Objeto matemático
En la rama de las matemáticas llamada teoría de categorías , un objeto hopfiano es un objeto A tal que cualquier epimorfismo de A sobre A es necesariamente un automorfismo . La noción dual es la de un objeto cohopfiano , que es un objeto B tal que todo monomorfismo de B en B es necesariamente un automorfismo. Las dos condiciones se han estudiado en las categorías de grupos , anillos , módulos y espacios topológicos .
Los términos "hopfiano" y "cohopfiano" surgieron en la década de 1960 y se dice que son un homenaje a Heinz Hopf y su uso del concepto de grupo hopfiano en su trabajo sobre grupos fundamentales de superficies. (Hazewinkel 2001, p. 63)
Propiedades
Ambas condiciones pueden considerarse como tipos de condiciones de finitud en su categoría. Por ejemplo, suponiendo la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección y trabajando en la categoría de conjuntos , los objetos hopfianos y cohopfianos son precisamente los conjuntos finitos . A partir de esto es fácil ver que todos los grupos finitos, módulos finitos y anillos finitos son hopfianos y cohopfianos en sus categorías.
Los objetos hopfianos y cohopfianos tienen una interacción elemental con objetos proyectivos e inyectivos . Los dos resultados son:
- Un objeto hopfiano inyectivo es cohopfiano.
- Un objeto cohopfiano proyectivo es hopfiano.
La prueba del primer enunciado es breve: sea A un objeto hopfiano inyectivo y sea f un morfismo inyectivo de A a A . Por inyectividad, f se factoriza a través de la función identidad I A sobre A , lo que produce un morfismo g tal que gf = I A . Como resultado, g es un morfismo sobreyectivo y, por lo tanto, un automorfismo, y entonces f es necesariamente el automorfismo inverso de g . Esta prueba se puede dualizar para demostrar el segundo enunciado.
Grupos hopfianos y cohopfianos
Módulos hopfianos y cohopfianos
A continuación se muestran varios resultados básicos en la categoría de módulos. Es especialmente importante recordar que el hecho de que R sea hopfiano o cohopfiano como módulo es diferente a que R sea hopfiano o cohopfiano como anillo.
- Un módulo noetheriano es hopfiano y un módulo artiniano es cohopfiano.
- El módulo R R es hopfiano si y solo si R es un anillo directamente finito . Simétricamente, estos dos también son equivalentes a que el módulo R R sea hopfiano.
- En contraste con lo anterior, los módulos R R o R R pueden ser cohopfianos o no en cualquier combinación. En (Varadarajan 1992) se dio un ejemplo de un anillo cohopfiano en un lado pero no en el otro. Sin embargo, si cualquiera de estos dos módulos es cohopfiano, R es hopfiano en ambos lados (ya que R es proyectivo como módulo izquierdo o derecho) y directamente finito.
Anillos hopfianos y cohopfianos
La situación en la categoría de anillos es muy diferente a la de la categoría de módulos. Los morfismos en la categoría de anillos con unidad deben conservar la identidad, es decir, enviar 1 a 1.
- Si R satisface la condición de cadena ascendente en ideales, entonces R es hopfiano. Esto se puede demostrar por analogía con el hecho para los módulos noetherianos. Sin embargo, la idea contraria para "cohopfiano" no existe, ya que si f es un homomorfismo de anillo de R en R que conserva la identidad, y la imagen de f no es R , entonces la imagen ciertamente no es un ideal de R . En cualquier caso, esto demuestra que un anillo noetheriano o artiniano unilateral es siempre hopfiano.
- Cualquier anillo simple es hopfiano, ya que el núcleo de cualquier endomorfismo es un ideal, que es necesariamente cero en un anillo simple. En cambio, en (Varadarajan 1992) se dio un ejemplo de un cuerpo no cohopfiano .
- El anillo lineal completo End D (V) de un espacio vectorial de dimensión contable es un anillo hopfiano que no es hopfiano como módulo, ya que solo tiene tres ideales, pero no es directamente finito. El artículo (Varadarajan 1992) también da un ejemplo de un anillo cohopfiano que no es cohopfiano como módulo.
- También en (Varadarajan 1992), se muestra que para un anillo booleano R y su espacio de Stone asociado X , el anillo R es hopfiano en la categoría de anillos si y solo si X es cohopfiano en la categoría de espacios topológicos, y R es cohopfiano como anillo si y solo si X es hopfiano como espacio topológico.
Espacios topológicos hopfianos y cohopfianos
- En (Varadarajan 1992) se incluyen una serie de resultados sobre variedades compactas. En primer lugar, las únicas variedades compactas que son hopfianas son los espacios discretos finitos . En segundo lugar, las variedades compactas sin borde son siempre cohopfianas. Por último, las variedades compactas con borde no vacío no son cohopfianas.
Referencias
- Baumslag, Gilbert (1963), "Hopficity and abelian groups", Temas de grupos abelianos (Proc. Sympos., New Mexico State Univ., 1962) , Chicago, Ill.: Scott, Foresman and Co., págs. 331–335, MR 0169896
- Hazewinkel, M., ed. (2001), Enciclopedia de matemáticas. Suplemento. vol. III , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, págs. viii+557, ISBN 1-4020-0198-3, Sr. 1935796
- Varadarajan, K. (1992), "Objetos hopfianos y co-hopfianos", Publicacions Matemàtiques , 36 (1): 293–317, doi :10.5565/PUBLMAT_36192_21, ISSN 0214-1493, MR 1179618
- Varadarajan, K. (2001), "Algunos resultados recientes sobre Hopficity, co-Hopficity y propiedades relacionadas", Simposio internacional sobre teoría de anillos , Trends Math., Birkhäuser Boston, págs. 371–392, MR 1851216
Enlaces externos
- Grupo hopfiano
- Grupo co-hopfiano
