Grupo de cuerdas

En topología , una rama de las matemáticas , un grupo de cuerdas es un grupo de dimensión infinita introducido por Stolz (1996) como una cubierta conexa de un grupo de espín . Una variedad de cuerdas es una variedad con una elevación de su fibrado de marco a un fibrado de grupo de cuerdas. Esto significa que, además de poder definir holonomías a lo largo de caminos, también se pueden definir holonomías para superficies que van entre cuerdas. Existe una secuencia corta y exacta de grupos topológicos ${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$ ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle 0\rightarrow {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow 0}$

donde es un espacio de Eilenberg–MacLane y es un grupo de espín. El grupo de cuerdas es una entrada en la torre de Whitehead (dual a la noción de torre de Postnikov ) para el grupo ortogonal : ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$

${\displaystyle \cdots \rightarrow \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)\rightarrow \operatorname {O} (n)}$

Se obtiene matando al grupo de homotopía para , de la misma manera que se obtiene de matando . La variedad resultante no puede ser ningún grupo de Lie de dimensión finita , ya que todos los grupos de Lie compactos de dimensión finita tienen un . El grupo de cincobranas sigue, matando . ${\displaystyle \pi _{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle \pi _{3}}$ ${\displaystyle \pi _{7}}$

De manera más general, la construcción de la torre de Postnikov a través de secuencias exactas cortas que comienzan con espacios de Eilenberg-MacLane se puede aplicar a cualquier grupo de Lie G , dando como resultado el grupo de cuerdas String ( G ).

Intuición para el grupo de cuerdas

La relevancia del espacio de Eilenberg-Maclane radica en el hecho de que existen equivalencias de homotopía ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$

${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z} }$

para el espacio de clasificación y el hecho . Nótese que debido a que el grupo de espín complejo es una extensión de grupo ${\displaystyle B\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)}$

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)\to \operatorname {Spin} (n)\to 0}$

El grupo de cuerdas puede considerarse como una extensión del grupo de espín complejo "superior", en el sentido de la teoría de grupos superiores, ya que el espacio es un ejemplo de un grupo superior. Puede considerarse como la realización topológica del grupoide cuyo objeto es un único punto y cuyos morfismos son el grupo . Nótese que el grado homotópico de es , lo que significa que su homotopía se concentra en el grado , porque proviene de la fibra de homotopía de la función. ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)}$

de la torre Whitehead cuyo cokernel de homotopía es . Esto se debe a que la fibra de homotopía reduce el grado en . ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)}$ ${\displaystyle 1}$

Entendiendo la geometría

La geometría de los fibrados de cuerdas requiere la comprensión de múltiples construcciones en la teoría de homotopía, ^[1] pero esencialmente se reducen a entender qué son los fibrados y cómo se comportan estas extensiones de grupo superiores. Es decir, los fibrados en un espacio se representan geométricamente como gerbes de fibrados , ya que cualquier fibrado puede realizarse como la fibra de homotopía de una función que da un cuadrado de homotopía. ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}P&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\M&\xrightarrow {} &K(\mathbb {Z} ,3)\end{matrix}}}$

donde . Entonces, un fibrado de cuerdas debe mapearse a un fibrado de espín que sea -equivariante, de manera análoga a cómo los fibrados de espín se mapean de manera equivariante al fibrado de marcos. ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)=B(K(\mathbb {Z} ,2))}$ ${\displaystyle S\to M}$ ${\displaystyle \mathbb {S} \to M}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$

Grupo de cinco branas y grupos superiores

El grupo de cinco branas se puede entender de manera similar ^[2] eliminando el grupo del grupo de cuerdas utilizando la torre de Whitehead. Luego se puede entender nuevamente utilizando una secuencia exacta de grupos superiores ${\displaystyle \pi _{7}(\operatorname {Spin} (n))\cong \pi _{7}(\operatorname {O} (n))}$ ${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,6)\to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to 0}$

dando una presentación de sus términos de una extensión iterada, es decir, una extensión por . Nótese que el mapa de la derecha es de la torre Whitehead y el mapa de la izquierda es la fibra de homotopía. ${\displaystyle \operatorname {Fivebrane} (n)}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,6)}$ ${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$

Véase también

• Gerbe
• Grupo N (teoría de categorías)
• Cohomología elíptica
• Bordismo de cuerdas

Referencias

1. Jurco, Branislav (agosto de 2011). "Gerbes de haz de módulos cruzados; clasificación, grupo de cuerdas y geometría diferencial". Revista internacional de métodos geométricos en física moderna . 08 (5): 1079–1095. arXiv : math/0510078 . Código Bibliográfico :2011IJGMM..08.1079J. doi :10.1142/S0219887811005555. ISSN  0219-8878. S2CID  1347840.
2. Sati, Hisham; Schreiber, Urs; Stasheff, Jim (noviembre de 2009). "Estructuras de cinco branas". Reseñas en Física Matemática . 21 (10): 1197–1240. arXiv : 0805.0564 . Código Bibliográfico :2009RvMaP..21.1197S. doi :10.1142/S0129055X09003840. ISSN  0129-055X. S2CID  13307997.

• Henriques, André G.; Douglas, Christopher L.; Hill, Michael A. (2011), "Obstáculos homológicos a las orientaciones de cuerdas", Int. Math. Res. Notices , 18 : 4074–4088, arXiv : 0810.2131 , Bibcode :2008arXiv0810.2131D
• Wockel, Christoph; Sachse, Christoph; Nikolaus, Thomas (2013), "Un modelo suave para el grupo de cuerdas", International Mathematics Research Notices , 2013 (16): 3678–3721, arXiv : 1104.4288 , Bibcode :2011arXiv1104.4288N, doi :10.1093/imrn/rns154
• Stolz, Stephan (1996), "Una conjetura sobre la curvatura positiva de Ricci y el género Witten", Mathematische Annalen , 304 (4): 785–800, doi :10.1007/BF01446319, ISSN  0025-5831, MR  1380455, S2CID  123359573
• Stolz, Stephan; Teichner, Peter (2004), "¿Qué es un objeto elíptico?" (PDF) , Topología, geometría y teoría cuántica de campos , London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 308, Cambridge University Press , pp. 247–343, doi :10.1017/CBO9780511526398.013, ISBN 9780521540490, Sr.  2079378

Enlaces externos

• Baez, J. (2007), Teoría de calibre superior y el grupo de cuerdas
• De grupos de bucles a 2 grupos: proporciona una caracterización de String(n) como un 2-grupo
• grupo de cuerdas en el laboratorio n
• Torre Whitehead en el laboratorio N
• ¿Qué es un objeto elíptico?