William Mark Goldman (nacido en 1955 en Kansas City , Misuri ) es profesor de matemáticas en la Universidad de Maryland, College Park (desde 1986). Recibió una licenciatura en matemáticas de la Universidad de Princeton en 1977 y un doctorado. en matemáticas de la Universidad de California, Berkeley en 1980.
Goldman ha investigado estructuras geométricas, en diversas encarnaciones, en variedades desde su tesis universitaria, " Varias variedades afines y geometría proyectiva en variedades", supervisada por William Thurston y Dennis Sullivan . Este trabajo lo llevó a trabajar con Morris Hirsch y David Fried en estructuras afines en variedades y a trabajar en estructuras proyectivas reales en superficies compactas . En particular, demostró que el espacio de estructuras proyectivas reales convexas en una superficie cerrada orientable de género es homeomorfo a una celda abierta de dimensión . Con Suhyoung Choi, demostró que este espacio es un componente conexo (el "componente de Hitchin") del espacio de clases de equivalencia de representaciones del grupo fundamental en . Combinando este resultado con el teorema de descomposición convexa de Suhyoung Choi, se obtuvo una clasificación completa de estructuras proyectivas reales convexas en superficies compactas.
Su tesis doctoral, "Grupos discontinuos y la clase de Euler" (supervisada por Morris W. Hirsch ), caracteriza incrustaciones discretas de grupos de superficie en términos de clase de Euler máxima , lo que demuestra lo contrario de la desigualdad de Milnor-Wood para paquetes planos. Poco después demostró que el espacio de representaciones del grupo fundamental de una superficie orientable cerrada de género tiene componentes conectados, distinguidos por la clase de Euler.
Con David Fried, clasificó los cocientes compactos del espacio tridimensional euclidiano mediante grupos discretos de transformaciones afines, mostrando que todas esas variedades son cocientes finitos de haces toroidales sobre el círculo. El caso no compacto es mucho más interesante, ya que Grigory Margulis encontró variedades afines completas con un grupo fundamental libre nobeliano. En su tesis doctoral de 1990, Todd Drumm encontró ejemplos de mangos sólidos que utilizan poliedros que desde entonces se denominan "planos torcidos".
Goldman encontró ejemplos ( variedades nil no euclidianas y variedades solv ) de 3 variedades cerradas que no admiten estructuras conformes planas.
Generalizando el trabajo de Scott Wolpert sobre la estructura simpléctica de Weil-Petersson en el espacio de estructuras hiperbólicas en superficies, encontró una descripción topológica algebraica de una estructura simpléctica en espacios de representaciones de un grupo de superficies en un grupo de Lie reductivo . Las trazas de representaciones de las curvas correspondientes en las superficies generan un álgebra de Poisson, cuyo corchete de Lie tiene una descripción topológica en términos de las intersecciones de las curvas. Además, los campos vectoriales hamiltonianos de estas funciones de traza definen flujos que generalizan los flujos de Fenchel-Nielsen en el espacio de Teichmüller . Esta estructura simpléctica es invariante bajo la acción natural del grupo de clases de mapeo, y utilizando la relación entre los giros de Dehn y los flujos generalizados de Fenchel-Nielsen, demostró la ergodicidad de la acción del grupo de clases de mapeo sobre el carácter SU(2). Variedad con respecto a la medida simpléctica de Lebesgue .
Siguiendo sugerencias de Pierre Deligne , él y John Millson demostraron que la variedad de representaciones del grupo fundamental de una variedad compacta de Kähler tiene singularidades definidas por sistemas de ecuaciones cuadráticas homogéneas. Esto conduce a varios resultados de rigidez local para acciones en espacios simétricos hermitianos.
Con John Parker, examinó las complejas representaciones de grupos de triángulos ideales hiperbólicos. Estas son representaciones de grupos de triángulos ideales hiperbólicos para el grupo de isometrías holomorfas del plano hiperbólico complejo, de modo que cada generador estándar del grupo de triángulos se asigna a una reflexión compleja y los productos de pares de generadores a parabólicos. El espacio de representaciones para un grupo de triángulos dado (conjugación de módulo) está parametrizado por un intervalo medio abierto. Demostraron que las representaciones en un rango particular eran discretas y conjeturaron que una representación sería discreta si y sólo si estuviera en un rango mayor especificado. Esto se conoce como la conjetura de Goldman-Parker y finalmente fue probada por Richard Schwartz .
Goldman también dirige un grupo de investigación en la Universidad de Maryland llamado Laboratorio de Geometría Experimental, un equipo que desarrolla software (principalmente en Mathematica ) para explorar estructuras geométricas y dinámicas en dimensiones bajas. Formó parte de la Junta de Gobernadores del Centro de Geometría de la Universidad de Minnesota de 1994 a 1996.
Se desempeñó como editor en jefe de Geometriae Dedicata desde 2003 hasta 2013.
En 2012 se convirtió en miembro de la Sociedad Matemática Estadounidense . [1]
