Pendiente hawaiano

Espacio topológico definido por la unión de círculos

El pendiente hawaiano. Se muestran solo los diez círculos más grandes.

En matemáticas , el pendiente hawaiano es el espacio topológico definido por la unión de círculos en el plano euclidiano con centro y radio para dotado de la topología de subespacio : ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{n}},0\right)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

$${\displaystyle \mathbb {H} =\bigcup _{n=1}^{\infty }\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \left(x-{\frac {1}{n}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {1}{n}}\right)^{2}\right\}.}$$

El espacio es homeomorfo a la compactificación de un punto de la unión de una familia contable de intervalos abiertos disjuntos . ${\displaystyle \mathbb {H} }$

El pendiente hawaiano es un espacio metrizable unidimensional , compacto y conexo por trayectorias localmente . Aunque es localmente homeomorfo en todos los puntos que no son de origen, no está semilocalmente conexo en . Por lo tanto, no tiene un espacio de cobertura conexo simple y generalmente se da como el ejemplo más simple de un espacio con esta complicación. ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

El pendiente hawaiano se parece mucho a la suma en cuña de un número infinito de círculos numerables; es decir, la rosa con un número infinito de pétalos, pero estos dos espacios no son homeomorfos. La diferencia entre sus topologías se ve en el hecho de que, en el pendiente hawaiano, cada vecindario abierto del punto de intersección de los círculos contiene todos los círculos, excepto un número finito (una ε -bola alrededor de (0, 0) contiene cada círculo cuyo radio es menor que ε /2 ); en la rosa, un vecindario del punto de intersección podría no contener completamente ninguno de los círculos. Además, la rosa no es compacta: el complemento del punto distinguido es una unión infinita de intervalos abiertos; a estos, agrégueles un pequeño vecindario abierto del punto distinguido para obtener una cubierta abierta sin subcubierta finita.

Grupo fundamental

El pendiente hawaiano no está ni simplemente conectado ni semilocalmente simplemente conectado ya que, para todos los bucles que parametrizan el círculo n -ésimo no es homotópico a un bucle trivial. Por lo tanto, tiene un grupo fundamental no trivial a veces denominado grupo del pendiente hawaiano . El grupo del pendiente hawaiano es incontable y no es un grupo libre. Sin embargo, es localmente libre en el sentido de que cada subgrupo finitamente generado de es libre. ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle \ell _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$  ${\displaystyle G=\pi _{1}(\mathbb {H} ,(0,0)),}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Las clases de homotopía de los bucles individuales generan el grupo libre en un número infinito numerable de generadores, que forma un subgrupo propio de . Los otros elementos incontables de surgen de bucles cuya imagen no está contenida en un número finito de círculos del pendiente hawaiano; de hecho, algunos de ellos son sobreyectivos. Por ejemplo, el camino que en el intervalo circunnavega el círculo n º. De manera más general, se pueden formar productos infinitos de los bucles indexados sobre cualquier orden lineal numerable siempre que para cada , el bucle y su inverso aparezcan dentro del producto solo un número finito de veces. ${\displaystyle \ell _{n}}$ ${\displaystyle \langle [\ell _{n}]\mid n\geq 1\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [2^{-n},2^{-n+1}]}$ ${\displaystyle \ell _{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \ell _{n}}$

Es un resultado de John Morgan e Ian Morrison que se incorpora al límite inverso de los grupos libres con n generadores, , donde la función de enlace de a simplemente elimina el último generador de . Sin embargo, es un subgrupo propio del límite inverso ya que cada bucle en puede atravesar cada círculo de solo un número finito de veces. Un ejemplo de un elemento del límite inverso que no corresponde a un elemento de es un producto infinito de conmutadores , que aparece formalmente como la secuencia en el límite inverso . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varprojlim F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n-1}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle G}$ ${\textstyle \prod _{n=2}^{\infty }[\ell _{1}\ell _{n}\ell _{1}^{-1}\ell _{n}^{-1}]}$ ${\displaystyle \left(1,[\ell _{1}][\ell _{2}][\ell _{1}]^{-1}[\ell _{2}]^{-1},[\ell _{1}][\ell _{2}][\ell _{1}]^{-1}[\ell _{2}]^{-1}[\ell _{1}][\ell _{3}][\ell _{1}]^{-1}[\ell _{3}]^{-1},\dots \right)}$ ${\displaystyle \varprojlim F_{n}}$

Primera homología singular

Katsuya Eda y Kazuhiro Kawamura demostraron que la abelianización de y, por lo tanto, el primer grupo de homología singular es isomorfo al grupo ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H_{1}(\mathbb {H} )}$

$${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} \right)\oplus \left(\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} {\Big /}\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} \right).}$$

El primer sumando es el producto directo de infinitas copias del grupo cíclico infinito (el grupo de Baer-Specker ). Este factor representa las clases de homología singulares de bucles que no tienen número de vueltas alrededor de cada círculo de y es precisamente el primer grupo de homología singular de Cech . Además, puede considerarse como la abelianización infinita de , ya que cada elemento en el núcleo del homomorfismo natural está representado por un producto infinito de conmutadores. El segundo sumando de consiste en clases de homología representadas por bucles cuyo número de vueltas alrededor de cada círculo de es cero, es decir, el núcleo del homomorfismo natural . La existencia del isomorfismo con se demuestra de forma abstracta utilizando la teoría de grupos abelianos infinitos y no tiene una interpretación geométrica. ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle {\check {H}}_{1}(\mathbb {H} )}$ ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle G}$ ${\textstyle G\to \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H_{1}(\mathbb {H} )}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\textstyle H_{1}(\mathbb {H} )\to \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} }$ ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} {\Big /}\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} }$

Dimensiones superiores

Se sabe que es un espacio asférico , es decir, todos los grupos de homotopía y homología superiores son triviales. ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

El pendiente hawaiano se puede generalizar a dimensiones superiores. Esta generalización fue utilizada por Michael Barratt y John Milnor para proporcionar ejemplos de espacios compactos de dimensión finita con grupos de homología singular no triviales en dimensiones mayores que la del espacio. El pendiente hawaiano de dimensión -dimensional se define como ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mathbb {H} _{k}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k+1}:\left(x_{0}-{\frac {1}{n}}\right)^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}.}$

Por lo tanto, es una unión contable de k -esferas que tienen un único punto en común, y la topología está dada por una métrica en la que los diámetros de las esferas convergen a cero como Alternativamente, puede construirse como la compactificación de Alexandrov de una unión contable de s disjuntos. De manera recursiva, se tiene que consiste en una secuencia convergente, es el pendiente hawaiano original y es homeomorfo a la suspensión reducida . ${\displaystyle \mathbb {H} _{k}}$ ${\displaystyle n\to \infty .}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{k+1}}$ ${\displaystyle \Sigma \mathbb {H} _{k}}$

Para , el pendiente hawaiano -dimensional es un . compacto, -conectado y localmente -conectado . Para , se sabe que es isomorfo al grupo Baer–Specker ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle \pi _{k}(\mathbb {H} _{k})}$ ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} .}$

Para Barratt y Milnor se demostró que el grupo de homología singular es un grupo incontable no trivial para cada uno de tales . ^[1] ${\displaystyle q\equiv 1{\bmod {(}}k-1)}$ ${\displaystyle q>1,}$ ${\displaystyle H_{q}(\mathbb {H} _{k};\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle q}$

Véase también

• Lista de topologías

Referencias

1. Barratt, Michael; Milnor, John (1962). "Un ejemplo de homología singular anómala". Actas de la American Mathematical Society . 13 (2): 293–297. doi : 10.1090/s0002-9939-1962-0137110-9 . MR  0137110.

Lectura adicional

• Cannon, James W. ; Conner, Gregory R. (2000), "El gran grupo fundamental, los grandes pendientes hawaianos y los grandes grupos libres", Topología y sus aplicaciones , 106 (3): 273–291, doi : 10.1016/S0166-8641(99)00104-2 , MR  1775710.
• Conner, Gregory; Spencer, K. (2005), "Comportamiento anómalo del grupo de aretes hawaianos", Journal of Group Theory , 8 (2): 223–227, doi :10.1515/jgth.2005.8.2.223, MR  2126731.
• Eda, Katsuya (2002), "Los grupos fundamentales de espacios salvajes unidimensionales y el pendiente hawaiano" (PDF) , Actas de la American Mathematical Society , 130 (5): 1515–1522, doi : 10.1090/S0002-9939-01-06431-0 , MR  1879978.
• Eda, Katsuya ; Kawamura, Kazuhiro (2000), "La homología singular del pendiente hawaiano", Journal of the London Mathematical Society , 62 (1): 305–310, doi :10.1112/S0024610700001071, MR  1772189.
• Fabel, Paul (2005), "El grupo topológico de pendientes hawaianos no se incrusta en el límite inverso de los grupos libres", Topología algebraica y geométrica , 5 (4): 1585–1587, arXiv : math/0501482 , Bibcode :2005math......1482F, doi :10.2140/agt.2005.5.1585, MR  2186111.
• Morgan, John W. ; Morrison, Ian (1986), "Un teorema de van Kampen para uniones débiles", Actas de la London Mathematical Society , 53 (3): 562–576, doi :10.1112/plms/s3-53.3.562, MR  0868459.