En el campo matemático de la teoría descriptiva de conjuntos , una clase de puntos es una colección de conjuntos de puntos , donde normalmente se entiende que un punto es un elemento de algún espacio polaco perfecto . En la práctica, una clase de puntos suele caracterizarse por algún tipo de propiedad de definibilidad ; por ejemplo, la colección de todos los conjuntos abiertos en alguna colección fija de espacios polacos es una clase de puntos. (Un conjunto abierto puede considerarse definible en cierto sentido porque no puede ser una colección puramente arbitraria de puntos; para cualquier punto del conjunto, todos los puntos suficientemente cercanos a ese punto también deben estar en el conjunto.)
Las clases de puntos encuentran aplicación en la formulación de muchos principios y teoremas importantes de la teoría de conjuntos y el análisis real . Se pueden enunciar principios sólidos de la teoría de conjuntos en términos de la determinación de varias clases de puntos, lo que a su vez implica que los conjuntos en esas clases de puntos (o a veces en otros más grandes) tienen propiedades de regularidad como la mensurabilidad de Lebesgue (y de hecho la mensurabilidad universal ), la propiedad de Baire. , y la propiedad del conjunto perfecto .
En la práctica, los teóricos descriptivos de conjuntos a menudo simplifican las cosas trabajando en un espacio polaco fijo como el espacio de Baire o, a veces, el espacio de Cantor , cada uno de los cuales tiene la ventaja de ser de dimensión cero y, de hecho, homeomorfo a sus potencias finitas o contables , de modo que las consideraciones de La dimensionalidad nunca surge. Yiannis Moschovakis proporciona una mayor generalidad al fijar de una vez por todas una colección de espacios polacos subyacentes, incluido el conjunto de todos los naturales, el conjunto de todos los reales, el espacio de Baire y el espacio de Cantor, y permitiendo al lector incluir cualquier polaco perfecto que desee. espacio. Luego define un espacio producto como cualquier producto cartesiano finito de estos espacios subyacentes. Entonces, por ejemplo, la clase de puntos de todos los conjuntos abiertos significa la colección de todos los subconjuntos abiertos de uno de estos espacios de productos. Este enfoque impide ser una clase adecuada , al tiempo que evita una especificidad excesiva en cuanto a los espacios polacos particulares que se consideran (dado que la atención se centra en el hecho de que es la colección de conjuntos abiertos, no en los espacios en sí).
Las clases de puntos en la jerarquía de Borel , y en la jerarquía proyectiva más compleja , están representadas por letras griegas sub y superíndices en negrita ; por ejemplo, es la clase de puntos de todos los conjuntos cerrados , es la clase de puntos de todos los conjuntos F σ , es la colección de todos los conjuntos que son simultáneamente F σ y G δ , y es la clase de puntos de todos los conjuntos analíticos .
Los conjuntos en tales clases de puntos necesitan ser "definibles" sólo hasta cierto punto. Por ejemplo, cada singleton establecido en un espacio polaco está cerrado y, por tanto , . Por lo tanto, no puede ser que cada conjunto deba ser "más definible" que un elemento arbitrario de un espacio polaco (digamos, un número real arbitrario o una secuencia contable arbitraria de números naturales). Las clases de puntos en negrita, sin embargo, pueden (y en la práctica normalmente lo hacen) requerir que los conjuntos de la clase sean definibles en relación con algún número real, tomado como un oráculo . En ese sentido, la pertenencia a una clase de puntos en negrita es una propiedad de definibilidad, aunque no es una definibilidad absoluta, sino sólo una definibilidad con respecto a un número real posiblemente indefinible.
Las clases de puntos en negrita, o al menos las que normalmente se consideran, están cerradas bajo la reducibilidad de Wadge ; es decir, dado un conjunto en la clase de puntos, su imagen inversa bajo una función continua (desde un espacio producto hasta cuyo espacio el conjunto dado es un subconjunto) también está en la clase de puntos dada. Por lo tanto, una clase de puntos en negrita es una unión cerrada hacia abajo de grados Wadge .
Borel y las jerarquías proyectivas tienen analogías en la teoría descriptiva de conjuntos efectiva en la que la propiedad de definibilidad ya no se relativiza con respecto a un oráculo, sino que se hace absoluta. Por ejemplo, si uno fija alguna colección de vecindades abiertas básicas (digamos, en el espacio de Baire, la colección de conjuntos de la forma { x ∈ω ω s es un segmento inicial de x } para cada secuencia finita fija s de números naturales), entonces los conjuntos abiertos, o , pueden caracterizarse como todas las uniones (arbitrarias) de vecindades abiertas básicas. Los conjuntos análogos, con una cara clara , ya no son uniones arbitrarias de tales vecindades, sino uniones computables de ellas. Es decir, un conjunto es lightface , también llamado efectivamente abierto , si existe un conjunto computable S de secuencias finitas de naturales tal que el conjunto dado sea la unión de los conjuntos { x ∈ω ω s es un segmento inicial de x } para s en S .
Un conjunto es lightface si es complemento de un conjunto. Así, cada conjunto tiene al menos un índice , que describe la función computable que enumera los conjuntos abiertos básicos de los que se compone; de hecho, tendrá infinitos índices de este tipo. De manera similar, un índice para un conjunto B describe la función computable que enumera los conjuntos abiertos básicos en el complemento de B.
Un conjunto A es lightface si es una unión de una secuencia computable de conjuntos (es decir, hay una enumeración computable de índices de conjuntos tal que A es la unión de estos conjuntos). Esta relación entre conjuntos de caras claras y sus índices se utiliza para extender la jerarquía de Borel de caras claras al transfinito, mediante ordinales recursivos . Esto produce la jerarquía hiperaritmética , que es el análogo de cara luminosa de la jerarquía de Borel. (Los niveles finitos de la jerarquía hiperaritmética se conocen como jerarquía aritmética ).
Se puede aplicar un tratamiento similar a la jerarquía proyectiva. Su análogo lightface se conoce como jerarquía analítica .
Cada clase es al menos tan grande como las clases superiores.
