conjunto inductivo

Bourbaki también define un conjunto inductivo como un conjunto parcialmente ordenado que satisface la hipótesis del lema de Zorn cuando no está vacío.

En la teoría descriptiva de conjuntos , un conjunto inductivo de números reales (o más generalmente, un subconjunto inductivo de un espacio polaco ) es aquel que puede definirse como el punto menos fijo de una operación monótona definible mediante una fórmula positiva Σ ¹ _n , para algunos número natural n , junto con un parámetro real.

Los conjuntos inductivos forman una clase de puntos en negrita ; es decir, están cerrados bajo preimágenes continuas . En la jerarquía Wadge , se encuentran por encima de los conjuntos proyectivos y por debajo de los conjuntos en L(R) . Suponiendo suficiente determinación , la clase de conjuntos inductivos tiene la propiedad de escala y, por tanto, la propiedad de preordenamiento .

El término puede tener varios significados diferentes: ^[1]

• Según la definición de Russell, un conjunto inductivo es un conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que cada elemento tiene un sucesor. Un ejemplo es el conjunto de los números naturales N, donde 0 es el primer elemento, y los demás se producen sumando 1 sucesivamente. ^[2]
• Roitman considera la misma construcción de una forma más concreta: los elementos son conjuntos, el conjunto vacío entre ellos, y el sucesor de cada elemento es el conjunto . En particular, todo conjunto inductivo contiene la secuencia . ^[3] ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y\cup \{y\}}$ ${\displaystyle \emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\},\dots }$
• Para muchos otros autores (por ejemplo, Bourbaki) , un conjunto inductivo es un conjunto parcialmente ordenado en el que cada subconjunto totalmente ordenado tiene un límite superior, es decir, es un conjunto que cumple el supuesto del lema de Zorn. ^[4]

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Conjunto inductivo". mathworld.wolfram.com . Consultado el 5 de junio de 2024 .
2. Russell, B (1963). Introducción a la Filosofía Matemática, 11ª ed . Londres: George Allen y Unwin. págs. 21-22.
3. Roitman, J (1990). Introducción a la teoría de conjuntos moderna . Nueva York: Wiley. pag. 40.
4. Bourbaki, N (1970). Ensembles Inductifs." Capítulo 3, §2.4 en Théorie des Ensembles . París, Francia: Hermann. págs. 20-21.

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Teoría descriptiva de conjuntos . Holanda del Norte. ISBN 0-444-70199-0.