Dominio Goldman

En matemáticas , un dominio de Goldman o G-dominio es un dominio integral A cuyo campo de fracciones es un álgebra finitamente generada sobre A. ^[1] Reciben su nombre en honor a Oscar Goldman .

Un anillo superior (es decir, un anillo intermedio que se encuentra entre el anillo y su cuerpo de fracciones) de un dominio de Goldman es a su vez un dominio de Goldman. Existe un dominio de Goldman donde todos los ideales primos distintos de cero son máximos aunque exista una cantidad infinita de ideales primos. ^[2]

Un ideal I en un anillo conmutativo A se denomina ideal de Goldman si el cociente A / I es un dominio de Goldman. Por lo tanto, un ideal de Goldman es primo, pero no necesariamente máximo. De hecho, un anillo conmutativo es un anillo de Jacobson si y solo si todos los ideales de Goldman que contiene son máximos.

La noción de ideal de Goldman se puede utilizar para dar una caracterización ligeramente más precisa de un radical de un ideal : el radical de un ideal  I es la intersección de todos los ideales de Goldman que contienen  a I.

Definición alternativa

Un dominio integral es un G-dominio si y solo si: ${\displaystyle D}$

1. Su campo de fracciones es una simple extensión de ${\displaystyle D}$
2. La intersección de sus ideales primos distintos de cero (que no debe confundirse con el radical nil ) es distinta de cero.
3. Hay un elemento distinto de cero tal que para cualquier ideal distinto de cero , para algún . ^[3] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle u^{n}\in I}$ ${\displaystyle n}$

Un G-ideal se define como un ideal tal que es un G-dominio. Dado que un anillo factorial es un dominio integral si y solo si el anillo está factorizado por un ideal primo, cada G-ideal es también un ideal primo. Los G-ideales pueden usarse como una colección refinada de ideales primos en el siguiente sentido: el radical de un ideal puede caracterizarse como la intersección de todos los ideales primos que contienen al ideal y, de hecho, todavía obtenemos el radical incluso si tomamos la intersección sobre los G-ideales. ^[4] ${\displaystyle I\subset R}$ ${\displaystyle R/I}$

Todo ideal maximal es un G-ideal, puesto que el cociente por ideal maximal es un cuerpo , y un cuerpo es trivialmente un G-dominio. Por lo tanto, los ideales maximal son G-ideales, y los G-ideales son ideales primos. Los G-ideales son los únicos ideales maximal en un anillo de Jacobson , y de hecho esta es una caracterización equivalente de los anillos de Jacobson: un anillo es un anillo de Jacobson cuando todos los G-ideales son ideales maximal. Esto conduce a una prueba simplificada del Nullstellensatz . ^[5]

Se sabe que dado , una extensión de anillo de un dominio G, es algebraico sobre si y solo si cada extensión de anillo entre y es un dominio G. ^[6] ${\displaystyle T\supset R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R}$

Un dominio noetheriano es un dominio G si y solo si su dimensión de Krull es como máximo uno, y tiene solo un número finito de ideales máximos (o equivalentemente, ideales primos). ^[7]

Notas

1. Los dominios/ideales de Goldman se denominan dominios/ideales G en (Kaplansky 1974).
2. Kaplansky, pág. 13
3. Kaplansky, Irving. Álgebra conmutativa . The University of Chicago Press, 1974, págs. 12, 13.
4. Kaplansky, Irving. Álgebra conmutativa . The University of Chicago Press, 1974, págs. 16, 17.
5. Kaplansky, Irving. Álgebra conmutativa . The University of Chicago Press, 1974, pág. 19.
6. Dobbs, David. "Pares de dominio G". Tendencias en la investigación del álgebra conmutativa, Nova Science Publishers, 2003, págs. 71–75.
7. Kaplansky, Irving. Álgebra conmutativa . The University of Chicago Press, 1974, pág. 107.

Referencias

• Kaplansky, Irving (1974), Anillos conmutativos (edición revisada), University of Chicago Press , ISBN 0-226-42454-5, Sr.  0345945
• Picavet, Gabriel (1999), "About MCD domains", en Dobbs, David E. (ed.), Advances in commutative ring theory. Actas de la 3.ª conferencia internacional, Fez, Marruecos , Lect. Notes Pure Appl. Math., vol. 205, Nueva York, NY: Marcel Dekker, págs. 501–519, ISBN 0824771478, Zbl0982.13012 ​