Conjetura de Hanna Neumann

Proposición en teoría de grupos

En el campo matemático de la teoría de grupos , la conjetura de Hanna Neumann es una afirmación sobre el rango de la intersección de dos subgrupos finitamente generados de un grupo libre . La conjetura fue planteada por Hanna Neumann en 1957. ^[1] En 2011, una versión reforzada de la conjetura (ver más abajo) fue demostrada independientemente por Joel Friedman ^[2] y por Igor Mineyev. ^[3]

En 2017, Andrei Jaikin-Zapirain publicó una tercera prueba de la conjetura reforzada de Hanna Neumann, basada en argumentos homológicos inspirados en consideraciones pro-p-grupo . ^[4]

Historia

El tema de la conjetura fue motivado originalmente por un teorema de 1954 de Howson ^[5] quien demostró que la intersección de dos subgrupos finitamente generados de un grupo libre siempre es finitamente generada, es decir, tiene rango finito . En este artículo Howson demostró que si H y K son subgrupos de un grupo libre F ( X ) de rangos finitos n  ≥ 1 y m  ≥ 1 entonces el rango s de H  ∩  K satisface:

s  − 1 ≤ 2 mn  −  m  −  n .

En un artículo de 1956 ^[6], Hanna Neumann mejoró este límite al demostrar que:

s  − 1 ≤ 2 mn  −  2m  −  n .

En una adenda de 1957, ^[1] Hanna Neumann mejoró aún más este límite para demostrar que, bajo los supuestos anteriores,

s − 1 ≤ 2( m − 1)( n − 1).

También conjeturó que el factor 2 en la desigualdad anterior no es necesario y que uno siempre tiene

s  − 1 ≤ ( m  − 1) ( n  − 1).

Esta afirmación se conoció como la conjetura de Hanna Neumann .

Declaración formal

Sean H , K ≤ F ( X ) dos subgrupos finitamente generados no triviales de un grupo libre F ( X ) y sea L  =  H  ∩  K la intersección de H y K . La conjetura dice que en este caso

rango( L ) − 1 ≤ (rango( H ) − 1)(rango( K ) − 1).

Aquí, para un grupo G, la cantidad rango( G ) es el rango de G , es decir, el tamaño más pequeño de un conjunto generador para G. Se sabe que cada subgrupo de un grupo libre es libre en sí mismo y el rango de un grupo libre es igual al tamaño de cualquier base libre de ese grupo libre.

Conjetura reforzada de Hanna Neumann

Si H , K ≤ G son dos subgrupos de un grupo G y si a , b ∈ G definen la misma clase lateral doble HaK = HbK entonces los subgrupos H  ∩  aKa ⁻¹ y H  ∩  bKb ⁻¹ son conjugados en G y por lo tanto tienen el mismo rango . Se sabe que si H , K ≤ F ( X ) son subgrupos finitamente generados de un grupo libre finitamente generado F ( X ) entonces existen como máximo un número finito de clases de clase lateral doble HaK en F ( X ) tales que H  ∩  aKa ⁻¹  ≠ {1}. Supóngase que existe al menos una de esas clases laterales dobles y sean a ₁ ,..., a _n todos los representantes distintos de esas clases laterales dobles. La conjetura reforzada de Hanna Neumann , formulada por su hijo Walter Neumann (1990), ^[7] establece que en esta situación

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}[{\rm {rank}}(H\cap a_{i}Ka_{i}^{-1})-1]\leq ({\rm {rank}}(H)-1)({\rm {rank}}(K)-1).}$

La conjetura reforzada de Hanna Neumann fue demostrada en 2011 por Joel Friedman. ^[2] Poco después, Igor Mineyev dio otra demostración. ^[3]

Resultados parciales y otras generalizaciones

• En 1971, Burns mejoró ^[8] el límite de 1957 de Hanna Neumann y demostró que bajo los mismos supuestos que en el artículo de Hanna Neumann se tiene

s ≤ 2mn  − 3 m  − 2 n  + 4.

• En un artículo de 1990, ^[7] Walter Neumann formuló la conjetura fortalecida de Hanna Neumann (véase la declaración anterior).
• Tardos (1992) ^[9] estableció la conjetura reforzada de Hanna Neumann para el caso en que al menos uno de los subgrupos H y K de F ( X ) tiene rango dos. Como la mayoría de los otros enfoques de la conjetura de Hanna Neumann, Tardos utilizó la técnica de los gráficos de subgrupos de Stallings ^[10] para analizar subgrupos de grupos libres y sus intersecciones.
• Warren Dicks (1994) ^[11] estableció la equivalencia de la conjetura fortalecida de Hanna Neumann y un enunciado de teoría de grafos que llamó conjetura de grafos amalgamados .
• Arzhantseva (2000) demostró ^[12] que si H es un subgrupo finitamente generado de índice infinito en F ( X ), entonces, en un cierto significado estadístico, para un subgrupo genérico finitamente generado en , tenemos H  ∩  gKg ⁻¹  = {1} para todo g en F . Por lo tanto, la conjetura reforzada de Hanna Neumann se cumple para cada H y un K genérico . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F(X)}$
• En 2001, Dicks y Formanek establecieron la conjetura reforzada de Hanna Neumann para el caso en que al menos uno de los subgrupos H y K de F ( X ) tiene rango como máximo tres. ^[13]
• Khan (2002) ^[14] e, independientemente, Meakin y Weil (2002), ^[15] demostraron que la conclusión de la conjetura fortalecida de Hanna Neumann se cumple si uno de los subgrupos H , K de F ( X ) es generado positivamente , es decir, generado por un conjunto finito de palabras que involucran solo elementos de X pero no de X ⁻¹ como letras.
• Ivanov ^{[16] [17]} y Dicks e Ivanov ^[18] obtuvieron análogos y generalizaciones de los resultados de Hanna Neumann para la intersección de los subgrupos H y K de un producto libre de varios grupos.
• Wise (2005) afirmó ^[19] que la conjetura fortalecida de Hanna Neumann implica otra conjetura de teoría de grupos de larga data que dice que cada grupo de un solo relator con torsión es coherente (es decir, cada subgrupo finitamente generado en dicho grupo se presenta finitamente ).

Véase también

• Teoría de grupos geométricos

Referencias

1. Hanna Neumann. Sobre la intersección de grupos libres finitamente generados. Adenda. Publicationes Mathematicae Debrecen , vol. 5 (1957), pág. 128
2. Joel Friedman, "Haces sobre grafos, sus invariantes homológicos y una demostración de la conjetura de Hanna Neumann: con un apéndice de Warren Dicks" Mem. Amer. Math. Soc., 233 (2015), núm. 1100.
3. Igor Minevev, "Submultiplicatividad y la conjetura de Hanna Neumann". Ann. of Math., 175 (2012), núm. 1, 393-414.
4. Andrei Jaikin-Zapirain, Aproximación por subgrupos de índice finito y la conjetura de Hanna Neumann, Duke Mathematical Journal , 166 (2017), n.º 10, págs. 1955-1987
5. AG Howson. Sobre la intersección de grupos libres finitamente generados. Journal of the London Mathematical Society , vol. 29 (1954), págs. 428–434
6. Hanna Neumann. Sobre la intersección de grupos libres finitamente generados. Publicationes Mathematicae Debrecen, vol. 4 (1956), 186–189.
7. Walter Neumann. Sobre las intersecciones de subgrupos finitamente generados de grupos libres. Groups–Canberra 1989, págs. 161–170. Lecture Notes in Mathematics, vol. 1456, Springer, Berlín, 1990; ISBN  3-540-53475-X
8. Robert G. Burns. Sobre la intersección de subgrupos finitamente generados de un grupo libre. Mathematische Zeitschrift , vol. 119 (1971), págs. 121–130.
9. Gábor Tardos. Sobre la intersección de subgrupos de un grupo libre. Inventiones Mathematicae , vol. 108 (1992), núm. 1, pp. 29–36.
10. John R. Stallings. Topología de grafos finitos. Inventiones Mathematicae , vol. 71 (1983), núm. 3, págs. 551–565
11. Warren Dicks. Equivalencia de la conjetura reforzada de Hanna Neumann y la conjetura del grafo amalgamado. Inventiones Mathematicae , vol. 117 (1994), núm. 3, págs. 373–389
12. GN Arzhantseva. Una propiedad de los subgrupos de índice infinito en un grupo libre Proc. Amer. Math. Soc. 128 (2000), 3205–3210.
13. Warren Dicks y Edward Formanek . El caso de rango tres de la conjetura de Hanna Neumann. Journal of Group Theory, vol. 4 (2001), n.º 2, págs. 113-151
14. Bilal Khan. Subgrupos generados positivamente de grupos libres y la conjetura de Hanna Neumann. Combinatorial and Geometric Group Theory (Nueva York, 2000/Hoboken, NJ, 2001), 155–170, Contemporary Mathematics, vol. 296, American Mathematical Society , Providence, RI, 2002; ISBN 0-8218-2822-3 
15. J. Meakin y P. Weil. Subgrupos de grupos libres: una contribución a la conjetura de Hanna Neumann. Actas de la Conferencia sobre teoría geométrica y combinatoria de grupos, Parte I (Haifa, 2000). Geometriae Dedicata , vol. 94 (2002), págs. 33–43.
16. SV Ivanov. Subgrupos libres que se intersectan en productos libres de grupos. Revista internacional de álgebra y computación, vol. 11 (2001), n.º 3, págs. 281-290
17. SV Ivanov. Sobre el rango de Kurosh de la intersección de subgrupos en productos libres de grupos . Advances in Mathematics , vol. 218 (2008), núm. 2, págs. 465–484
18. Warren Dicks y SV Ivanov. Sobre la intersección de subgrupos libres en productos libres de grupos. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 144 (2008), núm. 3, págs. 511–534
19. La coherencia de grupos de un solo relator con torsión y la conjetura de Hanna Neumann. Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , vol. 37 (2005), n.º 5, págs. 697–705