Superficie gaussiana

Superficie cerrada en el espacio tridimensional

Una superficie gaussiana cilíndrica se utiliza comúnmente para calcular la carga eléctrica de un cable recto, "ideal" e infinitamente largo.

Una superficie gaussiana es una superficie cerrada en el espacio tridimensional a través de la cual se calcula el flujo de un campo vectorial ; usualmente el campo gravitacional , campo eléctrico o campo magnético . ^[1] Es una superficie cerrada arbitraria S = ∂ V (el límite de una región tridimensional V ) utilizada junto con la ley de Gauss para el campo correspondiente ( ley de Gauss , ley de Gauss para el magnetismo o ley de Gauss para la gravedad ) realizando una integral de superficie , para calcular la cantidad total de la cantidad fuente encerrada; por ejemplo, cantidad de masa gravitacional como fuente del campo gravitacional o cantidad de carga eléctrica como fuente del campo electrostático, o viceversa: calcular los campos para la distribución de la fuente.

Para ser más concretos, en este artículo se considera el campo eléctrico, ya que es el tipo de campo más frecuente para el que se utiliza el concepto de superficie.

Las superficies gaussianas suelen elegirse con cuidado para aprovechar las simetrías de una situación y simplificar el cálculo de la integral de superficie . Si la superficie gaussiana se elige de modo que para cada punto de la superficie el componente del campo eléctrico a lo largo del vector normal sea constante, entonces el cálculo no requerirá una integración difícil ya que las constantes que surgen pueden sacarse de la integral. Se define como la superficie cerrada en el espacio tridimensional mediante la cual se puede calcular el flujo del campo vectorial.

Superficies gaussianas comunes

Ejemplos de superficies gaussianas válidas (izquierda) e inválidas (derecha). Izquierda: Algunas superficies gaussianas válidas incluyen la superficie de una esfera, la superficie de un toro y la superficie de un cubo. Son superficies cerradas que encierran por completo un volumen 3D. Derecha: Algunas superficies que NO PUEDEN usarse como superficies gaussianas, como la superficie del disco , la superficie del cuadrado o la superficie del hemisferio. No encierran por completo un volumen 3D y tienen límites (rojo). Tenga en cuenta que los planos infinitos pueden aproximarse a las superficies gaussianas.

La mayoría de los cálculos que utilizan superficies gaussianas comienzan implementando la ley de Gauss (para la electricidad): ^[2]

${\displaystyle \Phi _{E}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}.}$

Por lo tanto, Q _enc es la carga eléctrica encerrada por la superficie gaussiana.

Esta es la ley de Gauss, que combina el teorema de divergencia y la ley de Coulomb .

Superficie esférica

Se utiliza una superficie gaussiana esférica para encontrar el campo eléctrico o el flujo producido por cualquiera de los siguientes: ^[3]

• una carga puntual
• una capa esférica de carga distribuida uniformemente
• cualquier otra distribución de carga con simetría esférica

La superficie esférica gaussiana se elige de modo que sea concéntrica con la distribución de carga.

Como ejemplo, considere una carcasa esférica cargada S de espesor despreciable, con una carga Q uniformemente distribuida y un radio R. Podemos usar la ley de Gauss para encontrar la magnitud del campo eléctrico resultante E a una distancia r del centro de la carcasa cargada. Es inmediatamente evidente que para una superficie gaussiana esférica de radio r < R la carga encerrada es cero: por lo tanto, el flujo neto es cero y la magnitud del campo eléctrico en la superficie gaussiana también es 0 (haciendo que Q _A = 0 en la ley de Gauss, donde Q _A es la carga encerrada por la superficie gaussiana).

Con el mismo ejemplo, utilizando una superficie gaussiana más grande fuera de la capa donde r > R , la ley de Gauss producirá un campo eléctrico distinto de cero. Esto se determina de la siguiente manera.

El flujo que sale de la superficie esférica S es:

${\displaystyle \Phi _{E}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial S}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\iint _{c}EdA\cos 0^{\circ }=E\iint _{S}dA}$

El área superficial de la esfera de radio r es lo que implica $${\displaystyle \iint _{S}dA=4\pi r^{2}}$$ $${\displaystyle \Phi _{E}=E4\pi r^{2}}$$

Por la ley de Gauss, el flujo también se iguala finalmente a la expresión para Φ _E que da la magnitud del campo E en la posición r : $${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}}$$ $${\displaystyle E4\pi r^{2}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {Q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}.}$$

Este resultado no trivial muestra que cualquier distribución esférica de carga actúa como una carga puntual cuando se observa desde el exterior de la distribución de carga; esto es, de hecho, una verificación de la ley de Coulomb . Y, como se mencionó, cualquier carga exterior no cuenta.

Superficie cilíndrica

Se utiliza una superficie gaussiana cilíndrica para encontrar el campo eléctrico o el flujo producido por cualquiera de los siguientes: ^[3]

• una línea infinitamente larga de carga uniforme
• un plano infinito de carga uniforme
• Un cilindro infinitamente largo de carga uniforme.

Como ejemplo se da a continuación un "campo cerca de una línea de carga infinita";

Consideremos un punto P a una distancia r de una carga lineal infinita que tiene una densidad de carga (carga por unidad de longitud) λ. Imaginemos una superficie cerrada en forma de cilindro cuyo eje de rotación es la carga lineal. Si h es la longitud del cilindro, entonces la carga encerrada en el cilindro es donde q es la carga encerrada en la superficie gaussiana. Hay tres superficies a , b y c como se muestra en la figura. El área del vector diferencial es d A , en cada superficie a , b y c . $${\displaystyle q=\lambda h,}$$

Superficie cerrada en forma de cilindro que tiene carga lineal en el centro y que muestra áreas diferenciales d A de las tres superficies.

El paso de flujo consta de tres contribuciones:

${\displaystyle \Phi _{E}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\iint _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }$

Para las superficies a y b, E y d A serán perpendiculares . Para la superficie c, E y d A serán paralelas , como se muestra en la figura.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{E}&=\iint _{a}EdA\cos 90^{\circ }+\iint _{b}EdA\cos 90^{\circ }+\iint _{c}EdA\cos 0^{\circ }\\&=E\iint _{c}dA\end{aligned}}}$$

El área de la superficie del cilindro es lo que implica $${\displaystyle \iint _{c}dA=2\pi rh}$$ $${\displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh.}$$

Por la ley de Gauss, igualando para Φ _E se obtiene $${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$$ $${\displaystyle E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}}$$

Pastillero gaussiano

Esta superficie se utiliza con mayor frecuencia para determinar el campo eléctrico debido a una lámina infinita de carga con densidad de carga uniforme, o una placa de carga con un espesor finito. El pastillero tiene forma cilíndrica y se puede pensar que consta de tres componentes: el disco en un extremo del cilindro con área πR ² , el disco en el otro extremo con área igual y el lado del cilindro. La suma del flujo eléctrico a través de cada componente de la superficie es proporcional a la carga encerrada en el pastillero, como lo dicta la Ley de Gauss. Debido a que el campo cercano a la lámina se puede aproximar como constante, el pastillero está orientado de manera que las líneas de campo penetran los discos en los extremos del campo en un ángulo perpendicular y el lado del cilindro es paralelo a las líneas de campo.

Véase también

• Área
• Área de superficie
• Cálculo vectorial
• Integración
• Teorema de divergencia
• Jaula de Faraday
• Teoría de campos
• Línea de campo

Referencias

1. Principios esenciales de física, PM Whelan, MJ Hodgeson, 2.ª edición, 1978, John Murray, ISBN  0-7195-3382-1
2. Introducción a la electrodinámica (4.ª edición), DJ Griffiths, 2012, ISBN 978-0-321-85656-2 
3. Física para científicos e ingenieros - con física moderna (sexta edición), PA Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN 0-7167-8964-7 

• Purcell, Edward M. (1985). Electricidad y magnetismo . McGraw-Hill. ISBN 0-07-004908-4.
• Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3.ª ed.) . Wiley. ISBN 0-471-30932-X.

Lectura adicional

• Electromagnetismo (2.ª edición) , IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9 

Enlaces externos

• Campos Archivado el 27 de mayo de 2010 en Wayback Machine - un capítulo de un libro de texto en línea