Leon Albert Henkin (19 de abril de 1921, Brooklyn, Nueva York - 1 de noviembre de 2006, Oakland, California ) fue un lógico estadounidense, cuyos trabajos desempeñaron un fuerte papel en el desarrollo de la lógica, particularmente en la teoría de tipos . Fue un académico activo en la Universidad de California , Berkeley, donde realizó grandes contribuciones como investigador, docente, así como en puestos administrativos. [1] En esta universidad dirigió, junto con Alfred Tarski , el Grupo en Lógica y Metodología de la Ciencia , [2] del cual surgieron muchos lógicos y filósofos importantes. Tenía un fuerte sentido de compromiso social y era un apasionado defensor de sus ideas pacifistas y progresistas. [2] Tomó parte en muchos proyectos sociales destinados a la enseñanza de las matemáticas, así como en proyectos destinados a apoyar a grupos de mujeres y minorías para seguir carreras en matemáticas y campos relacionados. Amante de la danza y la literatura, apreciaba la vida en todas sus facetas: el arte, la cultura, la ciencia y, sobre todo, la calidez de las relaciones humanas. [2] Es recordado por sus alumnos por su gran bondad, así como por su excelencia académica y docente. [3]
Henkin es conocido principalmente por sus pruebas de completitud de diversos sistemas formales , como la teoría de tipos y la lógica de primer orden (la completitud de esta última, en su versión débil, había sido demostrada por Kurt Gödel en 1929). [4] Para demostrar la completitud de la teoría de tipos, Henkin introduce una nueva semántica, no equivalente a la semántica estándar, basada en estructuras llamadas modelos generales (también conocidos como modelos de Henkin ). El cambio de semántica que propuso permite proporcionar un cálculo deductivo completo para la teoría de tipos y para la lógica de segundo orden , entre otras lógicas. Los métodos de Henkin han ayudado a demostrar varios resultados de la teoría de modelos , tanto en lógica clásica como no clásica . Además de la lógica, la otra rama en la que se centraron sus investigaciones fue el álgebra ; se especializó en álgebras cilíndricas , en las que trabajó junto con Tarski y Donald Monk. [5] En cuanto a la filosofía de las matemáticas, aunque son escasas las obras en las que la aborda explícitamente, se puede considerar que tiene una posición nominalista . [6]
Leon Albert Henkin nació el 19 de abril de 1921 en Brooklyn, Nueva York, en el seno de una familia judía que había emigrado de Rusia una generación antes. El primero de la familia en emigrar fue Abraham Henkin, el mayor de los hermanos del padre de Leon. [2] Según Leon, [7] su padre había estado extremadamente orgulloso de él desde que era apenas un niño. Sus altas expectativas eran evidentes en el nombre que le dio: eligió llamar a su hijo Albert después de una serie de artículos sobre la teoría de la relatividad de Einstein que el New York Times publicó poco antes del nacimiento de Henkin. Su familia simpatizaba con las ideas pacifistas y progresistas, y aunque no era religioso, tenía tradiciones judías profundamente arraigadas. Leon creció rodeado de estrechos lazos familiares; era muy cercano a sus primos, con quienes vivió durante su infancia en Brooklyn. [2]
Henkin estudió principalmente en escuelas públicas de la ciudad de Nueva York; asistió a la Lincoln High School, donde se graduó a los 16 años para ingresar a la Universidad de Columbia . Tanto en la universidad como en la escuela secundaria fue miembro de los equipos de ajedrez; siempre prefirió los juegos que involucraban pensamiento racional a los juegos de azar. [2] En los años de su educación secundaria, Henkin consideró convertirse en profesor de matemáticas y también llegó a desear convertirse en escritor (como expresó más tarde en una carta personal). [8] Aunque se dedicó a la vida académica universitaria, nunca abandonó su interés por la enseñanza de las matemáticas elementales, a la que luego contribuyó activamente.
En 1937 León entró en la Universidad de Columbia como estudiante de matemáticas. Fue durante su estancia en esta institución que desarrolló un interés por la lógica, que determinaría el curso de su carrera académica. Su primer contacto con la lógica fue a través del libro de B. Russell , " Misticismo y matemáticas ", que despertó su interés durante una visita a la biblioteca. [9] Este interés se incrementó y cultivó con algunos cursos. Aunque el departamento de matemáticas de la Universidad no ofrecía cursos de Lógica (éstos los ofrecía el departamento de Filosofía), León era uno de los pocos estudiantes de matemáticas interesados en esa disciplina y decidió asistir a ellos. [7] En el otoño de 1938, en su segundo año como estudiante de la Universidad de Columbia, participó en un primer curso de Lógica impartido por Ernest Nagel , quien había contribuido a la creación de la Asociación de Lógica Simbólica dos años antes. Este curso lo acercó al libro de Russell " Principios de las matemáticas ", donde se topó por primera vez con el axioma de elección ; La presentación de Russell le causó una fuerte impresión y lo llevó a explorar los Principia Mathematica que Russell escribió con Whitehead unos años más tarde. Le impresionaron las ideas generales de la teoría de tipos y el misterioso axioma de reducibilidad . [7] Tanto el axioma de elección como la teoría de tipos desempeñaron posteriormente un papel importante en su tesis doctoral.
Al año siguiente, en el semestre de otoño de 1939, Henkin tomó un segundo curso de Lógica con Nagel, en el que se abordaron sistemas formales de lógica proposicional y lógica de primer orden. Estos constituyeron su primera experiencia con el tratamiento matemático de sistemas deductivos. El curso no entró en resultados metalógicos que establecieran una relación entre la semántica y la sintáctica, y no se abordó en absoluto la cuestión de la completitud. [7] Sin embargo, Nagel propuso a Henkin como proyecto independiente la lectura de la prueba de la completitud de la lógica proposicional dada por Quine , que había aparecido unos meses antes en el Journal of Symbolic Logic . [10] Esta lectura fue altamente significativa para Henkin, no tanto por el contenido en sí, sino porque con ella descubrió que podía entender las investigaciones sobre lógica y matemáticas que se estaban llevando a cabo en ese momento. [7] Según Henkin, aunque logró seguir la demostración de Quine, no logró captar la idea de la prueba: " Simplemente noté que el objetivo del artículo era mostrar que cada tautología tenía una prueba formal en el sistema de axiomas presentado, y dediqué mi máximo esfuerzo a comprobar el razonamiento de Quine de que esto era así, sin reflexionar nunca sobre por qué el autor y el lector estaban haciendo este esfuerzo. Este objetivo estrictamente limitado también me impidió preguntarme cómo el autor pensaba unir los pasos de la prueba; el resultado fue que no logré captar 'la idea de la prueba', el ingrediente esencial necesario para el descubrimiento " . [7]
Justo antes de que Henkin comenzara su segundo año en Columbia, estalló la Segunda Guerra Mundial. Esto tuvo varias repercusiones en su vida. Una de ellas tuvo un efecto positivo en su educación. Días antes de que estallara la guerra, el matemático y lógico polaco Alfred Tarski había llegado a Harvard , por invitación de Quine, para dar una serie de conferencias sobre lógica. Con la invasión de Polonia por parte de Alemania, Tarski se encontró con la imposibilidad de regresar a Polonia y tuvo que permanecer en Estados Unidos. Tarski visitó varias ciudades dando conferencias sobre lógica. [11] Una de estas conferencias fue en Columbia, y Henkin, como el resto de los estudiantes de lógica, asistió a ella con gran entusiasmo. En ella Tarski habló del trabajo de Gödel sobre proposiciones indecidibles en la teoría de tipos y sobre la existencia de algoritmos de decisión para sistemas formales, un tema que Henkin encontró extremadamente estimulante. [7]
En su último año en Columbia, en 1941, el profesor F. J. Murray, sabiendo que Henkin era un estudiante de matemáticas interesado en la lógica, le propuso que revisaran juntos la monografía de Gödel recientemente publicada en Princeton sobre la consistencia del axioma de elección con la hipótesis generalizada del continuo . Aunque las reuniones que mantuvieron para discutirla fueron escasas y Leon acabó revisando dicha monografía prácticamente en solitario, la experiencia fue considerada por él como la más enriquecedora de su formación en Columbia. [7] Según Henkin, entonces empezaron a tomar forma algunas de las ideas que se convirtieron en el punto de partida de su tesis doctoral.
En 1940, Henkin decidió solicitar admisión a un programa de doctorado, sin tener totalmente definido qué camino seguir en su investigación. Fue aceptado en tres universidades, de las cuales eligió Princeton , ya que allí se encontraba el reconocido lógico Alonzo Church , aunque en ese momento Henkin desconocía su trabajo. [7]
Henkin comenzó sus estudios de posgrado en Princeton en 1941, bajo la dirección de Church. El programa de doctorado al que asistió consistía en dos años de cursos de matemáticas, después de los cuales debía realizar un examen oral de "calificación" para demostrar que estaba bien formado en al menos tres ramas de las matemáticas; con esto recibiría un título de maestría. Luego tendría otros dos años para escribir una disertación doctoral que contuviera investigación original, después de lo cual obtendría el título de doctor. [7]
Los dos primeros años tomó cursos de lógica -enseñados por Church-, análisis y topología general. En el primer curso de lógica con Church se estudiaron varios sistemas formales de lógica proposicional y lógica de primer orden; se revisaron algunas pruebas de completitud y se discutió parte de los teoremas de Löwenheim-Skolem, así como una presentación de la prueba de Gödel sobre la completitud de la lógica de primer orden. En el segundo se trató con gran detalle un sistema de Segundo Orden para la Aritmética de Peano , así como la incompletitud de esta teoría axiomática y la consecuente incompletitud de la lógica de segundo orden. [7]
En 1941 Estados Unidos entró en la Segunda Guerra Mundial, alterando los planes de Henkin. Tuvo que apresurar su examen oral de calificación, con el que obtuvo el grado de MA y abandonó Princeton para participar en el Proyecto Manhattan . Esta interrupción duraría cuatro años, durante los cuales aportó sus conocimientos matemáticos trabajando en problemas de radar y en el diseño de una planta para separar isótopos de uranio. [7] La mayor parte de su trabajo requería análisis numérico para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Durante este período, todos sus trabajos y lecturas sobre lógica quedaron completamente suspendidos. [7]
Una vez terminada la guerra, Henkin regresó a Princeton en 1946, donde todavía se le exigió que escribiera una disertación para completar sus estudios de doctorado. A su regreso se unió al curso de lógica que Church había comenzado un mes antes sobre la teoría de " sentido y referencia " de Frege . En este curso descubrió la teoría de tipos de Church, que le pareció extremadamente interesante. Las preguntas que se hizo sobre ella finalmente lo llevaron a dar su prueba de la completitud de la teoría de tipos, que fue capaz de adaptar para dar también una nueva prueba de la completitud de la lógica de primer orden. [7] Estos resultados, así como otros que surgieron de las mismas ideas, llegaron a formar parte de la disertación doctoral de Henkin, que se tituló " La completitud de los sistemas formales ", con la que se graduó en junio de 1947. La disertación en sí no se publicó, aunque partes de ella fueron reescritas y publicadas. [12] [13] [14] Muchos años después, Henkin escribió el artículo “ El descubrimiento de mis pruebas de completitud ”, [7] que contiene una revisión detallada del contenido de su tesis. Los procedimientos utilizados en ella se han convertido en métodos frecuentes de pruebas en varias ramas de la lógica.
Tras obtener su doctorado, Henkin pasó dos años más en Princeton trabajando en estudios postdoctorales. Durante este tiempo, en 1948, conoció a Ginette Potvin, durante un viaje a Montreal con su hermana Estelle y el estudiante de posgrado de matemáticas de Princeton Harold Kuhn . Ginette se convertiría en su esposa en 1950, medio año después de que Estelle se casara con Harold. Tras completar su segundo año de estudios postdoctorales en Princeton en 1949, Leon regresó a California, donde ingresó en el departamento de matemáticas de la Universidad del Sur de California . Allí ocupó el puesto de profesor asistente hasta 1953.
En 1952 Tarski había conseguido un puesto permanente en Berkeley para Henkin, pero éste no quería aceptarlo, pues simpatizaba con las protestas que habían suscitado recientemente el controvertido juramento de lealtad que se exigía a los profesores universitarios desde 1950. [15] Una vez que desapareció el requisito del juramento, Henkin aceptó la oferta de Tarski y se instaló en Berkeley en 1953.
A partir de 1953, la mayor parte de la actividad académica de Henkin giró en torno a Berkeley, donde colaboró con un sólido grupo de investigación en lógica. Allí permaneció durante casi toda su vida académica, salvo algunos períodos en los que viajó al exterior con becas y ayudas de diversos institutos, como la estancia de un año que realizó en Ámsterdam o la que realizó en Israel con las becas Fulbright de investigación que le fueron concedidas (en 1954 y 1979 respectivamente). [16]
Henkin siempre estuvo agradecido a Tarski, ya que gracias a él pudo establecerse en Berkeley. Después de la muerte de Tarski en 1983, escribió en una carta personal: “Le escribo para decirle que Alfred Tarski, quien llegó a Berkeley en 1942 y fundó nuestro gran Centro para el Estudio de la Lógica y los Fundamentos, murió el miércoles por la noche, a los 82 años [...]. Fue él quien me trajo a Berkeley en 1953, por lo que le debo mucho tanto a nivel personal como científico”. [17]
Tarski no sólo ofreció a Henkin una oportunidad laboral, sino que además le proporcionó un ambiente colaborativo interdisciplinario muy fértil para el desarrollo de la Lógica. Tarski había fundado el Centro para el Estudio de la Lógica y los Fundamentos en Berkeley, pero con la ayuda de Henkin pudo reunir a un grupo de lógicos, matemáticos y filósofos que formaron el Grupo en Lógica y la Metodología de la Ciencia , [2] que sigue activo hoy en día. [18] Como parte de este proyecto crearon un programa de posgrado interdisciplinario que culminaba con un doctorado. Tarski y Henkin impulsaron el proyecto organizando importantes congresos y conferencias sobre Lógica, siguiendo la concepción de Tarski de "la lógica como base común para todo el conocimiento humano". [19] [18] La intensa actividad que tuvo lugar en Berkeley en los años 1950 y 1960 sobre metalógica se debió en gran medida a la actividad de Tarski y Henkin, tanto en docencia como en investigación. Muchos de los resultados que hoy son cruciales para la teoría de modelos surgieron como resultado de la actividad académica que tuvo lugar en Berkeley en aquellos años.
Entre los viajes de investigación que Henkin realizó a lo largo de los años se encuentran sus visitas a universidades de Hanover, Princeton, Colorado, así como a varias universidades europeas, como Oxford (en el Reino Unido), y otras en Yugoslavia, España, Portugal y Francia. En 1979, con su segunda beca Fulbright, Henkin pasó un año en Israel, en Haifa, en el Departamento de Educación Científica de la Universidad Technion. [2] En esta ocasión también visitó dos universidades de Egipto. En 1982 visitó por primera vez España. Dio conferencias en varias universidades, incluidas las de Barcelona, Madrid y Sevilla. [2]
Henkin tuvo un papel activo en la investigación y la docencia, pero sus actividades en la universidad fueron mucho más allá. Además de la dedicación que puso en su docencia así como en la dirección del Grupo de Lógica y Metodología de la Ciencia , ocupó algunos puestos administrativos; fue director del Departamento de Matemáticas de 1966 a 1968, y posteriormente de 1983 a 1985. [2] Una de las actividades a las que dedicó más energía fue la enseñanza de las matemáticas, sobre la que también realizó algunas investigaciones. [20]
En algunas ocasiones Henkin acudía a las escuelas de sus hijos para hablar a los niños de primaria sobre matemáticas, hablándoles de “ los números negativos ” o de “ cómo restar mediante la adición ”. Por esa época (alrededor de 1960), Henkin empezó a alternar su trabajo de investigación en matemáticas con el trabajo de investigación en la enseñanza de las matemáticas; este último trabajo se hizo cada vez más frecuente. [2]
En 1991 se le concedió el título de Profesor Emérito de la Universidad de Berkeley y se jubiló.
Después de jubilarse, Henkin continuó trabajando en proyectos de enseñanza de matemáticas. A partir de 1991, participó en un programa de cursos de verano en Mills College destinado a brindar educación en matemáticas a mujeres talentosas de todo el país para prepararlas para la universidad. Finalmente, Ginette y Henkin se mudaron a Oakland, donde Henkin murió unos años después, en noviembre de 2006. [2]
Siempre amable con sus alumnos y compañeros, a quienes invitaba frecuentemente a su casa para disfrutar de veladas con Ginette, se le recuerda como un brillante investigador, un profesor comprometido con su disciplina y una persona solidaria con su comunidad. [21]
Una de las frases que mejor capta el sentimiento expresado en diversos testimonios de sus alumnos es la de Douglas Hofstadter : “Me siento muy afortunado de haber sido su alumno de posgrado, ya que aprendí de él mucho más que lógica. Es su humanidad la que conquistó mi corazón. Siempre deseo no ser menos amable con mis estudiantes de posgrado y no menos ansioso por seguir su crecimiento profesional después de la graduación de lo que él lo fue conmigo”. [22]
El trabajo de Henkin sobre álgebra se centró en las álgebras cilíndricas , un tema que investigó junto con Alfred Tarski y Donald Monk. [23] El álgebra cilíndrica proporciona estructuras que son a la lógica de primer orden lo que el álgebra de Boole es a la lógica proposicional. [5] [24] Uno de los propósitos de Henkin y Tarski al promover la lógica algebraica era atraer el interés de los matemáticos hacia la lógica, [25] convencidos como estaban de que la lógica podía proporcionar principios unificadores a las matemáticas: [2] "De hecho, iríamos tan lejos como para aventurar una predicción de que a través de la investigación lógica pueden surgir importantes principios unificadores que ayudarán a dar coherencia a una matemática que a veces parece en peligro de volverse infinitamente divisible". [26]
Según Monk, [5] la investigación de Henkin sobre el álgebra cilíndrica se puede dividir en las siguientes partes: Teoría algebraica, Teoría de conjuntos algebraicos, Teoremas de representación, Construcciones algebraicas no representables y Aplicaciones a la lógica. [5]
En 1949 se publicó “ The completeness of the first order functional calculus ” [12] , así como “ Completitud en la teoría de tipos ” [27] en 1950. Ambos presentaron parte de los resultados expuestos en la disertación “ The completeness of formal systems ” con la que Henkin recibió su doctorado en Princeton en 1947. Uno de los resultados más conocidos de Henkin es el de la completitud de la lógica de primer orden, publicado en el artículo de 1949 antes mencionado, que aparece como el primer teorema de la disertación de 1947. En él se afirma lo siguiente:
Cualquier conjunto de oraciones formalmente consistentes en el sistema deductivo de es satisfacible mediante una estructura numerable .
Este teorema se denomina hoy en día "teorema de completitud", ya que de él se deduce fácilmente lo siguiente:
Si es un conjunto de oraciones de y es consecuencia semántica de , entonces es deducible de .
Esta es la versión fuerte del teorema de completitud, de la que se obtiene como corolario la versión débil. Esta última enuncia el resultado para el caso particular en el que es el conjunto vacío, es decir, el cálculo deductivo de la lógica de primer orden es capaz de derivar todas las fórmulas válidas. La versión débil, conocida como teorema de completitud de Gödel , había sido demostrada por Gödel en 1929, en su propia tesis doctoral. La demostración de Henkin es más general, más accesible que la de Gödel y más fácilmente generalizable a lenguajes de cualquier cardinalidad. Aborda la completitud desde una perspectiva nueva y fructífera [28] y su mayor cualidad es quizás que su demostración puede adaptarse fácilmente para demostrar la completitud de otros sistemas deductivos. Otros resultados centrales para la teoría de modelos se obtienen como corolarios de la completitud fuerte de la lógica de primer orden demostrada por Henkin. De ella se sigue, por ejemplo, el siguiente resultado para un lenguaje de primer orden :
Todo conjunto de fórmulas bien formadas que es satisfacible en una −estructura es satisfacible en una estructura numerable infinita.
Este resultado se conoce como el teorema de Löwenheim-Skolem "hacia abajo". Otro resultado obtenido a partir del teorema de completitud es:
Un conjunto de fórmulas bien formadas tiene un modelo si y sólo si cada subconjunto finito del mismo tiene un modelo.
Este último se conoce como el " teorema de compacidad " de la lógica de primer orden, que también puede expresarse como: "Cualquier conjunto de fórmulas bien formadas de que sea finitamente satisfacible es satisfacible". [29] Es decir, si para cada uno de los subconjuntos finitos de existe una estructura en la que todas sus fórmulas son verdaderas, entonces también existe una estructura en la que todas las fórmulas de son verdaderas. Se le conoce como "teorema de compacidad" porque corresponde a la compacidad de un determinado espacio topológico, definido a partir de nociones semánticas. [30]
Entre los otros teoremas de completitud dados por Henkin, el más relevante es quizás el de la completitud de la Teoría de Tipos de Church, que es el primero de los teoremas de completitud que Henkin demostró. Luego, adaptó el método desarrollado en esa prueba para probar la completitud de otros sistemas deductivos. Este método ha seguido utilizándose para dar pruebas de completitud tanto en lógica clásica como no clásica, y se ha convertido en la prueba de completitud habitual para la lógica de primer orden en los libros de texto de lógica. Cuando Henkin publicó este resultado en 1949, la completitud ni siquiera formaba parte de los temas canónicos cubiertos por los libros de texto; unos veinte años después, este teorema, junto con su prueba y corolarios, formaba parte de prácticamente todos los libros de texto de lógica. [31] En cuanto a las lógicas no clásicas, el método de Henkin puede utilizarse, entre otras cosas, para extender la completitud de la lógica difusa desde el primer orden a un orden superior, produciendo una Teoría de Tipos Difusos completa; [32] También ofrece una manera de obtener resultados que vinculan la lógica clásica con la lógica intuicionista ; [33] y permite probar resultados de completitud en otras lógicas no clásicas, como en los casos de la teoría de tipos híbridos [34] y la teoría de tipos proposicionales híbridos ecuacionales. [35]
A pesar de ser uno de sus resultados más conocidos, Henkin llegó a la prueba de la completitud de la lógica de primer orden "accidentalmente", tratando de demostrar un resultado completamente diferente. [7] El orden de publicación de sus artículos e incluso el orden de presentación de los teoremas en su tesis de 1947 no reflejan la evolución que siguieron las ideas que lo llevaron a sus resultados de completitud. [36] Sin embargo, Henkin simplifica la difícil tarea de rastrear el desarrollo y la conformación de sus ideas en su artículo " El descubrimiento de mis pruebas de completitud ", [7] publicado en 1996. En él, describe el proceso de desarrollo de su tesis. No solo explica el contenido de su trabajo, sino que también explica las ideas que lo llevaron a él, desde sus primeros cursos de lógica en la universidad hasta el final de la redacción de su tesis. [37]
Al finalizar la guerra, Henkin regresó a Princeton para completar sus estudios de doctorado, para los que aún tenía que escribir una tesis que contuviera una investigación original. Nada más llegar a Princeton, asistió al curso de lógica de Church que había comenzado un mes antes, que trataba sobre la teoría de Frege del "sentido y la referencia". Motivado por las ideas de Frege, Church quería ponerlas en práctica mediante una teoría axiomática formal. Para ello, tomó la sencilla Teoría de tipos que había publicado unos años antes, y la dotó de una jerarquía de tipos, inspirada en la idea de "sentido" expuesta por Frege. Fue en este curso donde Henkin conoció la Teoría de tipos de Church, que le resultó de gran interés. Inmediatamente formuló una conjetura sobre ella, cuya prueba esperaba que pudiera convertirse en su tesis doctoral.
Uno de los atributos que atrajo la atención de Henkin hacia la Teoría de Tipos de Church fue que el operador - permitía nombrar muchos objetos en la jerarquía de tipos. Como explica en " El descubrimiento de mis pruebas de completitud ", se propuso averiguar qué elementos tenían nombres en esta teoría. Comenzó explorando los elementos que se nombraban en los dos dominios en la base de la jerarquía de tipos. Tomó como universo de individuos, y añadió una constante para cada uno el número y la función sucesora , de modo que cada elemento en el dominio se nombraba a partir de y las ocurrencias repetidas de . Subiendo por la jerarquía, intentó especificar qué funciones sobre esos elementos eran nombrables. El conjunto de ellas era supernumerable, por lo que tenía que haber algunas sin nombre, ya que solo hay un número numerable de expresiones. ¿Cómo podría decirse qué elementos eran los nombrables? Para hacer que cada expresión se correspondiera con el elemento que denotaba, necesitaba una función de elección , en cuya búsqueda Henkin invirtió muchos esfuerzos. Finalmente, se dio cuenta de que mediante el cálculo deductivo podía formar clases de equivalencia de expresiones cuya igualdad podía derivarse mediante el cálculo, y formar con estas clases un modelo isomorfo a la nueva jerarquía de tipos formada por los elementos nombrados. Se había centrado en las interpretaciones del lenguaje formal, cuando la clave para resolver el problema residía en el sistema deductivo. Faltaba hacer del universo de los objetos nombrados por las proposiciones un conjunto de dos elementos: los valores de verdad. Esto podía lograrse ampliando los axiomas para formar un conjunto máximamente consistente. Una vez logrado esto, podía demostrarse que todo conjunto consistente de fórmulas tiene un modelo que satisface exactamente las fórmulas de –los elementos de dicho modelo son las clases de equivalencia de las propias expresiones–. Es decir, habría logrado dar una prueba de la completitud del cálculo deductivo. [6]
El mismo método utilizado para demostrar la completitud de la teoría de tipos de Church podría adaptarse fácilmente para proporcionar una prueba de completitud (fuerte) de la lógica de primer orden y de otras que siguieron posteriormente. Las ideas sobre los elementos nombrables en la jerarquía de tipos que subyacen al descubrimiento de las pruebas de completitud de Henkin condujeron a la introducción exitosa de una nueva semántica, llamada semántica general , que se basa en modelos generales (o modelos de Henkin).
El método de Henkin para dar las pruebas de completitud consiste en construir un modelo determinado: se parte de un conjunto de fórmulas , de las que se supone la consistencia. A continuación se construye un modelo que satisface exactamente las fórmulas de . La idea de Henkin para construir un modelo adecuado se basa en obtener una descripción suficientemente detallada de dicho modelo utilizando las oraciones del lenguaje formal, y establecer qué objetos podrían ser los elementos de dicho modelo. Si se supiera, para cada fórmula del lenguaje de , si debe ser satisfecha o no por el modelo, tendríamos una descripción completa del modelo que permitiría su construcción. Esto es exactamente lo que se busca: un conjunto de oraciones que contengan para las que se cumpla que cada oración del lenguaje o su negación pertenece a Gamma. En el caso de la lógica de primer orden se requiere una cosa más: que el conjunto esté ejemplificado, esto es, para toda fórmula existencial hay una constante que actúa como testigo de ella. Por otra parte, como la naturaleza de los objetos que componen el universo del modelo es irrelevante, no surge ninguna objeción a tomar como individuos los términos del lenguaje mismo –o clases de equivalencia de ellos–.
El primer paso que hay que dar es extender el lenguaje añadiendo una colección infinita de nuevas constantes individuales, y luego ordenar las fórmulas del lenguaje (que son infinitas). Una vez hecho esto, se trata de construir inductivamente una cadena infinita de conjuntos consistentes y ejemplificados: se parte de , añadiendo sistemáticamente a este conjunto toda fórmula que no haga inconsistente al conjunto resultante, añadiendo además ejemplificaciones de las fórmulas existenciales. Se construye así una cadena infinita de conjuntos consistentes y ejemplificados, cuya unión es un conjunto máximamente consistente y ejemplificado; éste será el conjunto buscado .
Una vez conseguido construir este conjunto máximamente consistente y ejemplificado, se puede construir el modelo que describe. ¿Qué individuos constituyen el universo del modelo? En el caso de la lógica de primer orden sin igualdad, los elementos del dominio serán los términos del lenguaje formal. Para construir las funciones y relaciones del modelo seguimos a rajatabla lo que dicta: si el lenguaje contiene un -relator , su interpretación en el modelo será una relación formada por todas las -tuplas de términos del universo del modelo tales que la fórmula que dice que están relacionados pertenece a . Si el lenguaje incluye igualdad, el dominio del modelo son en cambio las clases de equivalencia de los términos del lenguaje. La relación de equivalencia se establece mediante las fórmulas del conjunto máximamente consistente: dos términos son iguales si hay en una fórmula que diga que lo son.
Resumiendo, la demostración en el caso de un lenguaje numerable tiene dos partes: [6]
La simple Teoría de Tipos, con el cálculo y la semántica estándar es suficientemente rica para expresar la aritmética categóricamente, de donde se sigue, por el teorema de incompletitud de Gödel , que es incompleta. Siguiendo la idea de identificar los elementos nombrables en la jerarquía de tipos, Henkin propuso un cambio en la interpretación del lenguaje, aceptando como jerarquías de tipos algunas que antes no se admitían. Si se pedía de cada nivel de la jerarquía no que tengan que estar todas las funciones correspondientes, sino sólo aquellas que sean definibles, entonces se obtenía una nueva semántica, y con ella una nueva lógica. [38] La semántica resultante se conoce como semántica general. En ella las estructuras que son admisibles como modelos son las conocidas como 'modelos generales'. [39] Éstos pueden ser utilizados no sólo en Teoría de Tipos, sino también, por ejemplo, para obtener lógicas completas (y compactas) de orden superior .
La obtención de lógicas completas de orden superior mediante el uso de la semántica general cumple con el esperado equilibrio entre el poder expresivo de una lógica y el poder de su cálculo deductivo. En la lógica de segundo orden con semántica estándar se sabe que cuantificar sobre variables predicativas le da al lenguaje un inmenso poder expresivo, a cambio de lo cual se pierde el poder del cálculo deductivo: este último no es suficiente para producir el extenso conjunto de fórmulas válidas de esta lógica (con semántica estándar). Cambiar el cálculo no resuelve nada, ya que el teorema de incompletitud de Gödel asegura que ningún cálculo deductivo podría lograr la completitud. Por el contrario, cambiando la semántica, es decir, cambiando los conjuntos que forman los universos en los que se interpretan las variables y constantes predicativas, la lógica resulta completa, a costa de perder capacidad expresiva. [40]
En la lógica de segundo orden el conjunto de fórmulas válidas es tan grande porque el concepto de estructura estándar es demasiado restrictivo y no hay suficientes para encontrar modelos que refuten las fórmulas. [41] Al relajar las condiciones que pedimos a las estructuras sobre las que se interpreta el lenguaje, hay más modelos en los que las fórmulas deben ser verdaderas para ser válidas y por tanto el conjunto de fórmulas válidas se reduce; lo hace de tal manera que coincide con el conjunto producido por un cálculo deductivo, dando lugar a la completitud. [42]
Uno de los campos en los que las bases sentadas por el trabajo de Henkin han resultado fructíferas es en la búsqueda de una lógica que funcione como marco común de traducción entre lógicas. Este marco pretende ser utilizado como una herramienta metalógica; su propósito no es elegir “una lógica” por sobre las demás, lo que suprimiría la riqueza que proporciona la diversidad de ellas, sino proporcionar el contexto adecuado para contrastarlas, comprenderlas y así aprovechar al máximo las cualidades de cada una. [42]
Una investigación que lleva las ideas de Henkin en esta dirección es la de María Manzano, una de sus estudiantes, cuya propuesta es utilizar la Lógica de Muchos Ordenes como un marco común para la traducción de lógicas. [42] Los objetivos de esta propuesta se pueden sintetizar en dos: 1) utilizar un único cálculo deductivo para todas ellas; y 2) utilizar las metapropiedades de la Lógica de Muchos Ordenes para poder probar más fácilmente metapropiedades de otras lógicas. Además, disponer de un marco lógico es útil para comparar diferentes lógicas mediante la comparación de las teorías que las representan. [42] Aunque Henkin no habla de traducción de fórmulas, ni tampoco hace explícito un Lenguaje de Muchos Ordenes o un cálculo, las ideas que utiliza en dos de sus artículos sirven de base para la aproximación a la traducción: [43] “ Completitud en la teoría de tipos ” [44] y “ Desterrando la regla de sustitución para variables funcionales ”. [45]
El tema de la inducción matemática fue abordado frecuentemente en las actividades de Henkin en la docencia. Probablemente su experiencia en este campo fue fruto de su artículo “ Sobre la inducción matemática ”. [46] Este era el artículo favorito de Henkin, del que incluso escribió que lo consideraba su mejor artículo expositivo. [47] En él definía los Modelos de Peano como aquellos que cumplen los tres Axiomas de Segundo Orden de Peano y los Modelos de Inducción como aquellos que satisfacen el tercero de ellos: el axioma de inducción. Demostró que si bien en los modelos de Peano se pueden introducir todas las operaciones recursivas, esto no es así en los Modelos de Inducción. Concretamente, hay Modelos de Inducción en los que no se puede definir la operación de exponenciación. [46] En este artículo, Henkin también presenta la estructura matemática que pueden tener los Modelos de Inducción, la cual es bastante sencilla: pueden ser o bien el modelo estándar, es decir, isomorfos a los números naturales, o bien de dos maneras más; isomorfos a los ciclos –que corresponden al módulo de los números enteros- ; o isomorfo a lo que Henkin llamó "cucharas", que es una combinación de una lista finita seguida de un ciclo. [46] [42]
De los artículos publicados por Henkin, el más filosófico es “ Algunas notas sobre el nominalismo ”, [48] que escribió en respuesta a dos artículos sobre el nominalismo, [16] uno de Quine y el otro escrito conjuntamente por Quine y Goodman. Las discusiones pertinentes a esta doctrina filosófica surgen naturalmente en las pruebas de completitud dadas por Henkin, así como en su propuesta de un cambio en la semántica a través de modelos generales. Tanto del contenido de sus obras como de sus propias afirmaciones se considera que su posición era nominalista. [6]
La actividad de Henkin como profesor universitario fue vigorosa. Impartió docencia en todos los niveles, poniendo el mismo cuidado y dedicación en cada uno de ellos. Algunos de los cursos que impartió estaban directamente relacionados con su área de investigación, como “ Lógica matemática ”, “ Metamatemática ” o “ Álgebra cilíndrica ”, pero otros se extendieron a una gran diversidad de áreas, incluyendo, entre otros, “ Fundamentos de geometría ”, “ Álgebra y trigonometría ”, “ Matemáticas finitas ”, “ Cálculo con geometría analítica ” o “ Conceptos matemáticos para profesores de primaria ”. [16] Sus alumnos coinciden en que sus explicaciones eran extremadamente claras y atrapaban la atención del oyente. [49] En palabras de uno de sus alumnos, “ parte de su magia era su elegante expresión de las matemáticas, pero también se esforzaba por enganchar a su audiencia a conjeturar y ver el siguiente paso o a sorprenderse por él. Ciertamente captaba el interés de sus audiencias ”. [50]
Uno de los aspectos de sus clases en los que puso especial cuidado fue en encontrar un ritmo adecuado, enfrentándose al dilema constante de cómo encontrar la velocidad óptima para el aprendizaje. Consideraba importante que los estudiantes pudieran seguir el ritmo de la clase, incluso si esto significaba que algunos la encontrarían lenta –podían continuar a su propio ritmo con las lecturas–. [2] Sin embargo, también consideraba que lo que se aprendía fácilmente se olvidaba fácilmente, por lo que buscaba un equilibrio entre hacer sus clases accesibles y desafiantes para los estudiantes, de modo que estos hicieran el esfuerzo de aprender más profundamente. [49] Sobre su propia experiencia como estudiante, comentó en una entrevista: “ Esa manera fácil en que llegaban las ideas hacía que fuera demasiado fácil olvidarlas. Probablemente aprendí material más densamente condensado en lo que llamábamos el 'seminario para bebés en topología conjuntiva', dirigido por Arthure Stone. Aprendí más porque nos obligaba a hacer todo el trabajo ” . [51]
Además de sus cursos y la supervisión de estudiantes de posgrado, el papel de Henkin en la educación de los académicos fue significativo. Tarski lo había invitado a Berkeley con un propósito claro. Como matemático, Henkin tuvo un papel clave en el proyecto de Tarski de hacer de Berkeley un centro de desarrollo de la lógica, [52] reuniendo a matemáticos, lógicos y filósofos. Henkin lo ayudó a llevar a cabo el proyecto, ayudándolo en la creación del Grupo interdisciplinario en Lógica y Metodología de la Ciencia , cuyo exitoso desempeño se debió en gran medida al impulso de Henkin. [2] Parte de este proyecto fue la creación de un programa universitario interdisciplinario que culminó con un doctorado en " Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia ". También colaboró en la organización de importantes reuniones y conferencias que promovieron la colaboración interdisciplinaria unida por la lógica. [52] El resultado fue que en las décadas de 1950 y 1960 hubo un vibrante desarrollo de la lógica en Berkeley, del cual surgieron muchos avances en la Teoría de Modelos.
Aunque el primer contacto de Henkin con la enseñanza de las matemáticas fue como profesor, más adelante en su vida comenzó a investigar también en el ámbito de la enseñanza de las matemáticas. Algunos de sus escritos en este campo son: “ Retracing Elementary Mathematics ”, [53] “ New directions in secondary school mathematics ” [54] o “ The role of action and of thought in mathematics education ”. [55] A partir de 1979 puso especial énfasis en esta faceta de su investigación [2] y las últimas tesis doctorales que dirigió están relacionadas con la enseñanza de las matemáticas o la integración de grupos minoritarios en la investigación. [16]
A Henkin le gustaba escribir artículos expositivos, [56] por algunos de los cuales recibió premios como el Premio Chauvenet (1964), [57] por el artículo " ¿Son idénticas la lógica y las matemáticas? " [9] o el Premio Lester R. Ford, [16] por el artículo " Fundamentos matemáticos de las matemáticas ". [58]
A lo largo de su vida, Leon Henkin mostró un profundo compromiso con la sociedad y a menudo fue llamado activista social. [16] Muchos de sus proyectos de enseñanza de las matemáticas buscaban acercar a los grupos minoritarios o socialmente desfavorecidos a las matemáticas y áreas afines. [59] Era consciente de que somos parte de la historia y del contexto que nos rodea, como lo registra uno de sus escritos:
" Las olas de la historia inundan nuestra nación, agitando nuestra sociedad y nuestras instituciones. Pronto vemos cambios en la manera en que todos hacemos las cosas, incluyendo nuestras matemáticas y nuestra enseñanza. Estos cambios se forman en riachuelos y corrientes que se fusionan en diversos ángulos con los que surgen en partes de nuestra sociedad muy diferentes de la educación, las matemáticas o la ciencia. Se forman ríos, que contribuyen a corrientes poderosas que producirán futuras olas de historia. La Gran Depresión y la Segunda Guerra Mundial formaron el trasfondo de mis años de estudio; la Guerra Fría y el Movimiento por los Derechos Civiles fueron el telón de fondo en el que comencé mi carrera como matemático investigador, y más tarde comencé a involucrarme con la educación matemática ". [60]
Henkin estaba convencido de que se podían lograr cambios a través de la educación y, fiel a su idea, se comprometió tanto con programas de educación matemática elemental como con programas cuyo objetivo era combatir la exclusión. [61] Mostró un compromiso político con la sociedad, defendiendo ideas progresistas. Inspiró a muchos de sus estudiantes a involucrarse en la educación matemática. [2] Diane Resek, una de sus estudiantes con afinidad por la enseñanza, lo describió de la siguiente manera:
" León se comprometió a trabajar por la equidad en la sociedad. Pudo ver que los matemáticos profesionales podían marcar una diferencia, particularmente en lo que respecta a las desigualdades raciales en los Estados Unidos. Fue una de las primeras personas en decir que una cosa que frenaba a las minorías raciales y a la gente más pobre en los Estados Unidos era su baja tasa de participación en carreras de matemáticas y ciencias. Creía que había formas de enseñar y nuevos programas que podían corregir este problema " . [62]
Consciente de los aportes que los matemáticos podrían hacer a través de la docencia, Henkin defendió que la enseñanza debería ser valorada en el ambiente académico, como expresó en una carta personal: " En estos tiempos en que nuestros doctores en matemáticas formados tradicionalmente están encontrando dificultades en el mercado, me parece que nosotros, en la facultad, deberíamos buscar particularmente nuevos ámbitos en los que la formación en matemáticas pueda hacer una contribución sustancial a los objetivos básicos de la sociedad " . [63]
Algunos de los proyectos sociales que formó o en los que participó son los siguientes. [2] Entre 1957 y 1959 formó parte de los Institutos de Verano, dirigidos a profesores de matemáticas y dedicados a mejorar la educación secundaria y universitaria. En 1958 la National Science Foundation autorizó al comité de la American Mathematical Society –que se había interesado desde hacía algunos años en el uso de películas y material visual para la educación matemática– a producir películas experimentales para este fin, acompañadas de manuales impresos con apéndices que profundizaran en los contenidos y problemas a resolver. Henkin participó en este proyecto con una película sobre inducción matemática, cuyo manual complementario fue impreso por la American Mathematical Society. [64] La película fue transmitida en la serie « Matemáticas hoy ». Entre 1961 y 1964, participó en una serie de cursos para maestros de escuela primaria, organizados por el Comité del Programa de Licenciatura en Matemáticas. También en esa época promovió la iniciativa Actividades para Ampliar las Oportunidades, que buscaba brindar oportunidades a estudiantes prometedores de grupos étnicos minoritarios ofreciéndoles cursos de verano y becas. Participó en el programa SEED (Educación Elemental Especial para los Desfavorecidos), que alentaba a los estudiantes universitarios a participar en la educación primaria, así como en SESAME (Excelencia Especial en Educación en Ciencias y Matemáticas), el programa de doctorado interdisciplinario creado por miembros de varios departamentos de ciencias, cuyo propósito era investigar la enseñanza y el aprendizaje de las ciencias, la ingeniería y las matemáticas. Entre 1960 y 1968 participó en una serie de conferencias en escuelas de matemáticas, y se involucró en el desarrollo de varias películas producidas por el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM). Estas películas trataban temas como el sistema de números enteros y el sistema de números racionales. También participó en cursos de apoyo para estudiantes de cálculo femenino y convenció al departamento de matemáticas para que permitiera a los estudiantes de posgrado recibir el mismo apoyo financiero para trabajar como maestros de escuela primaria que para trabajar como maestros asistentes en la universidad. [49] " No sólo creía en la igualdad, sino que también trabajó activamente para lograrla ." [65]
