Historia de los principios variacionales en física.

En física , un principio variacional es un método alternativo para determinar el estado o la dinámica de un sistema físico, identificándolo como un extremo (mínimo, máximo o punto de silla) de una función o funcional. Muchos software modernos aprovechan métodos variacionales para simular la materia y la luz.

Desde el desarrollo de la mecánica analítica en el siglo XVIII, las ecuaciones fundamentales de la física suelen establecerse en términos de principios de acción , donde el principio variacional se aplica a la acción de un sistema con el fin de recuperar la ecuación fundamental del movimiento.

Este artículo describe el desarrollo histórico de dichos principios de acción y otros métodos variacionales aplicados en física. Consulte Historia de la física para obtener una descripción general y Esquema de la historia de la física para obtener historias relacionadas.

Antigüedad

Los principios variacionales se encuentran entre ideas anteriores en topografía y óptica . Los tensores de cuerda del antiguo Egipto estiraban cuerdas entre dos puntos para medir el camino, lo que minimizaba la distancia de separación, y Claudio Ptolomeo , en su Geographia (Libro 1, Capítulo 2), enfatizó que se deben corregir las "desviaciones de un curso recto". "; en la antigua Grecia, Euclides afirma en su Catoptrica que, para el camino de la luz reflejada en un espejo, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión ; y Héroe de Alejandría demostró más tarde que este camino era el más corto y el de menor duración. ^{[1] : 580}

Primeros principios variacionales

Principio del trabajo virtual.

En el análisis estático de objetos sometidos a fuerzas pero fijados en equilibrio mecánico , el principio del trabajo virtual imagina pequeños desplazamientos matemáticos que se alejan del equilibrio. Cada turno funciona (energía perdida o ganada) contra las fuerzas, pero la suma de todas estas partes de trabajo virtual debe ser cero. Este principio fue desarrollado por Johann Bernoulli en una carta a Pierre Varignon en 1715, pero nunca se publicó por separado. ^{[2] : 23} Cornelius Lanczos utiliza una definición ligeramente diferente como postulado único para toda la mecánica analítica, mostrando así el poder de los principios variacionales basados ​​en la energía sobre la mecánica newtoniana. ^{[2] : 87}

El principio de D'Alembert

En 1743, Jean le Rond d'Alembert generalizó el concepto que ahora llamamos trabajo virtual a sistemas dinámicos con restricciones rígidas, como varillas o cuerdas bajo tensión, una forma que se conoció como principio de d'Alembert . ^{[3] : 190} En el caso de cuerpos rígidos estáticos (en equilibrio) sin fricción, el principio del trabajo virtual dice que el trabajo neto de todas las fuerzas aplicadas ( ) bajo variación de posiciones ( ) es cero: ${\displaystyle F_{i}^{(a)}}$ ${\displaystyle r_{i}}$

${\displaystyle \Sigma _{i}F_{i}^{(a)}\cdot \delta r_{i}=0}$

Una condición similar pero válida para la dinámica (sistemas en movimiento) introduce, para cada fuerza, el cambio de momento : ${\displaystyle {\dot {p}}_{i}}$

${\displaystyle \Sigma _{i}(F_{i}-{\dot {p}}_{i})\cdot \delta r_{i}=0}$

que es el principio de d'Alembert. ^{[4] : 17}

Principio del mínimo tiempo

Las ideas geométricas anteriores en óptica fueron generalizadas por Pierre de Fermat , quien, en el siglo XVII, refinó el principio para que "la luz viaja entre dos puntos dados a lo largo del camino más corto "; conocido ahora como principio del tiempo mínimo o principio de Fermat . Fermat demostró que ese principio predice la ley de refracción observada . Su enfoque era metafísico, argumentando que la Naturaleza actúa de manera simple y económica. ^{[1] : 580}

El problema de la braquistocrona

El problema de la braquistocrona. El camino del menor tiempo se muestra en rojo.

Las técnicas basadas en pequeñas variaciones en la trayectoria del movimiento surgieron del análisis del problema de la braquistocrona.

En 1696, Johann Bernoulli planteó un enigma a los matemáticos europeos: derivar una curva para el movimiento de una cuenta sin fricción que cae entre un punto superior y un punto inferior en el menor tiempo posible. Llamó a la curva " braquistócrona " (de brachystos , "más corta" y cronos , "tiempo") ^{[5] : 31} Isaac Newton , Gottfried Wilhelm Leibniz y otros contribuyeron con soluciones, y en 1718 Johann Bernoulli publicó un análisis basado en la solución creada por su hermano James Bernoulli . Todos estos trabajos, especialmente el de los Bernoulli, implicaban razonar sobre pequeñas desviaciones en la trayectoria de la cuenta que caía. Así, ésta se convirtió en la primera aplicación de la técnica variacional, aunque como un caso especial más que como un principio general. ^{[5] : 68}

Principio de mínima acción

En 1744 ^[6] y 1746, ^[7] Pierre Louis Maupertuis generalizó el concepto de Fermat a la mecánica, ^{[8] : 97} en forma de un principio de acción mínima . Maupertuis argumentó metafísicamente, consideró que "la naturaleza es ahorrativa en todas sus acciones" y aplicó el principio de manera amplia:

Siendo las leyes del movimiento y del reposo deducidas de este principio exactamente las mismas que las observadas en la naturaleza, podemos admirar su aplicación a todos los fenómenos. El movimiento de los animales, el crecimiento vegetativo de las plantas... son sólo sus consecuencias; y el espectáculo del universo se vuelve tanto más grandioso, mucho más bello, más digno de su Autor, cuando se sabe que un pequeño número de leyes, sabiamente establecidas, bastan para todos los movimientos.

—  Pierre Louis Maupertuis ^[9]

Esta noción de Maupertuis, aunque algo determinista hoy en día, capta gran parte de la esencia de la mecánica variacional.

Aplicando a la física, Maupertuis sugirió que la cantidad a minimizar era el producto de la duración (tiempo) del movimiento dentro de un sistema por la acción ; sus definiciones de acción variaban según los problemas que discutía. ^{[1] : 581} Una forma que utilizó se llamó " vis viva ",

principio de maupertuis

${\displaystyle \delta \int 2T(t)dt=0}$

que es la integral del doble de lo que ahora llamamos energía cinética T del sistema.

El refinamiento de Euler

Leonhard Euler mantuvo correspondencia con Maupertuis de 1740 a 1744; ^{[1] : 582} en 1744 Euler propuso una formulación refinada del principio de acción mínima en 1744. ^[10] Escribe ^[11]

"Sea M la masa del proyectil , y sea su velocidad al cuadrado resultante de su altura mientras se mueve una distancia ds . El cuerpo tendrá un impulso que, multiplicado por la distancia ds , dará el impulso del proyectil. cuerpo integrado sobre la distancia ds . Ahora afirmo que la curva así descrita por el cuerpo es la curva (de entre todas las demás curvas que conectan los mismos puntos finales) que minimiza o, siempre que M sea constante, ". ^{[Nota 1]} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M{\sqrt {v}}}$ ${\displaystyle Mds{\sqrt {v}}}$ ${\displaystyle \int Mds{\sqrt {v}}}$ ${\displaystyle \int ds{\sqrt {v}}}$

Como afirma Euler, es la integral del impulso sobre la distancia recorrida (tenga en cuenta que aquí, contrariamente a la notación habitual, denota la velocidad al cuadrado ) que, en notación moderna, es igual a la acción abreviada : ^{[4] : ​​359} ${\displaystyle \int Mds{\sqrt {v}}}$ ${\displaystyle v}$

principio de euler

${\displaystyle \delta \int p\,dq=0}$

En términos bastante generales, escribió que "Dado que la estructura del Universo es sumamente perfecta y es obra de un Creador muy sabio, no ocurre nada en el Universo en el que no aparezca alguna relación de máximo y mínimo".

Euler continuó escribiendo sobre el tema; en sus Reflexiones sobre quelques loix generales de la naturaleza (1748), llamó a la cantidad "esfuerzo". Su expresión corresponde a lo que hoy llamaríamos energía potencial , de modo que su enunciado de acción mínima en estática equivale al principio de que un sistema de cuerpos en reposo adoptará una configuración que minimice la energía potencial total.

Mecánica lagrangiana

El primer uso del término "método de variaciones" se produjo en 1755 a través del trabajo de un joven Joseph Louis Lagrange ; Euler presentó el enfoque de Lagrange en la Academia de Berlín en 1756 como el " cálculo de variaciones ". A diferencia de Euler, el enfoque de Lagrange fue puramente analítico más que geométrico. Lagrange introdujo la idea de variación de curvas enteras o caminos entre los puntos finales en lugar de coordenadas individuales. Para ello introdujo una nueva forma de diferencial, escrita , que actúa sobre integrales en lugar de actuar sobre coordenadas. ^{[5] : 111} Su notación continúa utilizándose hoy en día. ^{[1] : 583} ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle d}$

Mecánica hamilton-jacobi

El principio variacional no se utilizó para derivar las ecuaciones de movimiento hasta casi 75 años después, cuando William Rowan Hamilton en 1834 y 1835 ^[12] aplicó el principio variacional a la función lagrangiana (donde T es la energía cinética y V la energía potencial de un objeto) para obtener lo que ahora se llaman ecuaciones de Euler-Lagrange . Hamilton creía que sus resultados estaban limitados por la conservación de la energía, a la que llamó conservación de la fuerza viva. ^{[13] : 163} ${\displaystyle L=T-V}$

Si bien pocos científicos alemanes leían artículos en inglés en esta época, en 1836 el matemático alemán Carl Gustav Jacobi leyó sobre el trabajo de Hamilton e inmediatamente comenzó un nuevo trabajo matemático, publicando un trabajo innovador sobre el principio variacional al año siguiente. ^[14] Entre los resultados de Jacobi estaba la extensión del método de Hamilton a los potenciales dependientes del tiempo (o "funciones de fuerza", como se conocían en ese momento). ^{[13] : 201}

Extensiones por Gauss y Hertz

Se formularon otros principios extremos de la mecánica clásica , como el principio de mínima restricción de Carl Friedrich Gauss de 1829 y su corolario, el principio de mínima curvatura de Heinrich Hertz de 1896 .

Nombres de principios de acción

Los principios de acción se desarrollaron mediante prueba y error a lo largo de tres siglos; los nombres de los principios no se describen a sí mismos. ^[15] Richard Feynman , a través de su tesis doctoral ^[16] y más tarde a través de su reinvención del curso universitario de física, revitalizó el campo de los principios variacionales en física. ^[15] En el proceso cambió la terminología. Feynman llamó a la función principal de Hamilton simplemente "acción" y al principio de Hamilton lo llamó "el principio de mínima acción". ^[17] La ​​siguiente tabla resume la terminología clave que se encuentra en la literatura de física moderna.

La notación significa variaciones de fijo; significa variación con energía constante. ^[18] La acción abreviada a veces se denomina . ^[15] Algunos autores utilizan "acción estacionaria" o "acción mínima" para referirse a cualquier principio variacional que implique acción. ^{[2] : viii  [21] : 92} ${\displaystyle (\delta S)_{T}=0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T=t_{2}-t_{1}}$ ${\displaystyle (\delta W)_{E}}$ ${\displaystyle S_{0}}$

Principios de acción modernos.

en relatividad

En 1915, David Hilbert aplicó principios variacionales para derivar las ecuaciones del campo gravitacional de la relatividad general de acuerdo con la derivación de Albert Einstein . ^[22] (Einstein y Hilbert discutieron el trabajo de Einstein sobre la relatividad general en persona y en cartas a lo largo de 1915. ^[23] ) El enfoque de Hilbert requería aceptar el principio variacional como "axiomático", un requisito ampliamente aceptado hoy en día pero cuestionable para los físicos de 1915. Las variaciones se basaron en lo que se conoció como la acción de Einstein-Hilbert , dada por

${\displaystyle {\mathcal {S}}[g]={\frac {1}{2\kappa }}\int R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$,

donde κ es la constante gravitacional de Einstein , es el determinante de una métrica de Lorentz del espacio-tiempo y es la curvatura escalar . ${\displaystyle g=\det(g_{\alpha \beta })}$ ${\displaystyle R}$

En mecánica cuántica

Los principios variacionales desempeñaron un papel decisivo en momentos críticos del desarrollo de la mecánica cuántica.

átomo de sommerfeld

Siguiendo la propuesta de Max Planck de que los radiadores cuánticos explican el espectro de radiación del cuerpo negro y la hipótesis de Albert Einstein de que la radiación cuántica explica el efecto fotoeléctrico , Niels Bohr propuso niveles de energía cuantificados para las órbitas en su modelo del átomo, explicando así la serie de Balmer para la absorción. de radiación por átomos. Sin embargo, esta hipótesis no implicaba ningún modelo mecánico. Arnold Sommerfeld luego demostró que la cuantificación de la acción de las órbitas del Hidrógeno predijo la serie de Balmer, completa con correcciones relativistas que conducen a una estructura fina en las líneas espectrales. Sin embargo, este enfoque no podía extenderse a átomos con más electrones y, más fundamentalmente, la propia hipótesis cuántica no tenía explicación a partir de esta solución de la mecánica clásica. ^{[21] : 97}

ecuación de schrodinger

Combinando los resultados de la relatividad y el efecto fotoeléctrico de Einstein, De Broglie sugirió que la acción cuantificada de Sommerfeld puede estar relacionada con efectos de onda cuantificados; Edwin Schrodinger retomó esta idea y aplicó la analogía óptico-mecánica de Hamilton para conectar la acción cuantificada con las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para la acción. La conexión de Hamilton entre rayos de luz y ondas de luz se convirtió ahora en una conexión entre trayectorias de materia y ondas de materia de De Broglie . ^{[21] : 119} La ecuación de Schrodinger resultante se convirtió en la primera mecánica cuántica exitosa.

La acción cuántica de Dirac

El trabajo que se basó en la ecuación de Schrodinger se basó en analogías con la mecánica hamiltoniana . En 1933, Paul Dirac publicó un artículo que buscaba una formulación alternativa basada en la mecánica lagrangiana . Estaba motivado por el poder del principio de acción y la invariancia relativista de la acción misma. ^[24] Dirac pudo demostrar que la amplitud de probabilidad de las funciones de onda en estaba relacionada con la amplitud en a través de una función exponencial compleja de la acción. ^{[25] : 1025} ${\displaystyle x_{1},t_{2}}$ ${\displaystyle x_{2},t_{2}}$

La mecánica de mínima acción de Feynman

En 1942, casi una década después del trabajo de Dirac, Richard Feynman construyó una nueva formulación de la mecánica cuántica basada en el principio de acción. Feynman interpretó la fórmula de Dirac como una receta física para las contribuciones de amplitud de probabilidad de cada camino posible entre y . Estas posibilidades interfieren ; La interferencia constructiva da los caminos con mayor amplitud. En el límite clásico con valores de acción grandes en comparación con , resulta el camino clásico único dado por el principio de acción. ^{[25] : 1027} ${\displaystyle x_{1},t_{2}}$ ${\displaystyle x_{2},t_{2}}$ ${\displaystyle h}$

Principio de acción cuántica de Schwinger

En 1950, Julian Schwinger revisó el artículo lagrangiano de Dirac para desarrollar el principio de acción en una dirección diferente. ^{[25] : 1082} A diferencia del enfoque de Feynman en los caminos, el enfoque de Schwinger era "diferencial" o local.

En física de partículas

El Modelo Estándar se define en términos de una densidad lagrangiana que incluye todas las partículas elementales conocidas , el campo de Higgs y tres de las interacciones fundamentales ( electromagnetismo , interacción débil e interacción fuerte , sin incluir la interacción gravitacional). Su formulación se inició en la década de 1970 y ha explicado con éxito casi todos los resultados experimentales relacionados con la física microscópica. ^[26]

Principios de la teleología en acción.

La amplitud de los fenómenos físicos sujetos a estudio mediante principios de acción lleva a los científicos de todos los siglos a considerar estos conceptos como especialmente fundamentales; la conexión de dos puntos por caminos lleva a algunos a sugerir un "propósito" a la selección de un camino particular. Este punto de vista teleológico abarca desde la física más antigua, pasando por Fermat, Maupertuis y hasta Max Planck , sin embargo, sin ningún respaldo científico. ^{[21] : 162} El uso de un lenguaje colorido continúa en la era moderna con frases como "¡La orden de la naturaleza (de) explorar todos los caminos! " ^[27] o "No es que una partícula tome el camino de menor acción, sino que huele todos los caminos del barrio...". ^{[17] :II:19}

Métodos variacionales

El trabajo de Ritz sobre la elasticidad y las ondas.

Lord Rayleigh fue el primero en adaptar popularmente los principios variacionales para la búsqueda de valores propios y vectores propios para el estudio de la elasticidad y las ondas clásicas en su Teoría del sonido de 1877 . ^[28] El método de Rayleigh permite la aproximación de las frecuencias fundamentales sin un conocimiento completo de la composición del material y sin el requisito de potencia computacional. ^[28] De 1903 a 1908, Walther Ritz introdujo una serie de métodos mejorados para problemas de estática y vibración libre basados ​​en la optimización de una función ansatz o de prueba. Ritz demostró su uso en la teoría del haz de Euler-Bernoulli y la determinación de figuras de Chladni . ^[28]

Durante años, las obras de Ritz fueron poco citadas en Europa occidental y sólo se hicieron populares después de la muerte de Ritz en 1909. ^[29] En Rusia, físicos como Ivan Bubnov (en 1913) y Boris Galerkin (en 1915) redescubrirían y popularizarían algunas de las obras de Ritz. métodos de 1908. En 1940, Georgii I. Petrov mejoró estas aproximaciones. ^[29] Estos métodos ahora se conocen con diferentes nombres, incluidos los métodos Bubnov-Galerkin, Petrov-Galerkin y Ritz-Galerkin. ^[28]

En 1911, Rayleigh elogió a Ritz por su método para resolver el problema de Chladni, pero se quejó por la falta de citas de su trabajo anterior. Sin embargo, en ocasiones se ha cuestionado la similitud entre el método de Rayleigh y el de Ritz. ^{[28] [30] [29]} Los métodos de Ritz a veces se denominan método de Rayleigh-Ritz o simplemente método de Ritz , según el procedimiento. ^{[28] [29]} El método de Ritz condujo al desarrollo del método de elementos finitos para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales en física. ^[29]

Para sistemas cuánticos

El método variacional de Ritz encontraría su uso en la mecánica cuántica con el desarrollo del teorema de Hellmann-Feynman . El teorema fue discutido por primera vez por Schrödinger en 1926, la primera demostración fue dada por Paul Güttinger en 1932 y luego redescubierto de forma independiente por Wolfgang Pauli y Hans Hellmann en 1933, y por Feynman en 1939. ^{[ cita necesaria ]}

En química cuántica y física de la materia condensada , se desarrollaron métodos variacionales para estudiar átomos, moléculas, núcleos y sólidos bajo un marco de mecánica cuántica. Algunos de estos incluyen el uso de los métodos de Ritz para la determinación de los espectros del átomo de helio , el método Hartree-Fock de 1930 , la teoría funcional de la densidad de 1964 y Monte Carlo variacional y el grupo de renormalización de la matriz de densidad (DMRG) de 1992 . ^{[ cita necesaria ]}

Nota

1. Original: "Sit massa corporis projecti == M , ejusque, dum spatiolum == ds emetitur, celeritas debita altitudini == v ; erit quantitas motus corporis in hoc loco ==  ; quae per ipsum spatiolum ds multiplicata, dabit motum corporis Collectivum per spatiolum ds . Iam dico lineam a corpore descriptam ita fore comparatam, ut, inter omnes alias lineas iisdem terminis contentas, sit , seu, ob M constans, mínimo." ${\displaystyle M{\sqrt {v}}}$ ${\displaystyle M\,ds{\sqrt {v}}}$ ${\displaystyle \int Mds{\sqrt {v}}}$ ${\displaystyle \int ds{\sqrt {v}}}$

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