la fórmula de garza

Área del triángulo en términos de longitudes de los lados.

Un triángulo con lados a , b y c.

En geometría , la fórmula de Heron (o fórmula de Hero ) da el área de un triángulo en términos de las longitudes de los tres lados ⁠ ⁠ ${\displaystyle a,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle b,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle c.}$ Sea ⁠ ⁠ ${\displaystyle s}$ el semiperímetro del triángulo, el área ⁠ ⁠ es ^[1] ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.}$

Lleva el nombre del ingeniero Herón de Alejandría (o Héroe), del siglo I, que lo demostró en su obra Métrica , aunque probablemente se conocía siglos antes.

Ejemplo

Sea ⁠ ⁠ ${\displaystyle \triangle ABC}$ el triángulo con lados y El semiperímetro de este triángulo es y por lo tanto el área es ${\displaystyle a=4,}$ ${\displaystyle b=13,}$ ${\displaystyle c=15.}$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(4+13+15)=16}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24.\end{aligned}}}$

En este ejemplo, las longitudes de los lados y el área son números enteros , lo que lo convierte en un triángulo heroniano . Sin embargo, la fórmula de Heron funciona igualmente bien en los casos en que una o más longitudes de los lados no son números enteros.

Expresiones alternativas

La fórmula de Heron también se puede escribir en términos de solo las longitudes de los lados en lugar de usar el semiperímetro, de varias maneras:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.\end{aligned}}}$

Después de la expansión, la expresión bajo la raíz cuadrada es un polinomio cuadrático de las longitudes de los lados al cuadrado ⁠ ⁠ ${\displaystyle a^{2}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b^{2}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle c^{2}}$ .

La misma relación se puede expresar utilizando el determinante de Cayley-Menger , ^[2]

${\displaystyle -16A^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}.}$

Historia

La fórmula se atribuye a Heron (o Héroe) de Alejandría ( fl. 60 d. C.), ^[3] y se puede encontrar una prueba en su libro Metrica . El historiador matemático Thomas Heath sugirió que Arquímedes conocía la fórmula más de dos siglos antes, ^[4] y dado que Metrica es una colección del conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia dada en ese trabajo. ^[5]

Una fórmula equivalente a la de Heron, a saber,

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}}$

Fue descubierto por los chinos. Fue publicado en Tratado matemático en nueve secciones ( Qin Jiushao , 1247). ^[6]

Pruebas

Hay muchas maneras de probar la fórmula de Heron, por ejemplo usando trigonometría como se muestra a continuación, o el incentro y una excircunferencia del triángulo, ^[7] o como un caso especial del teorema de De Gua (para el caso particular de triángulos agudos), ^{[8 ]} o como un caso especial de la fórmula de Brahmagupta (para el caso de un cuadrilátero cíclico degenerado).

Prueba trigonométrica usando la ley de los cosenos.

A continuación se muestra una demostración moderna, que utiliza álgebra y es bastante diferente de la proporcionada por Heron. ^[9] Sean ⁠ ⁠ ${\displaystyle a,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle b,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ los lados del triángulo y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha ,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \beta ,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ los ángulos opuestos a esos lados. Aplicando la ley de los cosenos obtenemos

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$

Un triangulo de lados a , b y c

De esta prueba obtenemos el enunciado algebraico de que

${\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.}$

La altura del triángulo en la base ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ tiene longitud ⁠ ⁠ ${\displaystyle b\sin \gamma }$ y se deduce

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma \\[6mu]&={\frac {ab}{4ab}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\sqrt {\left({\frac {a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {-a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {a-b+c}{2}}\right)\left({\frac {a+b-c}{2}}\right)}}\\[6mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}}$

Prueba algebraica utilizando el teorema de Pitágoras

Triángulo con altura h que corta la base c en d + ( c − d )

La siguiente prueba es muy similar a la dada por Raifaizen. ^[10] Por el teorema de Pitágoras tenemos y según la figura de la derecha. Restando estos se obtiene Esta ecuación nos permite expresar ⁠ ⁠ en términos de los lados del triángulo: ${\displaystyle b^{2}=h^{2}+d^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd.}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.}$

Para la altura del triángulo tenemos que. Reemplazando ⁠ ⁠ con la fórmula dada arriba y aplicando la diferencia de identidad de cuadrados obtenemos ${\displaystyle h^{2}=b^{2}-d^{2}.}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(b-c)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}.\end{aligned}}}$

Ahora aplicamos este resultado a la fórmula que calcula el área de un triángulo a partir de su altura:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}}$

Prueba trigonométrica usando la ley de las cotangentes.

Significado geométrico de s - a , s - b y s - c . Véase la ley de las cotangentes para conocer el razonamiento detrás de esto.

Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ es el radio de la circunferencia del triángulo, entonces el triángulo se puede dividir en tres triángulos de igual altitud ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ y bases ⁠ ⁠ ${\displaystyle a,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle b,}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle c.}$ Su área combinada es

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ar+{\tfrac {1}{2}}br+{\tfrac {1}{2}}cr=rs,}$

¿Dónde está el semiperímetro? ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

El triángulo se puede dividir alternativamente en seis triángulos (en pares congruentes) de altitud ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ y bases ⁠ ⁠ ${\displaystyle s-a,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle s-b,}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle s-c}$ de área combinada (ver ley de las cotangentes )

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\[2mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\right)\\[2mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}\cdot {\frac {s-b}{r}}\cdot {\frac {s-c}{r}}\right)\\[3mu]&={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}.\end{aligned}}}$

El paso intermedio anterior es la identidad cotangente triple , que se aplica porque la suma de los semiángulos es ${\textstyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}+\cot {\tfrac {\beta }{2}}+\cot {\tfrac {\gamma }{2}}={}}$ ${\displaystyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}\cot {\tfrac {\beta }{2}}\cot {\tfrac {\gamma }{2}},}$ ${\textstyle {\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}+{\tfrac {\gamma }{2}}={\tfrac {\pi }{2}}.}$

Combinando los dos, obtenemos

${\displaystyle A^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c),}$

de donde se sigue el resultado.

Estabilidad numérica

La fórmula de Heron dada anteriormente es numéricamente inestable para triángulos con un ángulo muy pequeño cuando se usa aritmética de punto flotante . Una alternativa estable implica ordenar las longitudes de los lados de manera que y calcular ^{[11] [12]} ${\displaystyle a\geq b\geq c}$

${\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\big (}a+(b+c){\big )}{\big (}c-(a-b){\big )}{\big (}c+(a-b){\big )}{\big (}a+(b-c){\big )}}}.}$

Los corchetes en la fórmula anterior son necesarios para evitar la inestabilidad numérica en la evaluación.

Fórmulas similares para el área de un triángulo

Otras tres fórmulas para el área de un triángulo general tienen una estructura similar a la fórmula de Herón, expresada en términos de diferentes variables.

Primero, si ⁠ ⁠ ${\displaystyle m_{a},}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle m_{b},}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle m_{c}}$ son las medianas de los lados ⁠ ⁠ ${\displaystyle a,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle b,}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ respectivamente, y su semisuma es entonces ^[13] ${\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c}),}$

${\displaystyle A={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}$

A continuación, si ⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{a}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{b}}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{c}}$ son las altitudes de los lados ⁠ ⁠ ${\displaystyle a,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle b,}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ respectivamente, y la semisuma de sus recíprocos es entonces ^[14] ${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}{\bigr )},}$

${\displaystyle A^{-1}=4{\sqrt {H{\bigl (}H-h_{a}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{b}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{c}^{-1}{\bigr )}}}.}$

Finalmente, si ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha ,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \beta ,}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ son las medidas de los tres ángulos del triángulo, y la semisuma de sus senos es entonces ^{[15] [16]} ${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma ),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{2}}D^{2}\sin \alpha \,\sin \beta \,\sin \gamma ,\end{aligned}}}$

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle D}$ es el diámetro del círculo circunstante . Esta última fórmula coincide con la fórmula estándar de Heron cuando el círculo circunstante tiene un diámetro unitario. ${\displaystyle D=a/{\sin \alpha }=b/{\sin \beta }=c/{\sin \gamma }.}$

Generalizaciones

Cuadrilátero cíclico

La fórmula de Herón es un caso especial de la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico . La fórmula de Heron y la fórmula de Brahmagupta son casos especiales de la fórmula de Bretschneider para el área de un cuadrilátero . La fórmula de Heron se puede obtener a partir de la fórmula de Brahmagupta o de la fórmula de Bretschneider poniendo uno de los lados del cuadrilátero a cero.

La fórmula de Brahmagupta da el área ⁠ ⁠ ${\displaystyle K}$ de un cuadrilátero cíclico cuyos lados tienen longitudes ⁠ ⁠ ⁠ ${\displaystyle a,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle b,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle c,}$ ⁠ como ${\displaystyle d}$

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

¿Dónde está el semiperímetro ? ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}$

La fórmula de Herón es también un caso especial de la fórmula para el área de un trapecio o trapecio basada únicamente en sus lados. La fórmula de Heron se obtiene poniendo a cero el lado paralelo más pequeño.

Expresando la fórmula de Heron con un determinante de Cayley-Menger en términos de los cuadrados de las distancias entre los tres vértices dados,

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}}$

ilustra su similitud con la fórmula de Tartaglia para el volumen de un tres simplex .

David P. Robbins descubrió otra generalización de la fórmula de Heron a pentágonos y hexágonos inscritos en un círculo . ^[17]

Fórmula tipo garza para el volumen de un tetraedro

Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle U,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle V,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle W,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle u,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle v,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle w}$ son longitudes de las aristas del tetraedro (las primeras tres forman un triángulo; ⁠ ⁠ ${\displaystyle u}$ opuesto a ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ y así sucesivamente), entonces ^[18]

${\displaystyle {\text{volume}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}$

Fórmulas de Heron en geometrías no euclidianas.

También existen fórmulas para el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus lados para triángulos en la esfera o en el plano hiperbólico . ^[19] Para un triángulo en la esfera con longitudes de lados ⁠ ⁠ ${\displaystyle a,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle b,}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ el semiperímetro y el área ⁠ ⁠ , dicha fórmula es ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}}$

mientras que para el plano hiperbólico tenemos

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tanh {\frac {s}{2}}\tanh {\frac {s-a}{2}}\tanh {\frac {s-b}{2}}\tanh {\frac {s-c}{2}}.}$

Ver también

• Fórmula de cordones

Referencias

1. Kendig, Keith (2000). "¿Una fórmula de 2000 años todavía guarda algunos secretos?". El Mensual Matemático Estadounidense . 107 (5): 402–415. doi :10.1080/00029890.2000.12005213. JSTOR  2695295. SEÑOR  1763392. S2CID  1214184.
2. Havel, Timothy F. (1991). "Algunos ejemplos del uso de distancias como coordenadas para la geometría euclidiana". Revista de Computación Simbólica . 11 (5–6): 579–593. doi : 10.1016/S0747-7171(08)80120-4 .
3. Identificación, Yusuf; Kennedy, ES (1969). "Una prueba medieval de la fórmula de Heron". El profesor de matemáticas . 62 (7): 585–587. doi :10.5951/MT.62.7.0585. JSTOR  27958225. SEÑOR  0256819.
4. Brezo, Thomas L. (1921). Una historia de las matemáticas griegas . vol. II. Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 321–323.
5. Weisstein, Eric W. "Fórmula de Heron". MundoMatemático .
6. 秦, 九韶 (1773). "卷三上, 三斜求积".數學九章 (四庫全書本) (en chino).
7. "Comunicación personal por correo electrónico entre los matemáticos John Conway y Peter Doyle". 15 de diciembre de 1997 . Consultado el 25 de septiembre de 2020 .
8. Lévy-Leblond, Jean-Marc (14 de septiembre de 2020). "Una prueba simétrica en 3D de la fórmula de Heron". El inteligente matemático . 43 (2): 37–39. doi : 10.1007/s00283-020-09996-8 . ISSN  0343-6993.
9. Niven, Iván (1981). Máximos y mínimos sin cálculo . La Asociación Matemática de América. págs. 7–8.
10. Raifaizen, Claude H. (1971). "Una prueba más sencilla de la fórmula de Heron". Revista Matemáticas . 44 (1): 27–28. doi :10.1080/0025570X.1971.11976093.
11. Sterbenz, Pat H. (1 de mayo de 1974). Computación de punto flotante . Serie Prentice-Hall sobre computación automática (1ª ed.). Englewood Cliffs, Nueva Jersey, Estados Unidos: Prentice Hall . ISBN 0-13-322495-3.
12. William M. Kahan (24 de marzo de 2000). "Cálculo incorrecto del área y los ángulos de un triángulo con forma de aguja" (PDF) .
13. Benyi, Arpad, "Una fórmula tipo Heron para el triángulo", Mathematical Gazette 87, julio de 2003, 324–326.
14. Mitchell, Douglas W., "Una fórmula tipo Heron para el área recíproca de un triángulo", Mathematical Gazette 89, noviembre de 2005, 494.
15. Mitchell, Douglas W. (2009). "Una fórmula de área tipo Heron en términos de senos". Gaceta Matemática . 93 : 108-109. doi :10.1017/S002555720018430X. S2CID  132042882.
16. Kocik, Jerzy; Solecki, Andrzej (2009). «Desenredando un triángulo» (PDF) . Mensual Matemático Estadounidense . 116 (3): 228–237. doi :10.1080/00029890.2009.11920932. S2CID  28155804.
17. DP Robbins, "Áreas de polígonos inscritos en un círculo", Discr. Computadora. Geom. 12, 223-236, 1994.
18. W. Kahan, "¿Qué tiene que ver el volumen de un tetraedro con los lenguajes de programación informática?", [1], págs.
19. Alekseevskij, DV; Vinberg, EB; Solodovnikov, AS (1993). "Geometría de espacios de curvatura constante". En Gamkrelidze, RV; Vinberg, EB (eds.). Geometría. II: Espacios de curvatura constante . Encíclica. Matemáticas. Ciencia. vol. 29. Springer-Verlag. pag. 66.ISBN​ 1-56085-072-8.

enlaces externos

• Una prueba del teorema de Pitágoras a partir de la fórmula de Herón al cortar el nudo
• Subprograma interactivo y calculadora de área que utiliza la fórmula de Heron
• Discusión de J. H. Conway sobre la fórmula de Heron
• "Fórmula de Heron y generalización de Brahmagupta". MathPages.com .
• Una prueba geométrica de la fórmula de Heron
• Una prueba alternativa de la fórmula de Herón sin palabras
• Garza de factoraje