En matemáticas, la métrica de Weil-Petersson es una métrica de Kähler en el espacio de Teichmüller T g , n del género g superficies de Riemann con n puntos marcados. Fue introducido por André Weil (1958, 1979) utilizando el producto interno de Petersson en formas sobre una superficie de Riemann (introducido por Hans Petersson ).
Definición
Si un punto del espacio de Teichmüller está representado por una superficie de Riemann R , entonces el espacio cotangente en ese punto puede identificarse con el espacio de diferenciales cuadráticas en R. Dado que la superficie de Riemann tiene una métrica hiperbólica natural , al menos si tiene una característica de Euler negativa , se puede definir un producto interno hermitiano en el espacio de diferenciales cuadráticos integrando sobre la superficie de Riemann. Esto induce un producto interno hermitiano en el espacio tangente a cada punto del espacio de Teichmüller y, por tanto, una métrica de Riemann.
Propiedades
Weil (1958) afirmó, y Ahlfors (1961) demostró, que la métrica de Weil-Petersson es una métrica de Kähler . Ahlfors (1961b) demostró que tiene curvaturas seccionales , escalares y de Ricci holomorfas negativas . La métrica de Weil-Petersson no suele estar completa.
Generalizaciones
La métrica de Weil-Petersson se puede definir de manera similar para algunos espacios de módulos de variedades de dimensiones superiores.
Ver también
Referencias
- Ahlfors, Lars V. (1961), "Algunas observaciones sobre el espacio de superficies de Riemann de Teichmüller", Annals of Mathematics , Segunda serie, 74 (1): 171–191, doi :10.2307/1970309, hdl : 2027/mdp.39015095258003 , JSTOR 1970309, SEÑOR 0204641
- Ahlfors, Lars V. (1961b), "Propiedades de curvatura del espacio de Teichmüller", Journal d'Analyse Mathématique , 9 : 161–176, doi : 10.1007/BF02795342 , hdl : 2027/mdp.39015095248350 , MR 0136730, IDENTIFICACIÓN 124921349
- Weil, André (1958), "Módulos de superficies de Riemann", Séminaire Bourbaki; 10e año: 1957/1958. Textos de conferencias; Exposés 152à 168; 2e éd.corrigée, Exposé 168 (en francés), París: Secrétariat Mathématique, págs. 413–419, MR 0124485, Zbl 0084.28102
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enlaces externos
- Métrica de Weil-Petersson en nLab
