En matemáticas , particularmente en teoría de categorías , un 2-grupo es un grupoide con una forma de multiplicar objetos , lo que lo hace parecerse a un grupo . Son parte de una jerarquía más grande de n -grupos . Fueron introducidos por Hoàng Xuân Sính a fines de la década de 1960 con el nombre de gr-categorías , [1] [2] y también se conocen como grupos categóricos .
Un grupo 2 es una categoría monoidal G en la que cada morfismo es invertible y cada objeto tiene un inverso débil. (Aquí, un inverso débil de un objeto x es un objeto y tal que xy e yx son ambos isomorfos al objeto unitario).
Gran parte de la literatura se centra en los 2-grupos estrictos . Un 2-grupo estricto es una categoría monoidal estricta en la que cada morfismo es invertible y cada objeto tiene un inverso estricto (de modo que xy e yx son en realidad iguales al objeto unitario).
Un 2-grupo estricto es un objeto de grupo en una categoría de categorías (pequeñas) ; como tal, podrían llamarse categorías grupales . Por el contrario, un 2-grupo estricto es un objeto de categoría en la categoría de grupos ; como tal, también se denominan grupos categóricos . También se pueden identificar con módulos cruzados y, con mayor frecuencia, se estudian en esa forma. Por lo tanto, los 2-grupos en general pueden verse como un debilitamiento de los módulos cruzados.
Todo 2-grupo es equivalente a un 2-grupo estricto , aunque esto no se puede hacer de manera coherente: no se extiende a los homomorfismos de 2-grupos . [ cita requerida ]
Dada una categoría ( pequeña ) C , podemos considerar el 2-grupo Aut C . Esta es la categoría monoidal cuyos objetos son las autoequivalencias de C (es decir, equivalencias F : C → C ), cuyos morfismos son isomorfismos naturales entre tales autoequivalencias, y la multiplicación de autoequivalencias está dada por su composición.
Dado un espacio topológico X y un punto x en ese espacio, existe un 2-grupo fundamental de X en x , escrito Π 2 ( X , x ). Como categoría monoidal, los objetos son bucles en x , con multiplicación dada por concatenación, y los morfismos son homotopías que preservan el punto base entre bucles, con estos morfismos identificados si son homotópicos en sí mismos.
Las inversas débiles siempre se pueden asignar coherentemente: [3] se puede definir un funtor en cualquier grupo 2 G que asigne una inversa débil a cada objeto, de modo que cada objeto esté relacionado con su inversa débil designada por una equivalencia adjunta en la categoría monoidal G.
Dada una bicategoría B y un objeto x de B , existe un 2-grupo de automorfismos de x en B , escrito Aut B x . Los objetos son los automorfismos de x , con multiplicación dada por composición, y los morfismos son los 2-morfismos invertibles entre estos. Si B es un 2-grupoide (por lo que todos los objetos y morfismos son débilmente invertibles) y x es su único objeto, entonces Aut B x es el único dato que queda en B . Por lo tanto, los 2-grupos pueden identificarse con 2-grupoides de un objeto , de forma similar a como los grupos pueden identificarse con grupoides de un objeto y las categorías monoidales pueden identificarse con bicategorías de un objeto .
Si G es un 2-grupo estricto, entonces los objetos de G forman un grupo, llamado el grupo subyacente de G y escrito G 0 . Esto no funcionará para 2-grupos arbitrarios ; sin embargo, si uno identifica objetos isomorfos, entonces las clases de equivalencia forman un grupo, llamado el grupo fundamental de G y escrito π 1 G . (Tenga en cuenta que incluso para un 2-grupo estricto , el grupo fundamental solo será un grupo cociente del grupo subyacente).
Como categoría monoidal, cualquier 2-grupo G tiene un objeto unidad I G . El grupo de automorfismos de I G es un grupo abeliano por el argumento de Eckmann-Hilton , escrito Aut( I G ) o π 2 G .
El grupo fundamental de G actúa en ambos lados de π 2 G , y el asociador de G define un elemento del grupo de cohomología H 3 (π 1 G , π 2 G ). De hecho, los 2-grupos se clasifican de esta manera: dado un grupo π 1 , un grupo abeliano π 2 , una acción grupal de π 1 sobre π 2 , y un elemento de H 3 (π 1 , π 2 ), existe un único ( hasta equivalencia) 2-grupo G con π 1 G isomorfo a π 1 , π 2 G isomorfo a π 2 , y los demás datos correspondientes.
El elemento de H 3 (π 1 , π 2 ) asociado a un grupo 2 se denomina a veces su invariante Sinh , ya que fue desarrollado por el estudiante de Grothendieck, Hoàng Xuân Sính .
Como se mencionó anteriormente, el 2-grupo fundamental de un espacio topológico X y un punto x es el 2-grupo Π 2 ( X , x ), cuyos objetos son bucles en x , con multiplicación dada por concatenación, y los morfismos son homotopías que preservan el punto base entre bucles, con estos morfismos identificados si son ellos mismos homotópicos.
Por el contrario, dado cualquier 2-grupo G , se puede encontrar un único espacio conexo puntiagudo ( salvo equivalencia de homotopía débil ) ( X , x ) cuyo 2-grupo fundamental es G y cuyos grupos de homotopía π n son triviales para n > 2. De esta manera, los 2-grupos clasifican 2-tipos de homotopía débil conexos puntiagudos. Esta es una generalización de la construcción de espacios de Eilenberg–Mac Lane .
Si X es un espacio topológico con punto base x , entonces el grupo fundamental de X en x es el mismo que el grupo fundamental del 2-grupo fundamental de X en x ; es decir,
Este hecho es el origen del término “fundamental” en sus dos instancias de dos grupos .
Similarmente,
Por lo tanto, tanto el primer como el segundo grupo de homotopía de un espacio están contenidos dentro de su 2-grupo fundamental . Como este 2-grupo también define una acción de π 1 ( X , x ) sobre π 2 ( X , x ) y un elemento del grupo de cohomología H 3 (π 1 ( X , x ), π 2 ( X , x )), estos son precisamente los datos necesarios para formar la torre de Postnikov de X si X es un 2-tipo de homotopía conexa puntiaguda.
