Las matemáticas babilónicas (también conocidas como matemáticas asirio-babilónicas ) [1] [2] [3] [4] son las matemáticas desarrolladas o practicadas por los pueblos de Mesopotamia , como lo atestiguan fuentes que sobreviven principalmente desde el período Babilónico Antiguo (1830-1531 a. C.) hasta el Seléucida de los últimos tres o cuatro siglos a. C. Con respecto al contenido, apenas hay diferencias entre los dos grupos de textos. Las matemáticas babilónicas se mantuvieron constantes, en carácter y contenido, durante más de un milenio. [5]
En contraste con la escasez de fuentes en matemáticas egipcias , el conocimiento de las matemáticas babilónicas se deriva de cientos de tablillas de arcilla desenterradas desde la década de 1850. Escritas en cuneiforme , las tablillas se inscribían mientras la arcilla estaba húmeda y se horneaban en un horno o al calor del sol. La mayoría de las tablillas de arcilla recuperadas datan de 1800 a 1600 a. C. y cubren temas que incluyen fracciones , álgebra , ecuaciones cuadráticas y cúbicas y el teorema de Pitágoras . La tablilla babilónica YBC 7289 da una aproximación precisa de tres dígitos sexagesimales significativos (alrededor de seis dígitos decimales significativos).
Las matemáticas babilónicas son un conjunto de prácticas matemáticas numéricas y más avanzadas del antiguo Cercano Oriente , escritas en escritura cuneiforme . El estudio se ha centrado históricamente en el período babilónico antiguo de la Primera dinastía babilónica a principios del segundo milenio a. C. debido a la riqueza de los datos disponibles. Ha habido un debate sobre la aparición más temprana de las matemáticas babilónicas, y los historiadores sugieren un rango de fechas entre el quinto y el tercer milenio a. C. [6] Las matemáticas babilónicas se escribieron principalmente en tablillas de arcilla en escritura cuneiforme en las lenguas acadia o sumeria .
"Matemáticas babilónicas" es quizás un término poco útil ya que los primeros orígenes sugeridos datan del uso de dispositivos de contabilidad, como bullae y tokens , en el quinto milenio antes de Cristo. [7]
El sistema babilónico de matemáticas era un sistema de numeración sexagesimal (base 60) . De esto derivamos el uso moderno de 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora y 360 grados en un círculo. [8] Los babilonios pudieron hacer grandes avances en matemáticas por dos razones. En primer lugar, el número 60 es un número altamente compuesto superior , que tiene factores de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (incluidos los que son compuestos), lo que facilita los cálculos con fracciones . Además, a diferencia de los egipcios y los romanos, los babilonios tenían un verdadero sistema de valor posicional , donde los dígitos escritos en la columna de la izquierda representaban valores mayores (de manera muy similar a como, en nuestro sistema de base diez, 734 = 7 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1). [9]
Los babilonios utilizaban tablas precalculadas para facilitar la aritmética . Por ejemplo, dos tablillas encontradas en Senkerah, a orillas del Éufrates , en 1854, que datan del año 2000 a. C., contienen listas de los cuadrados de los números hasta el 59 y de los cubos de los números hasta el 32. Los babilonios utilizaban las listas de cuadrados junto con las fórmulas:
Para simplificar la multiplicación.
Los babilonios no tenían un algoritmo para la división larga . [10] En cambio, basaron su método en el hecho de que:
junto con una tabla de recíprocos . Los números cuyos únicos factores primos son 2, 3 o 5 (conocidos como números 5- simples o regulares ) tienen recíprocos finitos en notación sexagesimal, y se han encontrado tablas con extensas listas de estos recíprocos.
Los recíprocos como 1/7, 1/11, 1/13, etc. no tienen representaciones finitas en notación sexagesimal. Para calcular 1/13 o dividir un número por 13, los babilonios utilizaban una aproximación como la siguiente:
La tablilla de arcilla babilónica YBC 7289 ( c. 1800–1600 a. C. ) da una aproximación de √ 2 en cuatro cifras sexagesimales , 𒐕 𒌋𒌋𒐼 𒐐𒐕 𒌋 = 1;24,51,10, [11] que es precisa hasta aproximadamente seis dígitos decimales , [12] y es la representación sexagesimal de tres lugares más cercana posible de √ 2 :
Además de los cálculos aritméticos, los matemáticos babilónicos también desarrollaron métodos algebraicos para resolver ecuaciones . Una vez más, estos se basaban en tablas precalculadas.
Para resolver una ecuación cuadrática , los babilonios usaban básicamente la fórmula cuadrática estándar . Consideraban ecuaciones cuadráticas de la forma:
donde b y c no eran necesariamente números enteros, pero c siempre era positivo. Sabían que una solución para esta forma de ecuación es: [13]
y encontraron raíces cuadradas de manera eficiente usando división y promedio. [14] Los problemas de este tipo incluían encontrar las dimensiones de un rectángulo dada su área y la cantidad en la que el largo excede el ancho.
Las tablas de valores de n 3 + n 2 se utilizaron para resolver ciertas ecuaciones cúbicas . Por ejemplo, considere la ecuación:
Multiplicando la ecuación por a 2 y dividiendo por b 3 obtenemos:
Sustituyendo y = ax / b obtenemos:
que ahora se podía resolver consultando la tabla n 3 + n 2 para encontrar el valor más cercano al lado derecho. Los babilonios lograron esto sin notación algebraica, lo que demuestra una notable profundidad de comprensión. Sin embargo, no tenían un método para resolver la ecuación cúbica general.
Los babilonios modelaron el crecimiento exponencial, el crecimiento restringido (a través de una forma de funciones sigmoides ) y el tiempo de duplicación , este último en el contexto del interés de los préstamos.
Las tablillas de arcilla de alrededor del año 2000 a. C. incluyen el ejercicio "Dada una tasa de interés de 1/60 por mes (sin interés compuesto), calcule el tiempo de duplicación". Esto arroja una tasa de interés anual de 12/60 = 20% y, por lo tanto, un tiempo de duplicación de 100% de crecimiento/20% de crecimiento por año = 5 años. [15] [16]
La tablilla Plimpton 322 contiene una lista de " triples pitagóricos ", es decir, números enteros tales que . Los triples son demasiado numerosos y demasiado grandes para haber sido obtenidos por la fuerza bruta.
Se ha escrito mucho sobre el tema, incluidas algunas especulaciones (quizás anacrónicas) sobre si la tablilla podría haber servido como una tabla trigonométrica primitiva. Hay que tener cuidado y analizar la tablilla en términos de métodos familiares o accesibles para los escribas de la época.
[...] la pregunta "¿cómo se calculó la tablilla?" no tiene por qué tener la misma respuesta que la pregunta "¿qué problemas plantea la tablilla?" La primera puede responderse más satisfactoriamente mediante pares recíprocos, como se sugirió por primera vez hace medio siglo, y la segunda mediante algún tipo de problemas de triángulos rectángulos. [17]
Los babilonios conocían las reglas comunes para medir volúmenes y áreas. Midieron la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro y el área como un doceavo del cuadrado de la circunferencia, lo que sería correcto si π se estima como 3. Eran conscientes de que se trataba de una aproximación, y una tablilla matemática babilónica antigua excavada cerca de Susa en 1936 (datada entre los siglos XIX y XVII a.C.) da una mejor aproximación de π como 25/8 = 3,125, aproximadamente un 0,5 por ciento por debajo del valor exacto. [18] El volumen de un cilindro se tomaba como el producto de la base por la altura, sin embargo, el volumen del tronco de un cono o una pirámide cuadrada se tomaba incorrectamente como el producto de la altura por la mitad de la suma de las bases. La regla de Pitágoras también era conocida por los babilonios. [19] [20] [21]
La "milla babilónica" era una medida de distancia equivalente a unos 11,3 km (o unas siete millas modernas). Esta medida de distancias se convirtió con el tiempo en una "milla de tiempo" utilizada para medir el recorrido del Sol y, por lo tanto, para representar el tiempo. [22]
Los astrónomos babilónicos llevaban registros detallados de la salida y puesta de las estrellas , el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares , todo lo cual requería familiaridad con las distancias angulares medidas en la esfera celeste . [23]
También utilizaron una forma de análisis de Fourier para calcular una efemérides (tabla de posiciones astronómicas), que fue descubierta en la década de 1950 por Otto Neugebauer . [24] [25] [26] [27] Para realizar cálculos de los movimientos de los cuerpos celestes, los babilonios utilizaban aritmética básica y un sistema de coordenadas basado en la eclíptica , la parte de los cielos por donde viajan el sol y los planetas.
Las tablillas conservadas en el Museo Británico son una prueba de que los babilonios llegaron incluso a tener un concepto de los objetos en un espacio matemático abstracto. Las tablillas datan de entre el 350 y el 50 a. C., lo que revela que los babilonios comprendían y utilizaban la geometría incluso antes de lo que se creía. Los babilonios utilizaban un método para estimar el área bajo una curva dibujando un trapezoide debajo, una técnica que se creía que se originó en la Europa del siglo XIV. Este método de estimación les permitió, por ejemplo, encontrar la distancia que había recorrido Júpiter en una cierta cantidad de tiempo. [28]
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