En la filosofía de las matemáticas , la abstracción del infinito actual , también llamado infinito completado , [1] involucra entidades infinitas como objetos dados, actuales y completados.
Desde la antigüedad griega , el concepto de infinitud real ha sido objeto de debate entre los filósofos. Asimismo, la cuestión de si el Universo es infinito sigue siendo objeto de debate entre los físicos.
El concepto de infinito actual fue introducido en las matemáticas a finales del siglo XIX por Georg Cantor , con su teoría de conjuntos infinitos , formalizada posteriormente en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Esta teoría, que actualmente se acepta comúnmente como fundamento de las matemáticas, contiene el axioma de infinito , que significa que los números naturales forman un conjunto (necesariamente infinito). Un gran descubrimiento de Cantor es que, si se aceptan conjuntos infinitos, entonces existen diferentes tamaños ( cardinalidades ) de conjuntos infinitos y, en particular, el cardinal del continuo de los números reales es estrictamente mayor que el cardinal de los números naturales.
El infinito actual debe contrastarse con el infinito potencial , en el que un proceso sin fin (como "sumar 1 al número anterior") produce una secuencia sin un último elemento, y donde cada resultado individual es finito y se logra en un número finito de pasos. Este tipo de proceso ocurre en matemáticas, por ejemplo, en las formalizaciones estándar de las nociones de serie infinita , producto infinito o límite . [2]
El término griego antiguo para el infinito potencial o impropio era apeiron (ilimitado o indefinido), en contraste con el infinito actual o propio aforismo . [3] Apeiron se opone a aquello que tiene un peras (límite). Estas nociones se denotan hoy como infinito potencialmente e infinito actual , respectivamente.
Anaximandro (610–546 a. C.) sostenía que el ápeiron era el principio o elemento principal que componía todas las cosas. Claramente, el ápeiron era una especie de sustancia básica. La noción de ápeiron de Platón es más abstracta y tiene que ver con la variabilidad indefinida. Los principales diálogos en los que Platón habla del ápeiron son los diálogos tardíos Parménides y el Filebo .
Aristóteles resume las opiniones de sus predecesores sobre el infinito de la siguiente manera:
“Sólo los pitagóricos sitúan lo infinito entre los objetos de los sentidos (no consideran que el número sea separable de ellos), y afirman que lo que está fuera del cielo es infinito. Platón, por el contrario, sostiene que no hay ningún cuerpo fuera (las Formas no están fuera porque no están en ninguna parte), pero que el infinito está presente no sólo en los objetos de los sentidos, sino también en las Formas.” (Aristóteles) [4]
El tema surgió a partir de la consideración que Aristóteles hizo del ápeiron, en el contexto de las matemáticas y la física (el estudio de la naturaleza):
“El infinito resulta ser lo contrario de lo que la gente dice que es. No es ‘lo que no tiene nada más allá de sí’ lo que es infinito, sino ‘lo que siempre tiene algo más allá de sí’.” (Aristóteles) [5]
La creencia en la existencia del infinito proviene principalmente de cinco consideraciones: [6]
Aristóteles postuló que un infinito real era imposible, porque si fuera posible, entonces algo habría alcanzado una magnitud infinita y sería "más grande que los cielos". Sin embargo, dijo, las matemáticas relacionadas con el infinito no se veían privadas de su aplicabilidad por esta imposibilidad, porque los matemáticos no necesitaban el infinito para sus teoremas, solo una magnitud finita, arbitrariamente grande. [7]
Aristóteles abordó el tema del infinito en Física y en Metafísica . Distinguió entre infinito actual y infinito potencial . El infinito actual es completo y definido, y consta de infinitos elementos. El infinito potencial nunca es completo: siempre se pueden añadir elementos, pero nunca infinitos.
"Porque, en general, lo infinito tiene este modo de existir: siempre se toma una cosa después de otra, y cada cosa que se toma es siempre finita, pero siempre diferente."
— Aristóteles, Física, libro 3, capítulo 6.
Aristóteles distinguió entre el infinito con respecto a la adición y la división.
Pero Platón tiene dos infinitos, el Grande y el Pequeño.
— Física, libro 3, capítulo 4.
"Como ejemplo de una serie potencialmente infinita en cuanto a su aumento, siempre se puede añadir un número tras otro en la serie que comienza con 1,2,3,... pero el proceso de sumar más y más números no se puede agotar ni completar." [ cita requerida ]
Con respecto a la división, una secuencia potencialmente infinita de divisiones podría comenzar, por ejemplo, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, pero el proceso de división no puede agotarse ni completarse.
"El hecho de que el proceso de dividir nunca llegue a su fin garantiza que esta actividad exista potencialmente, pero no que el infinito exista separadamente".
— Metafísica, libro 9, capítulo 6.
Aristóteles también argumentó que los matemáticos griegos conocían la diferencia entre el infinito actual y el potencial, pero "no necesitan el infinito [actual] y no lo usan" ( Phys. III 2079 29). [8]
La inmensa mayoría de los filósofos escolásticos se adhirieron al lema Infinitum actu non datur . Esto significa que sólo existe un infinito potencial (en desarrollo, impropio, "sincategoremático"), pero no un infinito actual (fijo, propio, "categoremático") . Sin embargo, hubo excepciones, por ejemplo en Inglaterra.
Es bien sabido que en la Edad Media todos los filósofos escolásticos defienden el "infinitum actu non datur" de Aristóteles como un principio irrefutable. ( G. Cantor ) [9]
La infinitud real existe en el número, el tiempo y la cantidad. (J. Baconthorpe [9, p. 96])
Durante el Renacimiento y a principios de la época moderna, las voces a favor del infinito real eran más bien raras.
El continuo en realidad está formado por un número infinito de indivisibles ( G. Galilei [9, p. 97])
Estoy muy a favor de la infinitud actual. ( G. W. Leibniz [9, p. 97])
Sin embargo, la mayoría de los pensadores premodernos [ cita requerida ] estuvieron de acuerdo con la conocida cita de Gauss:
Protesto contra el uso de la magnitud infinita como algo completo, lo cual nunca es admisible en matemáticas. El infinito es sólo una manera de hablar, cuyo verdadero significado es un límite al que ciertas razones se aproximan indefinidamente, mientras que a otras se les permite aumentar sin restricción. [10] ( CF Gauss [en una carta a Schumacher, 12 de julio de 1831])
El concepto de infinito real es ahora comúnmente aceptado en matemáticas, aunque el término ya no se utiliza y ha sido reemplazado por el concepto de conjuntos infinitos . Este cambio drástico fue iniciado por Bolzano y Cantor en el siglo XIX, y fue uno de los orígenes de la crisis fundacional de las matemáticas .
Bernard Bolzano , que introdujo la noción de conjunto (en alemán: Menge ), y Georg Cantor, que introdujo la teoría de conjuntos , se opusieron a la actitud general. Cantor distinguió tres reinos de infinitud: (1) la infinitud de Dios (a la que llamó el "absolutum"), (2) la infinitud de la realidad (a la que llamó "naturaleza") y (3) los números transfinitos y los conjuntos de las matemáticas.
A una multitud que es mayor que cualquier multitud finita, es decir, una multitud con la propiedad de que todo conjunto finito [de miembros de la clase en cuestión] es sólo una parte de ella, la llamaré multitud infinita. (B. Bolzano [2, p. 6])
En consecuencia, distingo entre una infinitud eterna increada o absoluta, que se debe a Dios y a sus atributos, y una infinitud creada o transfinitum, que debe emplearse siempre que en la naturaleza creada se deba observar una infinitud actual, por ejemplo, con respecto, según mi firme convicción, al número actualmente infinito de individuos creados, tanto en el universo como en nuestra tierra y, muy probablemente, incluso en cualquier porción arbitrariamente pequeña y extensa del espacio. (Georg Cantor) [11] (G. Cantor [8, p. 252])
Los números son una creación libre de la mente humana. ( R. Dedekind [3a, p. III])
Una de las pruebas se basa en la noción de Dios. En primer lugar, de la suprema perfección de Dios, inferimos la posibilidad de la creación de lo transfinito; luego, de su omnipresencia y esplendor, inferimos la necesidad de que la creación de lo transfinito haya sucedido de hecho. (G. Cantor [3, p. 400])
Cantor distinguió dos tipos de infinito actual, el transfinito y el absoluto, sobre los que afirmó:
Estos conceptos deben diferenciarse estrictamente, en la medida en que el primero es ciertamente infinito , pero capaz de aumentar , mientras que el segundo es incapaz de aumentar y, por tanto, es indeterminable como concepto matemático. Este error lo encontramos, por ejemplo, en el panteísmo . (G. Cantor, Über verschiedene Standpunkte in bezug auf das aktuelle Unendliche , en Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , págs. 375, 378) [12]
En la actualidad, el concepto de infinito se acepta comúnmente en matemáticas con el nombre de " conjunto infinito ". De hecho, la teoría de conjuntos se ha formalizado como teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF). Uno de los axiomas de ZF es el axioma de infinito , que básicamente dice que los números naturales forman un conjunto.
Toda la matemática ha sido reescrita en términos de ZF. En particular, las líneas , las curvas y todo tipo de espacios se definen como el conjunto de sus puntos. Los conjuntos infinitos son tan comunes que, cuando se consideran los conjuntos finitos, esto generalmente se indica explícitamente; por ejemplo , geometría finita , campo finito , etc.
El último teorema de Fermat es un teorema que se enunció en términos de aritmética elemental y que se demostró solo más de 350 años después. La prueba original de Wiles del último teorema de Fermat no solo utilizó la potencia completa de ZF con el axioma de elección , sino que utilizó implícitamente un axioma adicional que implica la existencia de conjuntos muy grandes. El requisito de este axioma adicional se desestimó más tarde, pero los conjuntos infinitos se siguen utilizando de manera fundamental. Esto no fue un obstáculo para el reconocimiento de la corrección de la prueba por parte de la comunidad de matemáticos.
El significado matemático del término "actual" en la infinitud actual es sinónimo de definido , completo , extendido o existencial , [13] pero no debe confundirse con existente físicamente . La cuestión de si los números naturales o reales forman conjuntos definidos es, por lo tanto, independiente de la cuestión de si las cosas infinitas existen físicamente en la naturaleza .
Los defensores del intuicionismo , desde Kronecker en adelante, rechazan la afirmación de que existen en realidad objetos o conjuntos matemáticos infinitos. En consecuencia, reconstruyen los fundamentos de las matemáticas de una manera que no presupone la existencia de infinitos reales. Por otra parte, el análisis constructivo sí acepta la existencia de la infinitud completa de los números enteros.
Para los intuicionistas, el infinito se describe como potencial ; términos sinónimos de esta noción son devenir o constructivo . [13] Por ejemplo, Stephen Kleene describe la noción de una cinta de máquina de Turing como "una 'cinta' lineal, (potencialmente) infinita en ambas direcciones". [14] Para acceder a la memoria en la cinta, una máquina de Turing mueve un cabezal de lectura a lo largo de ella en un número finito de pasos: la cinta es, por lo tanto, solo "potencialmente" infinita, ya que, si bien siempre existe la capacidad de dar otro paso, el infinito en sí mismo nunca se alcanza realmente. [15]
Los matemáticos generalmente aceptan los infinitos actuales. [16] Georg Cantor es el matemático más importante que defendió los infinitos actuales. Decidió que es posible que los números naturales y reales sean conjuntos definidos, y que si uno rechaza el axioma de finitud euclidiana (que establece que las actualidades, individualmente y en agregados, son necesariamente finitas), entonces uno no está involucrado en ninguna contradicción .
La interpretación finitista convencional actual de los números ordinales y cardinales es que consisten en una colección de símbolos especiales y un lenguaje formal asociado , dentro del cual se pueden hacer afirmaciones. Todas estas afirmaciones son necesariamente finitas en longitud. La solidez de las manipulaciones se basa únicamente en los principios básicos de un lenguaje formal: álgebras de términos , reescritura de términos , etc. De manera más abstracta, tanto la teoría de modelos (finitos) como la teoría de la demostración ofrecen las herramientas necesarias para trabajar con infinitos. Uno no tiene que "creer" en el infinito para escribir expresiones algebraicamente válidas empleando símbolos para el infinito.
El problema filosófico de la infinitud actual se refiere a si la noción es coherente y epistémicamente sólida.
La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel es actualmente la base estándar de las matemáticas. Uno de sus axiomas es el axioma de infinito , que establece que existen conjuntos infinitos y, en particular, que los números naturales forman un conjunto infinito. Sin embargo, algunos filósofos finitistas de las matemáticas y constructivistas aún se oponen a esta noción. [ ¿ Quién? ]
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