\infty }x_{a}^{j},\quad s_{j}:={\tfrac {1}{j}}\sum _{j=1}^{\infty }y_{a}^{j}}$,

La función

es una doble función KP , tanto en las variables como en las , conocida como función de tipo hipergeométrico . ^[23] ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle \tau }$

En particular, la elección

${\displaystyle r_{j}=r_{j}^{\beta }:=e^{j\beta }}$

para algún parámetro pequeño , que denota el coeficiente del producto de contenido correspondiente como y el ajuste ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle r_{\lambda }^{\beta }}$

${\displaystyle \mathbf {s} =(1,0,\dots )=:\mathbf {t} _{0}}$,

La función resultante se puede expandir de manera equivalente como ${\displaystyle \tau }$

¿Dónde están los números de Hurwitz simples , que son multiplicados por el número de formas en que un elemento del grupo simétrico en elementos, con longitudes de ciclo iguales a las partes de la partición , se puede factorizar como un producto de -ciclos? ${\displaystyle \{H_{d}(\lambda )\}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{n!}}}$ ${\displaystyle k_{\lambda }\in {\mathcal {S}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$ ${\displaystyle n=|\lambda |}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle k_{\lambda }=(a_{1}b_{1})\dots (a_{d}b_{d})}$,

y

${\displaystyle p_{\lambda }(\mathbf {t} )=\prod _{i=1}^{\ell (\lambda )}p_{\lambda _{i}}(\mathbf {t} ),\ {\text{with}}\ p_{i}(\mathbf {t} ):=\sum _{a=1}^{\infty }x_{a}^{i}=it_{i}}$

es la función simétrica de suma de potencias. La ecuación ( 12 ) muestra que la función hipergeométrica KP (formal) ( 11 ) correspondiente a los coeficientes del producto de contenido es una función generadora, en sentido combinatorio, para números de Hurwitz simples. ^{[8] [9] [10]} ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle r_{\lambda }^{\beta }}$

Referencias

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