n-grupo (teoría de categorías)

En matemáticas , un n -grupo , o grupo superior n -dimensional , es un tipo especial de n -categoría que generaliza el concepto de grupo al álgebra de dimensiones superiores . Aquí, puede ser cualquier número natural o infinito . La tesis del estudiante de Alexander Grothendieck, Hoàng Xuân Sính, fue un estudio en profundidad de los 2-grupos bajo el nombre de "gr-categoría". ${\displaystyle n}$

La definición general de -grupo es un tema de investigación en curso. Sin embargo, se espera que cada espacio topológico tenga un -grupo de homotopía en cada punto, que encapsulará la torre de Postnikov del espacio hasta el grupo de homotopía , o la torre de Postnikov completa para . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle n=\infty }$

Ejemplos

Espacios de Eilenberg-Maclane

Uno de los principales ejemplos de grupos superiores proviene de los tipos de homotopía de los espacios de Eilenberg-MacLane, ya que son los bloques de construcción fundamentales para construir grupos superiores y tipos de homotopía en general. Por ejemplo, cada grupo se puede convertir en un espacio de Eilenberg-Maclane a través de una construcción simplicial, ^[1] y se comporta funcionalmente . Esta construcción da una equivalencia entre grupos y 1-grupos . Nótese que algunos autores escriben como , y para un grupo abeliano , se escribe como . ${\displaystyle K(A,n)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K(G,1)}$ ${\displaystyle K(G,1)}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K(A,n)}$ ${\displaystyle B^{n}A}$

2 grupos

La definición y muchas propiedades de los 2-grupos ya son conocidas. Los 2-grupos pueden describirse utilizando módulos cruzados y sus espacios de clasificación. Básicamente, estos están dados por una cuádruple donde son grupos con abelianos, ${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2},t,\omega )}$ ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}}$ ${\displaystyle \pi _{2}}$

${\displaystyle t:\pi _{1}\to \operatorname {Aut} \pi _{2}}$

un homomorfismo de grupo y una clase de cohomología . Estos grupos pueden codificarse como homotopía -tipos con y , con la acción proveniente de la acción de sobre grupos de homotopía superiores, y proveniente de la torre de Postnikov ya que hay una fibración ${\displaystyle \omega \in H^{3}(B\pi _{1},\pi _{2})}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}X=\pi _{1}}$ ${\displaystyle \pi _{2}X=\pi _{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}X}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle B^{2}\pi _{2}\to X\to B\pi _{1}}$

Procedente de un mapa . Nótese que esta idea se puede utilizar para construir otros grupos superiores con datos de grupo que tengan grupos intermedios triviales , donde la secuencia de fibración ahora es ${\displaystyle B\pi _{1}\to B^{3}\pi _{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1},e,\ldots ,e,\pi _{n}}$

${\displaystyle B^{n}\pi _{n}\to X\to B\pi _{1}}$

procedente de un mapa cuya clase de homotopía es un elemento de . ${\displaystyle B\pi _{1}\to B^{n+1}\pi _{n}}$ ${\displaystyle H^{n+1}(B\pi _{1},\pi _{n})}$

3 grupos

Otra clase interesante y accesible de ejemplos que requieren métodos teóricos de homotopía, no accesibles para los grupoides estrictos, proviene de observar grupos de 3 tipos de homotopía. ^[2] Esencialmente, estos están dados por un triple de grupos con solo el primer grupo siendo no abeliano, y algunos datos teóricos de homotopía adicionales de la torre de Postnikov. Si tomamos este 3-grupo como un 3-tipo de homotopía , la existencia de cubiertas universales nos da un tipo de homotopía que encaja en una secuencia de fibración. ${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2},\pi _{3})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {X}}\to X}$

${\displaystyle {\hat {X}}\to X\to B\pi _{1}}$

dando un tipo de homotopía con trivial sobre el cual actúa. Estos pueden entenderse explícitamente utilizando el modelo anterior de 2-grupos , desplazado hacia arriba por grado (llamado desbucle). Explícitamente, encaja en una torre de Postnikov con fibración de Serre asociada ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$

${\displaystyle B^{3}\pi _{3}\to {\hat {X}}\to B^{2}\pi _{2}}$

indicando de dónde proviene el fibrado de un mapa , dando una clase de cohomología en . Luego, se puede reconstruir utilizando un cociente de homotopía . ${\displaystyle B^{3}\pi _{3}}$ ${\displaystyle {\hat {X}}\to B^{2}\pi _{2}}$ ${\displaystyle B^{2}\pi _{2}\to B^{4}\pi _{3}}$ ${\displaystyle H^{4}(B^{2}\pi _{2},\pi _{3})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {X}}//\pi _{1}\simeq X}$

norte-grupos

La construcción anterior da la idea general de cómo considerar grupos superiores en general. Para un n -grupo con grupos con el último grupo siendo abeliano, podemos considerar el tipo de homotopía asociado y primero considerar la cobertura universal . Entonces, este es un espacio con trivial , lo que hace más fácil construir el resto del tipo de homotopía usando la torre de Postnikov. Entonces, el cociente de homotopía da una reconstrucción de , mostrando los datos de un -grupo es un grupo superior, o espacio simple , con trivial tal que un grupo actúa sobre él homotópicamente teóricamente. Esta observación se refleja en el hecho de que los tipos de homotopía no se realizan por grupos simpliciales , sino por grupoides simpliciales ^{[3] pg 295} ya que la estructura de grupoide modela el cociente de homotopía . ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {X}}\to X}$ ${\displaystyle \pi _{1}({\hat {X}})=0}$ ${\displaystyle {\hat {X}}//\pi _{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle -//\pi _{1}}$

El análisis de la construcción de un grupo de 4 es instructivo porque proporciona una idea general de cómo construir los grupos en general. Para simplificar, supongamos que es trivial, por lo que los grupos no triviales son . Esto da una torre de Postnikov ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}=e}$ ${\displaystyle \pi _{2},\pi _{3},\pi _{4}}$

${\displaystyle X\to X_{3}\to B^{2}\pi _{2}\to *}$

donde el primer mapa no trivial es una fibración con fibra . Nuevamente, esto se clasifica por una clase de cohomología en . Ahora, para construir a partir de , hay una fibración asociada ${\displaystyle X_{3}\to B^{2}\pi _{2}}$ ${\displaystyle B^{3}\pi _{3}}$ ${\displaystyle H^{4}(B^{2}\pi _{2},\pi _{3})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{3}}$

${\displaystyle B^{4}\pi _{4}\to X\to X_{3}}$

dado por una clase de homotopía . En principio ^[4] este grupo de cohomología debería ser computable utilizando la fibración anterior con la secuencia espectral de Serre con los coeficientes correctos, es decir . Hacer esto de manera recursiva, digamos para un -grupo , requeriría varios cálculos de secuencia espectral, en el peor de los casos muchos cálculos de secuencia espectral para un -grupo . ${\displaystyle [X_{3},B^{5}\pi _{4}]\cong H^{5}(X_{3},\pi _{4})}$ ${\displaystyle B^{3}\pi _{3}\to X_{3}\to B^{2}\pi _{2}}$ ${\displaystyle \pi _{4}}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$

norte-grupos de cohomología de haces

Para una variedad compleja con cubierta universal , y un haz de grupos abelianos en , para cada existen ^[5] homomorfismos canónicos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle \phi _{n}:H^{n}(\pi _{1}X,H^{0}({\tilde {X}},\pi ^{*}{\mathcal {F}}))\to H^{n}(X,{\mathcal {F}})}$

Se proporciona una técnica para relacionar n grupos construidos a partir de una variedad compleja y cohomología de haces en . Esto es particularmente aplicable para toros complejos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• ∞-grupoide
• Módulo cruzado
• Hipótesis de homotopía
• Grupo abeliano de 2 grupos

Referencias

1. "Sobre los espacios de Eilenberg-Maclane" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 28 de octubre de 2020.
2. Conduché, Daniel (1 de diciembre de 1984). "Módulos croisés généralisés de longueur 2". Revista de Álgebra Pura y Aplicada . 34 (2): 155-178. doi :10.1016/0022-4049(84)90034-3. ISSN  0022-4049.
3. Goerss, Paul Gregory. (2009). Teoría de la homotopía simplicial. Jardine, JF, 1951-. Basilea: Birkhäuser Verlag. ISBN 978-3-0346-0189-4.OCLC 534951159  .
4. "Cohomología integral de torres de Postnikov finitas" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 25 de agosto de 2020.
5. Birkenhake, Christina (2004). Variedades abelianas complejas. Herbert Lange (segunda edición aumentada). Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. pp. 573–574. ISBN 978-3-662-06307-1.OCLC 851380558  .

• Hoàng Xuân Sính , Gr-categorías, tesis doctoral, (1973)
  • "Tesis de Hoàng Xuân Sính (categorías Gr)". Archivado desde el original el 27 de agosto de 2022.
• Baez, John C.; Lauda, ​​Aaron D. (2003). "Álgebra de dimensiones superiores V: 2 grupos". arXiv : math/0307200v3 .
• Roberts, David Michael; Schreiber, Urs (2008). "El automorfismo interno de 3 grupos de un 2-grupo estricto". Journal of Homotopy and Related Structures . 3 : 193–244. arXiv : 0708.1741 .
• "Clasificación de grupos 3 débiles". MathOverflow .
• Jardine, JF (enero de 2001). "Pilas y la teoría de homotopía de haces simpliciales". Homología, homotopía y aplicaciones . 3 (2): 361–384. doi : 10.4310/HHA.2001.v3.n2.a5 . S2CID  123554728.

Modelos algebraicos para homotopíanorte-tipos

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• Arvasi, Z.; Ulualan, E. (2006). "Sobre modelos algebraicos para homotopía de 3 tipos" (PDF) . Journal of Homotopy and Related Structures . 1 : 1–27. arXiv : math/0602180 . Bibcode :2006math......2180A.
• Brown, Ronald (1992). "Cálculo de tipos de homotopía utilizando n-cubos cruzados de grupos". Simposio conmemorativo de Adams sobre topología algebraica . pp. 187–210. arXiv : math/0109091 . doi :10.1017/CBO9780511526305.014. ISBN . 9780521420747. Número de identificación del sujeto  2750149.
• Joyal, André; Kock, Joachim (2007). "Unidades débiles y homotopía de 3 tipos". Categorías en Álgebra, Geometría y Física Matemática . Matemáticas contemporáneas. Vol. 431. págs. 257–276. doi :10.1090/conm/431/08277. ISBN 9780821839706. Número de identificación del sujeto  13931985.
• Modelos algebraicos para n-tipos de homotopía en el laboratorio n : reflexiones de Tim Porter sobre los problemas que presenta el modelado de n-tipos de homotopía con n-cubos

Cohomología de grupos superiores

• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1946). "Determinación de los grupos de segunda homología y cohomología de un espacio por medio de invariantes de homotopía". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 32 (11): 277–280. Bibcode :1946PNAS...32..277E. doi : 10.1073/pnas.32.11.277 . PMC  1078947 . PMID  16588731.
• Thomas, Sebastian (2009). "El tercer grupo de cohomología clasifica las extensiones de módulos cruzados". arXiv : 0911.2861 [math.KT].
• Thomas, Sebastian (enero de 2010). "Sobre el segundo grupo de cohomología de un grupo simplicial". Homología, homotopía y aplicaciones . 12 (2): 167–210. arXiv : 0911.2864 . doi : 10.4310/HHA.2010.v12.n2.a6 . S2CID  55449228.
• Noohi, Behrang (2011). "Cohomología de grupos con coeficientes en un módulo cruzado". Revista del Instituto de Matemáticas de Jussieu . 10 (2): 359–404. arXiv : 0902.0161 . doi :10.1017/S1474748010000186. S2CID  7835760.

Cohomología de grupos superiores sobre un sitio

Nótese que esto es (ligeramente) distinto de la sección anterior, porque se trata de tomar cohomología sobre un espacio con valores en un grupo superior , lo que da grupos de cohomología superiores . Si consideramos como un tipo de homotopía y asumimos la hipótesis de homotopía , entonces estos son los mismos grupos de cohomología. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{*}(X,\mathbb {G} _{\bullet })}$ ${\displaystyle X}$

• Jibladze, Mamuka; Pirashvili, Teimuraz (2011). "Cohomología con coeficientes en pilas de categorías Picard". arXiv : 1101.2918 [matemáticas.AT].
• Debremaeker, Raymond (2017). "Cohomología con valores en un haz de grupos cruzados sobre un sitio". arXiv : 1702.02128 [math.AG].