Problema de Schottky

Pregunta matemática en geometría algebraica

En matemáticas , el problema de Schottky, llamado así en honor a Friedrich Schottky , es una cuestión clásica de geometría algebraica que pide una caracterización de las variedades jacobianas entre las variedades abelianas .

Formulación geométrica

Más precisamente, se deben considerar curvas algebraicas de un género dado y sus jacobianos . Existe un espacio de módulos de tales curvas y un espacio de módulos de variedades abelianas , de dimensión , que están principalmente polarizadas . Existe un morfismo ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {Jac} (C)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \operatorname {Jac} :{\mathcal {M}}_{g}\to {\mathcal {A}}_{g}}$

que en puntos ( puntos geométricos , para ser más precisos) toma la clase de isomorfismo a . El contenido del teorema de Torelli es que es inyectiva (de nuevo, en puntos). El problema de Schottky pide una descripción de la imagen de , denotada . ^[1] ${\displaystyle [C]}$ ${\displaystyle [\operatorname {Jac} (C)]}$ ${\displaystyle \operatorname {Jac} }$ ${\displaystyle \operatorname {Jac} }$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{g}=\operatorname {Jac} ({\mathcal {M}}_{g})}$

La dimensión de es , ^[2] para , mientras que la dimensión de es g ( g + 1)/2. Esto significa que las dimensiones son las mismas (0, 1, 3, 6) para g = 0, 1, 2, 3. Por lo tanto es el primer caso en el que las dimensiones cambian, y esto fue estudiado por F. Schottky en la década de 1880. Schottky aplicó las constantes theta , que son formas modulares para el semiespacio superior de Siegel , para definir el lugar geométrico de Schottky en . Una forma más precisa de la pregunta es determinar si la imagen de coincide esencialmente con el lugar geométrico de Schottky (en otras palabras, si es denso de Zariski allí). ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle 3g-3}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}}$ ${\displaystyle g=4}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}}$ ${\displaystyle \operatorname {Jac} }$

Caso de dimensión 1

Todas las curvas elípticas son el jacobiano de sí mismas, por lo tanto, la pila de módulos de curvas elípticas es un modelo para . ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$

Dimensiones 2 y 3

En el caso de superficies abelianas, existen dos tipos de variedades abelianas: ^[3] el jacobiano de una curva de género 2, o el producto de jacobianos de curvas elípticas . Esto significa los espacios de módulos

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2},{\mathcal {M}}_{1,1}\times {\mathcal {M}}_{1,1}}$

incrustar en . Existe una descripción similar para la dimensión 3, ya que una variedad abeliana puede ser el producto de jacobianos. ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$

Formulación de red de períodos

Si se describe el espacio de módulos en términos intuitivos, como los parámetros de los que depende una variedad abeliana, entonces el problema de Schottky pregunta simplemente qué condición sobre los parámetros implica que la variedad abeliana proviene del jacobiano de una curva. El caso clásico, sobre el cuerpo de números complejos , ha recibido la mayor parte de la atención, y entonces una variedad abeliana A es simplemente un toro complejo de un tipo particular, que surge de una red en C ^g . En términos relativamente concretos, se pregunta cuáles redes son las redes de período de superficies compactas de Riemann . ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}}$

Formulación matricial de Riemann

Tenga en cuenta que una matriz de Riemann es bastante diferente de cualquier tensor de Riemann.

Uno de los principales logros de Bernhard Riemann fue su teoría de funciones theta y toros complejos . Utilizando la función theta de Riemann , Riemann escribió las condiciones necesarias y suficientes en una red para que una red en C ^g tenga el toro correspondiente insertado en un espacio proyectivo complejo . (La interpretación puede haber llegado más tarde, con Solomon Lefschetz , pero la teoría de Riemann fue definitiva). Los datos son lo que ahora se llama una matriz de Riemann . Por lo tanto, el problema complejo de Schottky se convierte en la cuestión de caracterizar las matrices de período de superficies de Riemann compactas de género g , formadas al integrar una base para las integrales abelianas alrededor de una base para el primer grupo de homología , entre todas las matrices de Riemann. Fue resuelto por Takahiro Shiota en 1986. ^[4]

Geometría del problema

Hay varios enfoques geométricos, y también se ha demostrado que la cuestión implica la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili , relacionada con la teoría de solitones .

Véase también

• Módulos de variedades abelianas

Referencias

1. Grushevsky, Samuel (29 de septiembre de 2010). "El problema de Schottky". arXiv : 1009.0369 [math.AG].
2. la teoría de la deformación elemental
3. Oort, F. (1973). Las variedades abelianas principalmente polarizadas de dimensión dos o tres son variedades jacobianas (PDF) . Aarhus Universitet. Matematisk Institut. OCLC  897746916. Archivado desde el original el 9 de junio de 2020.
4. Shiota, Takahiro (1986). "Caracterización de variedades jacobianas en términos de ecuaciones de solitones". Inventiones Mathematicae . 83 (2): 333–382. Bibcode :1986InMat..83..333S. doi :10.1007/BF01388967. S2CID  120739493.

• Beauville, Arnaud (1987), "Le problème de Schottky et la conjecture de Novikov", Astérisque , Séminaire Bourbaki (152): 101–112, ISSN  0303-1179, SEÑOR  0936851
• Debarre, Olivier (1995), "El problema de Schottky: una actualización", Temas actuales en geometría algebraica compleja (Berkeley, CA, 1992/93) , Math. Sci. Res. Inst. Publ., vol. 28, Cambridge University Press , págs. 57–64, MR  1397058
• Geer, G. van der (2001) [1994], "Problema de Schottky", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Grushevsky, Samuel (2011), "El problema de Schottky" (PDF) , en Caporaso, Lucia ; McKernan, James; Popa, Mihnea; et al. (eds.), Desarrollos actuales en geometría algebraica , MSRI Publications, vol. 59, ISBN 978-0-521-76825-2