Jacob Bernoulli [a] (también conocido como James en inglés o Jacques en francés; 6 de enero de 1655 [ OS 27 de diciembre de 1654] - 16 de agosto de 1705) fue uno de los muchos matemáticos destacados de la familia suiza Bernoulli . Se puso del lado de Gottfried Wilhelm Leibniz durante la controversia del cálculo Leibniz-Newton y fue uno de los primeros defensores del cálculo leibniziano , al que realizó numerosas contribuciones; junto con su hermano Johann , fue uno de los fundadores del cálculo de variaciones . También descubrió la constante matemática fundamental e . Sin embargo, su contribución más importante fue en el campo de la probabilidad , donde derivó la primera versión de la ley de los grandes números en su obra Ars Conjectandi . [3]
Jacob Bernoulli nació en Basilea, en la Antigua Confederación Suiza . Siguiendo el deseo de su padre, estudió teología y entró en el ministerio. Pero en contra de los deseos de sus padres, [4] también estudió matemáticas y astronomía . Viajó por toda Europa desde 1676 hasta 1682, aprendiendo sobre los últimos descubrimientos en matemáticas y ciencias bajo las figuras principales de la época. Esto incluyó el trabajo de Johannes Hudde , Robert Boyle y Robert Hooke . Durante este tiempo también produjo una teoría incorrecta de los cometas .
Bernoulli regresó a Suiza y comenzó a enseñar mecánica en la Universidad de Basilea a partir de 1683. Su tesis doctoral Solutionem tergemini problematis fue presentada en 1684. [5] Apareció impresa en 1687. [6]
En 1684, Bernoulli se casó con Judith Stupanus; tuvieron dos hijos. Durante esta década, también comenzó una fértil carrera investigadora. Sus viajes le permitieron establecer correspondencia con muchos matemáticos y científicos destacados de su época, que mantuvo durante toda su vida. Durante este tiempo, estudió los nuevos descubrimientos en matemáticas, incluyendo De ratiociniis in aleae ludo de Christiaan Huygens , La Géométrie de Descartes y los suplementos de Frans van Schooten a la misma. También estudió a Isaac Barrow y John Wallis , lo que le llevó a interesarse por la geometría infinitesimal. Aparte de estos, fue entre 1684 y 1689 cuando se descubrieron muchos de los resultados que conformarían el Ars Conjectandi .
Se cree que fue nombrado profesor de matemáticas en la Universidad de Basilea en 1687, cargo que ocupó durante el resto de su vida. Para entonces, había comenzado a dar clases particulares a su hermano Johann Bernoulli sobre temas matemáticos. Los dos hermanos comenzaron a estudiar el cálculo tal como lo presentó Leibniz en su artículo de 1684 sobre el cálculo diferencial en " Nova Methodus pro Maximis et Minimis ", publicado en Acta Eruditorum . También estudiaron las publicaciones de von Tschirnhaus . Debe entenderse que las publicaciones de Leibniz sobre el cálculo eran muy oscuras para los matemáticos de esa época y los Bernoulli fueron de los primeros en tratar de comprender y aplicar las teorías de Leibniz.
Jacob colaboró con su hermano en diversas aplicaciones del cálculo. Sin embargo, la atmósfera de colaboración entre los dos hermanos se convirtió en rivalidad a medida que el genio matemático de Johann comenzó a madurar, y ambos se atacaban entre sí por escrito y planteaban difíciles desafíos matemáticos para poner a prueba las habilidades del otro. [7] En 1697, la relación se había roto por completo.
El cráter lunar Bernoulli también lleva su nombre, junto con el de su hermano Johann.
Las primeras contribuciones importantes de Jacob Bernoulli fueron un panfleto sobre los paralelos de la lógica y el álgebra publicado en 1685, un trabajo sobre probabilidad en 1685 y una geometría en 1687. Su resultado de geometría dio una construcción para dividir cualquier triángulo en cuatro partes iguales con dos líneas perpendiculares.
En 1689, había publicado un trabajo importante sobre series infinitas y publicó su ley de los grandes números en la teoría de la probabilidad. Jacob Bernoulli publicó cinco tratados sobre series infinitas entre 1682 y 1704. Los dos primeros de ellos contenían muchos resultados, como el resultado fundamental de que diverge, que Bernoulli creía que eran nuevos pero que en realidad habían sido demostrados por Pietro Mengoli 40 años antes y fueron demostrados por Nicole Oresme ya en el siglo XIV. [8] Bernoulli no pudo encontrar una forma cerrada para , pero sí demostró que convergía a un límite finito menor que 2. Euler fue el primero en encontrar el límite de esta serie en 1737. Bernoulli también estudió la serie exponencial que surgió del examen del interés compuesto.
En mayo de 1690, en un artículo publicado en Acta Eruditorum , Jacob Bernoulli demostró que el problema de determinar la isócrona es equivalente a resolver una ecuación diferencial no lineal de primer orden. La isócrona, o curva de descenso constante, es la curva a lo largo de la cual una partícula descenderá bajo la acción de la gravedad desde cualquier punto hasta el fondo en exactamente el mismo tiempo, sin importar cuál sea el punto de partida. Había sido estudiada por Huygens en 1687 y Leibniz en 1689. Después de encontrar la ecuación diferencial, Bernoulli la resolvió mediante lo que ahora llamamos separación de variables . El artículo de Jacob Bernoulli de 1690 es importante para la historia del cálculo, ya que el término integral aparece por primera vez con su significado de integración. En 1696, Bernoulli resolvió la ecuación, ahora llamada ecuación diferencial de Bernoulli .
Jacob Bernoulli también descubrió un método general para determinar las evolutas de una curva como la envolvente de sus círculos de curvatura. También investigó las curvas cáusticas y, en particular, estudió estas curvas asociadas de la parábola , la espiral logarítmica y las epicicloides alrededor de 1692. La lemniscata de Bernoulli fue concebida por primera vez por Jacob Bernoulli en 1694. En 1695, investigó el problema del puente levadizo que busca la curva requerida para que un peso que se desliza a lo largo del cable mantenga siempre el puente levadizo en equilibrio.
La obra más original de Bernoulli fue Ars Conjectandi , publicada en Basilea en 1713, ocho años después de su muerte. La obra estaba incompleta en el momento de su muerte, pero sigue siendo una obra de la mayor importancia en la teoría de la probabilidad. El libro también cubre otros temas relacionados, incluida una revisión de la combinatoria , en particular el trabajo de van Schooten, Leibniz y Prestet, así como el uso de los números de Bernoulli en una discusión de la serie exponencial. Inspirado por el trabajo de Huygens, Bernoulli también da muchos ejemplos sobre cuánto se esperaría ganar jugando varios juegos de azar. El término " ensayo de Bernoulli" surgió de este trabajo.
En la última parte del libro, Bernoulli esboza muchas áreas de la probabilidad matemática , incluyendo la probabilidad como un grado medible de certeza; necesidad y azar; expectativa moral versus expectativa matemática; probabilidad a priori y a posteriori; expectativa de ganar cuando los jugadores se dividen según su destreza; consideración de todos los argumentos disponibles, su valoración y su evaluación calculable; y la ley de los grandes números.
Bernoulli fue uno de los promotores más importantes de los métodos formales de análisis superior. En su método de presentación y expresión rara vez se encuentran astucia y elegancia, pero sí un máximo de integridad.
En 1683, Bernoulli descubrió la constante e al estudiar una cuestión sobre el interés compuesto que requería encontrar el valor de la siguiente expresión (que en realidad es e ): [9] [10]
Un ejemplo es una cuenta que comienza con $1.00 y paga un interés del 100 por ciento anual. Si el interés se acredita una vez, al final del año, el valor es $2.00; pero si el interés se calcula y se suma dos veces en el año, el $1 se multiplica por 1.5 dos veces, lo que da $1.00×1.5 2 = $2.25. La capitalización trimestral da $1.00×1.25 4 = $2.4414..., y la capitalización mensual da $1.00×(1.0833...) 12 = $2.613035....
Bernoulli se dio cuenta de que esta secuencia se acerca a un límite (la fuerza del interés ) para intervalos de capitalización más grandes y más pequeños. La capitalización semanal produce $2,692597..., mientras que la capitalización diaria produce $2,714567..., solo dos centavos más. Si se utiliza n como el número de intervalos de capitalización, con un interés del 100% / n en cada intervalo, el límite para un n grande es el número que Euler más tarde denominó e ; con capitalización continua , el valor de la cuenta alcanzará $2,7182818.... En términos más generales, una cuenta que comienza en $1 y produce (1+ R ) dólares con interés compuesto , producirá e R dólares con capitalización continua.
Bernoulli quería que se grabara en su lápida una espiral logarítmica y el lema Eadem mutata resurgo («Aunque he cambiado, me levanto igual»). Escribió que la espiral autosimilar «puede utilizarse como símbolo, ya sea de fortaleza y constancia en la adversidad, o del cuerpo humano, que después de todos sus cambios, incluso después de la muerte, será restaurado a su estado exacto y perfecto». Bernoulli murió en 1705, pero se grabó una espiral de Arquímedes en lugar de una logarítmica. [11]
Traducción de inscripción latina:
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