Conjetura del volumen

Conjetura en la teoría de nudos que relaciona los invariantes cuánticos y la geometría hiperbólica

En la rama de las matemáticas llamada teoría de nudos , la conjetura del volumen es un problema abierto que relaciona los invariantes cuánticos de los nudos con la geometría hiperbólica de sus complementos .

Declaración

Sea O el desanudado . Para cualquier nudo , sea la invariante de Kashaev de , que puede definirse como ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \langle K\rangle _{N}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \langle K\rangle _{N}=\lim _{q\to e^{2\pi i/N}}{\frac {J_{K,N}(q)}{J_{O,N}(q)}}}$,

¿ Dónde está el polinomio de Jones coloreado ? La conjetura del volumen establece que ^[1] ${\displaystyle J_{K,N}(q)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {2\pi \log |\langle K\rangle _{N}|}{N}}=\operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$,

donde es el volumen simplicial del complemento de en las 3 esferas , definido de la siguiente manera. Mediante la descomposición JSJ , el complemento puede descomponerse únicamente en un sistema de tori ${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S^{3}\backslash K}$

${\displaystyle S^{3}\backslash K=\left(\bigsqcup _{i}H_{i}\right)\sqcup \left(\bigsqcup _{j}E_{j}\right)}$

con hiperbólico y con fibras de Seifert . El volumen simplicial se define entonces como la suma ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle E_{j}}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$

${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)=\sum _{i}\operatorname {vol} (H_{i})}$,

¿Dónde está el volumen hiperbólico de la variedad hiperbólica ? ^[1] ${\displaystyle \operatorname {vol} (H_{i})}$ ${\displaystyle H_{i}}$

Como caso especial, si es un nudo hiperbólico , entonces la descomposición JSJ simplemente dice y, por definición, el volumen simplicial concuerda con el volumen hiperbólico . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S^{3}\backslash K=H_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} (H_{1})}$

Historia

El invariante de Kashaev fue introducido por primera vez por Rinat M. Kashaev en 1994 y 1995 para enlaces hiperbólicos como suma de estados utilizando la teoría de dilogaritmos cuánticos . ^{[2] [3]} Kashaev estableció la fórmula de la conjetura del volumen en el caso de nudos hiperbólicos en 1997. ^[4]

Murakami y Murakami (2001) señalaron que la invariante de Kashaev está relacionada con el polinomio de Jones coloreado al reemplazar la variable con la raíz de la unidad . Utilizaron una matriz R como transformada discreta de Fourier para la equivalencia de estas dos descripciones. Este artículo fue el primero en exponer la conjetura del volumen en su forma moderna utilizando el volumen simplicial. También prueban que la conjetura del volumen implica la siguiente conjetura de Victor Vasiliev : ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle e^{i\pi /N}}$

Si todas las invariantes de Vassiliev de un nudo concuerdan con las del desanudado, entonces el nudo es el desanudado.

La observación clave en su prueba es que si cada invariante de Vassiliev de un nudo es trivial, entonces para cualquier . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle J_{K,N}(q)=1}$ ${\displaystyle N}$

Estado

La conjetura del volumen está abierta para nudos generales y se sabe que es falsa para enlaces arbitrarios. La conjetura del volumen se ha verificado en muchos casos especiales, entre ellos:

• El nudo en forma de ocho (Tobias Ekholm), ^[5]
• El nudo de tres vueltas (Rinat Kashaev y Yoshiyuki Yokota), ^[5]
• Los anillos borromeos (Stavros Garoufalidis y Thang Le), ^[5]
• Nudos toroidales (Rinat Kashaev y Olav Tirkkonen), ^[5]
• Todos los nudos y enlaces con volumen cero (Roland van der Veen), ^[5]
• Enlaces retorcidos de Whitehead (Hao Zheng), ^[6]
• Whitehead duplica los nudos toroidales no triviales con (Hao Zheng). ^[6] ${\displaystyle T(p,q)}$ ${\displaystyle q=2}$

Relación con la teoría de Chern-Simons

Utilizando la complejización, Murakami et al. (2002) demostró que para un nudo hiperbólico , ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {2\pi \log \langle K\rangle _{N}}{N}}=\operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)+CS(S^{3}\backslash K)}$,

¿Dónde está la invariante de Chern-Simons ? Establecieron una relación entre el polinomio de Jones coloreado complejado y la teoría de Chern-Simons. ${\displaystyle CS}$

Referencias

Notas

1. Murakami 2010, pag. 17.
2. Kashaev, RM (28 de diciembre de 1994). "Dilogaritmo cuántico como símbolo 6j". Letras de Física Moderna A. 09 (40): 3757–3768. arXiv : hep-th/9411147 . Código Bib : 1994MPLA....9.3757K. doi :10.1142/S0217732394003610. ISSN  0217-7323.
3. Kashaev, RM (21 de junio de 1995). "Una invariante de enlace del dilogaritmo cuántico". Letras de Física Moderna A. 10 (19): 1409-1418. arXiv : q-alg/9504020 . Código bibliográfico : 1995MPLA...10.1409K. doi :10.1142/S0217732395001526. ISSN  0217-7323.
4. Kashaev, RM (1997). "El volumen hiperbólico de los nudos del dilogaritmo cuántico". Letras en Física Matemática . 39 (3): 269–275. arXiv : q-alg/9601025 . Código Bib : 1997LMaPh..39..269K. doi :10.1023/A:1007364912784.
5. Murakami 2010, pag. 22.
6. Zheng, Hao (2007), "Prueba de la conjetura del volumen para los dobles de Whitehead de una familia de nudos toroidales", Anales chinos de matemáticas, Serie B : 375–388, arXiv : math/0508138

Fuentes

• Murakami, Hitoshi (2010). "Una introducción a la conjetura del volumen". arXiv : 1002.0126 [matemáticas.GT]..
• Kashaev, Rinat M. (1997), "El volumen hiperbólico de nudos del dilogaritmo cuántico", Letters in Mathematical Physics , 39 (3): 269–275, arXiv : q-alg/9601025 , Bibcode :1997LMaPh..39. .269K, doi :10.1023/A:1007364912784.
• Murakami, Hitoshi; Murakami, Jun (2001), "Los polinomios de Jones coloreados y el volumen simplicial de un nudo", Acta Mathematica , 186 (1): 85–104, arXiv : math/9905075 , doi :10.1007/BF02392716.
• Murakami, Hitoshi; Murakami, junio; Okamoto, Miyuki; Takata, Toshie; Yokota, Yoshiyuki (2002), "La conjetura de Kashaev y las invariantes de nudos y eslabones de Chern-Simons", Matemáticas experimentales , 11 (1): 427–435, arXiv : math/0203119 , doi :10.1080/10586458.2002.10504485.
• Gukov, Sergei (2005), "Gravedad cuántica tridimensional, teoría de Chern-Simons y el polinomio A", Comunicaciones en física matemática , 255 (1): 557–629, arXiv : hep-th/0306165 , Bibcode : 2005CMaPh.255..577G, doi :10.1007/s00220-005-1312-y.