En la teoría de grupos , un subcampo del álgebra abstracta , un gráfico de ciclos de un grupo es un gráfico no dirigido que ilustra los diversos ciclos de ese grupo, dado un conjunto de generadores para el grupo. Los gráficos de ciclos son particularmente útiles para visualizar la estructura de grupos finitos pequeños .
Un ciclo es el conjunto de potencias de un elemento de grupo dado a , donde a n , la n -ésima potencia de un elemento a , se define como el producto de a multiplicado por sí mismo n veces. Se dice que el elemento a genera el ciclo. En un grupo finito, alguna potencia distinta de cero de a debe ser la identidad de grupo , que denotamos como e o 1; la potencia más baja de este tipo es el orden del elemento a , el número de elementos distintos en el ciclo que genera. En un gráfico de ciclo, el ciclo se representa como un polígono, con sus vértices representando los elementos del grupo y sus aristas indicando cómo están vinculados entre sí para formar el ciclo.
Cada elemento del grupo está representado por un nodo en el gráfico de ciclos, y se representan suficientes ciclos como polígonos en el gráfico para que cada nodo se encuentre en al menos un ciclo. Todos esos polígonos pasan por el nodo que representa la identidad, y algunos otros nodos también pueden encontrarse en más de un ciclo.
Supongamos que un elemento de grupo a genera un ciclo de orden 6 (tiene orden 6), de modo que los nodos a , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 y a 6 = e son los vértices de un hexágono en el grafo del ciclo. El elemento a 2 tiene entonces orden 3; pero hacer que los nodos a 2 , a 4 y e sean los vértices de un triángulo en el grafo no añadiría ninguna información nueva. Por tanto, sólo hay que tener en cuenta los ciclos primitivos , aquellos que no son subconjuntos de otro ciclo. Además, el nodo a 5 , que también tiene orden 6, genera el mismo ciclo que el propio a; por tanto, tenemos al menos dos opciones para elegir qué elemento utilizar para generar un ciclo, a menudo más.
Para construir un gráfico de ciclos para un grupo, comenzamos con un nodo para cada elemento del grupo. Para cada ciclo primitivo, elegimos un elemento a que genere ese ciclo y conectamos el nodo de e con el de a , a con a 2 , ..., a k −1 con a k , etc., hasta regresar a e . El resultado es un gráfico de ciclos para el grupo.
Cuando un elemento del grupo a tiene orden 2 (de modo que la multiplicación por a es una involución ), la regla anterior conectaría e con a mediante dos aristas, una que sale y la otra que regresa. Excepto cuando la intención es enfatizar las dos aristas de dicho ciclo, normalmente se dibuja [1] como una sola línea entre los dos elementos.
Tenga en cuenta que esta correspondencia entre grupos y gráficos no es unívoca en ninguna dirección: dos grupos diferentes pueden tener el mismo gráfico de ciclo, y dos gráficos diferentes pueden ser gráficos de ciclo para un solo grupo. Damos ejemplos de cada uno en la sección de no unicidad.
Como ejemplo de un gráfico de ciclo grupal, considere el grupo diedro Dih 4 . La tabla de multiplicación para este grupo se muestra a la izquierda y el gráfico de ciclo se muestra a la derecha, donde e especifica el elemento identidad.
Observe el ciclo { e , a , a 2 , a 3 } en la tabla de multiplicar, con a 4 = e . El inverso a −1 = a 3 también es un generador de este ciclo: ( a 3 ) 2 = a 2 , ( a 3 ) 3 = a , y ( a 3 ) 4 = e . De manera similar, cualquier ciclo en cualquier grupo tiene al menos dos generadores, y puede recorrerse en cualquier dirección. De manera más general, el número de generadores de un ciclo con n elementos está dado por la función φ de Euler de n , y cualquiera de estos generadores puede escribirse como el primer nodo en el ciclo (junto a la identidad e ); o más comúnmente los nodos se dejan sin marcar. Dos ciclos distintos no pueden intersecarse en un generador.
Los ciclos que contienen un número no primo de elementos tienen subgrupos cíclicos que no se muestran en el gráfico. Para el grupo Dih 4 anterior, podríamos trazar una línea entre a 2 y e ya que ( a 2 ) 2 = e , pero como a 2 es parte de un ciclo más grande, no es un borde del gráfico del ciclo.
Puede haber ambigüedad cuando dos ciclos comparten un elemento no idéntico. Por ejemplo, el gráfico de ciclo del grupo de cuaterniones de 8 elementos se muestra a la derecha. Cada uno de los elementos de la fila del medio, cuando se multiplica por sí mismo, da como resultado −1 (donde 1 es el elemento identidad). En este caso, podemos usar diferentes colores para llevar un registro de los ciclos, aunque las consideraciones de simetría también funcionarán.
Como se señaló anteriormente, los dos bordes de un ciclo de 2 elementos generalmente se representan como una sola línea.
El inverso de un elemento es el nodo simétrico a él en su ciclo, respecto de la reflexión que fija la identidad.
El gráfico de ciclo de un grupo no está determinado de forma única hasta el isomorfismo del grafo ; ni tampoco determina de forma única al grupo hasta el isomorfismo del grupo . Es decir, el gráfico obtenido depende del conjunto de generadores elegidos, y dos grupos diferentes (con conjuntos de generadores elegidos) pueden generar el mismo gráfico de ciclo. [2]
Para algunos grupos, la elección de diferentes elementos para generar los diversos ciclos primitivos de ese grupo puede conducir a diferentes gráficos de ciclos. Hay un ejemplo de esto para el grupo abeliano , que tiene orden 20. [2] Denotamos un elemento de ese grupo como un triple de números , donde y cada uno de y es 0 o 1. El triple es el elemento identidad. En los dibujos a continuación, se muestra arriba y .
Este grupo tiene tres ciclos primitivos, cada uno de orden 10. En el primer gráfico de ciclos, elegimos, como generadores de esos tres ciclos, los nodos , y . En el segundo, generamos el tercero de esos ciclos --- el azul --- comenzando en su lugar con .
Los dos grafos resultantes no son isomorfos porque tienen diámetros 5 y 4 respectivamente.
Dos grupos diferentes (no isomorfos) pueden tener gráficos de ciclos que sean isomorfos , donde el último isomorfismo ignora las etiquetas en los nodos de los gráficos. De ello se deduce que la estructura de un grupo no está determinada únicamente por su gráfico de ciclos.
Ya hay un ejemplo de esto para grupos de orden 16, siendo los dos grupos y . El grupo abeliano es el producto directo de los grupos cíclicos de órdenes 8 y 2. El grupo no abeliano es ese producto semidirecto de y en el que el elemento no identidad de se asigna al automorfismo de multiplicar por 5 de .
Al dibujar los gráficos de ciclo de esos dos grupos, tomamos como generados por los elementos s y t con
donde esa última relación hace abeliana. Y tomamos como generada por elementos 𝜎 y 𝜏 con
Aquí se muestran los gráficos de ciclos para esos dos grupos, donde elegimos generar el ciclo verde a la izquierda y generar ese ciclo a la derecha:
En el gráfico de la derecha, el ciclo verde, después de pasar de 1 a , se mueve al lado de porque
Los grafos de ciclos fueron investigados por el teórico de números Daniel Shanks a principios de la década de 1950 como una herramienta para estudiar grupos multiplicativos de clases de residuos . [3] Shanks publicó por primera vez la idea en la primera edición de 1962 de su libro Solved and Unsolved Problems in Number Theory . [4] En el libro, Shanks investiga qué grupos tienen grafos de ciclos isomorfos y cuándo un grafo de ciclos es planar . [5] En la segunda edición de 1978, Shanks reflexiona sobre su investigación sobre grupos de clases y el desarrollo del método de pasos gigantes : [6]
Los gráficos de ciclo han demostrado ser útiles cuando se trabaja con grupos abelianos finitos; y los he utilizado con frecuencia para orientarme en una estructura intrincada [77, pág. 852], para obtener una relación multiplicativa deseada [78, pág. 426] o para aislar algún subgrupo deseado [79].
Los gráficos de ciclos se utilizan como herramienta pedagógica en el libro de texto introductorio Visual Group Theory de Nathan Carter de 2009. [7]
Ciertos tipos de grupos dan gráficos típicos:
Los grupos cíclicos Z n , de orden n , son un ciclo único graficado simplemente como un polígono de n lados con los elementos en los vértices:
Cuando n es un número primo , los grupos de la forma (Z n ) m tendrán ciclos de ( n m − 1)/( n − 1) n elementos que comparten el elemento identidad:
Los grupos diedros Dih n , orden 2 n constan de un ciclo de n elementos y n ciclos de 2 elementos:
Grupos dicíclicos , Dic n = Q 4 n , orden 4 n :
Otros productos directos :
Grupos simétricos – El grupo simétrico S n contiene, para cualquier grupo de orden n , un subgrupo isomorfo a ese grupo. Por lo tanto, el gráfico cíclico de cada grupo de orden n se encontrará en el gráfico cíclico de S n .
Véase el ejemplo: Subgrupos de S4
El grupo octaédrico completo es el producto directo del grupo simétrico S 4 y el grupo cíclico Z 2 .
Su orden es 48 y tiene subgrupos de cada orden que divide a 48.
En los ejemplos siguientes, los nodos que están relacionados entre sí se colocan uno al lado del otro,
por lo que estos no son los gráficos de ciclo más simples posibles para estos grupos (como los de la derecha).
Como todos los gráficos, un gráfico cíclico se puede representar de distintas maneras para enfatizar distintas propiedades. Las dos representaciones del gráfico cíclico de S 4 son un ejemplo de ello.
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