Proyección transversal de Mercator

Adaptación de la proyección estándar de Mercator

Una proyección transversal de Mercator

La proyección cartográfica transversal de Mercator ( TM , TMP ) es una adaptación de la proyección estándar de Mercator . La versión transversal se utiliza ampliamente en sistemas cartográficos nacionales e internacionales de todo el mundo, incluido el Universal Transverse Mercator . Cuando se combina con un datum geodésico adecuado , la proyección transversal de Mercator ofrece una alta precisión en zonas con una extensión este-oeste inferior a unos pocos grados.

Aspectos estándar y transversales

Comparación de las formas tangente y secante de las proyecciones normal, oblicua y transversal de Mercator con paralelas estándar en rojo

La proyección transversal de Mercator es el aspecto transversal de la proyección estándar (o normal ) de Mercator. Comparten la misma construcción matemática subyacente y, en consecuencia, la proyección transversal de Mercator hereda muchos rasgos de la proyección normal de Mercator:

• Ambas proyecciones son cilíndricas : para la proyección normal de Mercator, el eje del cilindro coincide con el eje polar y la línea de tangencia con el ecuador. Para la proyección transversal de Mercator, el eje del cilindro se encuentra en el plano ecuatorial y la línea de tangencia es un meridiano cualquiera, denominado así meridiano central .
• Ambas proyecciones pueden modificarse a formas secantes, lo que significa que la escala se ha reducido para que el cilindro corte el globo modelo.
• Ambos existen en versiones esféricas y elipsoidales .
• Ambas proyecciones son conformes , de modo que la escala de puntos es independiente de la dirección y las formas locales se conservan bien;
• Ambas proyecciones tienen escala constante en la línea de tangencia (el ecuador para la normal de Mercator y el meridiano central para la transversal).

Dado que el meridiano central de la proyección transversal de Mercator se puede elegir a voluntad, se puede utilizar para construir mapas de gran precisión (de ancho reducido) en cualquier parte del globo. La forma secante y elipsoidal de la proyección transversal de Mercator es la más utilizada de todas para mapas precisos a gran escala.

Mercator transversal esférico

Al construir un mapa en cualquier proyección, normalmente se elige una esfera para modelar la Tierra cuando la extensión de la región mapeada excede unos pocos cientos de kilómetros de longitud en ambas dimensiones. Para mapas de regiones más pequeñas, se debe elegir un modelo elipsoidal si se requiere mayor precisión; vea la siguiente sección. La forma esférica de la proyección transversal de Mercator fue una de las siete nuevas proyecciones presentadas, en 1772, por Johann Heinrich Lambert . ^{[1] [2]} (El texto también está disponible en una traducción moderna al inglés. ^[3] ) Lambert no nombró sus proyecciones; el nombre de proyección transversal de Mercator data de la segunda mitad del siglo XIX. ^[4] Aquí se presentan las principales propiedades de la proyección transversal en comparación con las propiedades de la proyección normal.

Proyecciones esféricas normales y transversales

Mercator transversal elipsoidal

La forma elipsoidal de la proyección transversal de Mercator fue desarrollada por Carl Friedrich Gauss en 1822 ^[5] y analizada más a fondo por Johann Heinrich Louis Krüger en 1912. ^[6]

La proyección se conoce con varios nombres: proyección transversal elipsoidal de Mercator en los EE. UU.; proyección conforme de Gauss o Gauss-Krüger en Europa; o proyección transversal de Gauss-Krüger de Mercator de forma más general. Además de ser un simple sinónimo de la proyección cartográfica transversal elipsoidal de Mercator, el término Gauss-Krüger se puede utilizar de otras formas ligeramente diferentes:

• En ocasiones, el término se utiliza para un método computacional particular para la proyección transversal de Mercator: es decir, cómo convertir entre latitud/longitud y coordenadas proyectadas. No existe una fórmula simple y cerrada para hacerlo cuando la Tierra se modela como un elipsoide. Pero el método de Gauss-Krüger da los mismos resultados que otros métodos, al menos si se está lo suficientemente cerca del meridiano central: a menos de 100 grados de longitud, por ejemplo. Más lejos, algunos métodos se vuelven inexactos.
• El término también se utiliza para un conjunto particular de proyecciones transversales de Mercator utilizadas en zonas estrechas de Europa y Sudamérica, al menos en Alemania, Turquía, Austria, Eslovenia, Croacia, Bosnia-Herzegovina, Serbia, Montenegro, Macedonia del Norte, Finlandia y Argentina. Este sistema de Gauss-Krüger es similar al sistema transversal universal de Mercator , pero los meridianos centrales de las zonas de Gauss-Krüger están separados solo 3°, a diferencia de los 6° en UTM.

La proyección es conforme a una escala constante en el meridiano central. (Existen otras generalizaciones conformes de la proyección transversal de Mercator desde la esfera hasta el elipsoide, pero sólo la de Gauss-Krüger tiene una escala constante en el meridiano central). A lo largo del siglo XX, la proyección transversal de Mercator de Gauss-Krüger fue adoptada, de una forma u otra, por muchas naciones (y organismos internacionales); ^[7] además, proporciona la base para la serie de proyecciones transversales universales de Mercator . La proyección de Gauss-Krüger es ahora la proyección más utilizada en la cartografía precisa a gran escala. ^{[ cita requerida ]}

La proyección, tal como la desarrollaron Gauss y Krüger, se expresó en términos de series de potencias de orden bajo que se suponía que divergían en dirección este-oeste, exactamente como en la versión esférica. Esto fue demostrado por el cartógrafo británico EH Thompson, cuya versión exacta (forma cerrada) inédita de la proyección, reportada por Laurence Patrick Lee en 1976, ^[8] mostró que la proyección elipsoidal es finita (abajo). Esta es la diferencia más llamativa entre las versiones esférica y elipsoidal de la proyección transversal de Mercator: Gauss-Krüger da una proyección razonable de todo el elipsoide al plano, aunque su principal aplicación es para mapear con precisión a gran escala "cerca" del meridiano central. ^{[ cita requerida ]}

Proyección elipsoidal transversal de Mercator: una proyección finita.

Características

• Cerca del meridiano central (Greenwich en el ejemplo anterior) la proyección tiene baja distorsión y las formas de África, Europa occidental, las Islas Británicas, Groenlandia y la Antártida se comparan favorablemente con un globo.
• Las regiones centrales de las proyecciones transversales sobre la esfera y el elipsoide son indistinguibles en las proyecciones a pequeña escala que se muestran aquí.
• Los meridianos situados a 90° al este y al oeste del meridiano central elegido se proyectan en líneas horizontales que pasan por los polos. El hemisferio más alejado se proyecta por encima del polo norte y por debajo del polo sur.
• El ecuador divide África en dos, cruza Sudamérica y continúa hasta el límite exterior completo de la proyección; se deben identificar los bordes superior e inferior y los bordes derecho e izquierdo (es decir, representan las mismas líneas en el globo). (Indonesia está dividida en dos).
• La distorsión aumenta hacia los límites derecho e izquierdo de la proyección, pero no aumenta hasta el infinito. Observe las Islas Galápagos, donde el meridiano oeste de 90° se encuentra con el ecuador en la parte inferior izquierda.
• El mapa es conforme. Las líneas que se intersecan en cualquier ángulo especificado en el elipsoide se proyectan en líneas que se intersecan en el mismo ángulo en la proyección. En particular, los paralelos y meridianos se intersecan a 90°.
• El factor de escala de puntos es independiente de la dirección en cualquier punto, de modo que la forma de una región pequeña se conserva razonablemente bien. La condición necesaria es que la magnitud del factor de escala no debe variar demasiado en la región en cuestión. Obsérvese que, si bien América del Sur está muy distorsionada, la isla de Ceilán es lo suficientemente pequeña como para tener una forma razonable, aunque está lejos del meridiano central.
• La elección del meridiano central afecta en gran medida la apariencia de la proyección. Si se elige 90°O, entonces toda América es razonable. Si se elige 145°E, el Lejano Oriente es adecuado y Australia está orientada con el norte hacia arriba.

En la mayoría de las aplicaciones, el sistema de coordenadas de Gauss-Krüger se aplica a una franja estrecha cerca de los meridianos centrales, donde las diferencias entre las versiones esférica y elipsoidal son pequeñas, pero importantes para un mapeo preciso. Las series directas para la escala, la convergencia y la distorsión son funciones de la excentricidad y tanto de la latitud como de la longitud en el elipsoide: las series inversas son funciones de la excentricidad y tanto de x como de y en la proyección. En la versión secante, las líneas de escala verdadera en la proyección ya no son paralelas al meridiano central; se curvan ligeramente. El ángulo de convergencia entre los meridianos proyectados y las líneas de cuadrícula de la constante x ya no es cero (excepto en el ecuador), por lo que se debe corregir un rumbo de cuadrícula para obtener un acimut desde el norte verdadero. La diferencia es pequeña, pero no despreciable, particularmente en latitudes altas.

Implementaciones de la proyección de Gauss-Krüger

En su artículo de 1912 ^[6] , Krüger presentó dos soluciones distintas, que se distinguen aquí por el parámetro de expansión:

• Krüger– n (párrafos 5 a 8): Las fórmulas para la proyección directa, que dan las coordenadas x e y , son expansiones de cuarto orden en términos del tercer aplanamiento, n (la relación entre la diferencia y la suma de los ejes mayor y menor del elipsoide). Los coeficientes se expresan en términos de latitud ( φ ), longitud ( λ ), eje mayor ( a ) y excentricidad ( e ). Las fórmulas inversas para φ y λ también son expansiones de cuarto orden en n pero con coeficientes expresados ​​en términos de x , y , a y e .
• Krüger– λ (párrafos 13 y 14): Las fórmulas que dan las coordenadas de proyección x e y son expansiones (de órdenes 5 y 4 respectivamente) en términos de la longitud λ , expresada en radianes: los coeficientes se expresan en términos de φ , a y e . La proyección inversa para φ y λ son expansiones de sexto orden en términos de la razón ⁠incógnita/a⁠ , con coeficientes expresados ​​en términos de y , a y e . (Véase Transversal Mercator: Serie de Redfearn .)

Las series Krüger- λ fueron las primeras en implementarse, posiblemente porque eran mucho más fáciles de evaluar en las calculadoras manuales de mediados del siglo XX.

• Lee–Redfearn–OSGB : En 1945, LP Lee ^[9] confirmó las expansiones λ de Krüger y propuso su adopción por la OSGB ^[10] pero Redfearn (1948) ^[11] señaló que no eran precisas debido a (a) las latitudes relativamente altas de Gran Bretaña y (b) la gran anchura del área cartografiada, más de 10 grados de longitud. Redfearn extendió la serie al octavo orden y examinó qué términos eran necesarios para alcanzar una precisión de 1 mm (medición terrestre). La serie de Redfearn sigue siendo la base de las proyecciones cartográficas de la OSGB. ^[10]
• Thomas–UTM : Las expansiones λ de Krüger también fueron confirmadas por Paul Thomas en 1952: ^[12] están fácilmente disponibles en Snyder. ^[13] Sus fórmulas de proyección, completamente equivalentes a las presentadas por Redfearn, fueron adoptadas por la Agencia de Cartografía de Defensa de los Estados Unidos como base para el UTM . ^[14] También están incorporadas en el convertidor de coordenadas GEOTRANS ^[15] puesto a disposición por la Oficina de Geomática de la Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial de los Estados Unidos.
• Otros países : La serie Redfearn es la base para la cartografía geodésica en muchos países: Australia, Alemania, Canadá y Sudáfrica, por nombrar algunos. (Se incluye una lista en el Apéndice A.1 de Stuifbergen 2009.) ^[16]
• Se han propuesto muchas variantes de la serie Redfearn, pero sólo las adoptadas por las agencias cartográficas nacionales son importantes. Para un ejemplo de modificaciones que no tienen este estatus, véase Transverse Mercator: serie Bowring ). Todas estas modificaciones han sido eclipsadas por la potencia de las computadoras modernas y el desarrollo de las n -series de orden superior que se describen a continuación. La serie precisa de Redfearn, aunque de orden inferior, no puede ignorarse, ya que todavía está consagrada en las definiciones cuasi legales de OSGB y UTM, etc.

La serie Krüger -n ha sido implementada (hasta el cuarto orden en n ) por las siguientes naciones.

• Francia ^[17]
• Finlandia ^[18]
• Suecia ^[19]
• Japón ^[20]

^{Engsager y Poder [21]} han implementado versiones de orden superior de la serie Krüger –n hasta el séptimo orden y Kawase hasta el décimo orden. ^[22] Además de una expansión de la serie para la transformación entre latitud y latitud conforme, Karney ha implementado la serie hasta el trigésimo orden. ^[23]

Gauss-Krüger exacto y precisión de la serie truncada

LP Lee describe una solución exacta de EH Thompson. ^[8] Está construida en términos de funciones elípticas (definidas en los capítulos 19 y 22 del manual del NIST ^[24] ) que se pueden calcular con una precisión arbitraria utilizando sistemas de computación algebraica como Maxima. ^[25] Karney (2011) describe una implementación de la solución exacta de este tipo. ^{[23] [26]}

La solución exacta es una herramienta valiosa para evaluar la precisión de las series truncadas n y λ. Por ejemplo, la serie Krüger –n original de 1912 se compara muy favorablemente con los valores exactos: difieren en menos de 0,31 μm dentro de los 1000 km del meridiano central y en menos de 1 mm hasta los 6000 km. Por otro lado, la diferencia entre la serie Redfearn utilizada por GEOTRANS y la solución exacta es de menos de 1 mm hasta una diferencia de longitud de 3 grados, correspondiente a una distancia de 334 km desde el meridiano central en el ecuador, pero de apenas 35 km en el límite norte de una zona UTM. Por lo tanto, la serie Krüger– n es mucho mejor que la serie Redfearn λ.

La serie Redfearn empeora mucho a medida que la zona se ensancha. Karney analiza Groenlandia como un ejemplo ilustrativo. La larga y delgada masa continental está centrada en 42W y, en su punto más ancho, no está a más de 750 km de ese meridiano, mientras que la distancia en longitud alcanza casi los 50 grados. Krüger– n tiene una precisión de 1 mm, pero la versión Redfearn de la serie Krüger– λ tiene un error máximo de 1 kilómetro.

La serie de octavo orden (en n ) de Karney tiene una precisión de 5 nm dentro de los 3900 km del meridiano central.

Fórmulas para la recta esférica transversal de Mercator

La normal esférica de Mercator revisada

El aspecto normal de una proyección cilíndrica tangente de la esfera.

Las proyecciones cilíndricas normales se describen en relación con un cilindro tangente al ecuador con eje a lo largo del eje polar de la esfera. Las proyecciones cilíndricas se construyen de modo que todos los puntos de un meridiano se proyecten a puntos con (donde es el radio de la Tierra ) y es una función prescrita de . Para una proyección normal de Mercator tangente, las fórmulas (únicas) que garantizan la conformidad son: ^[27] ${\displaystyle x=a\lambda }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle x=a\lambda \,,\qquad y=a\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]={\frac {a}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right].}$

La conformidad implica que la escala del punto , k , es independiente de la dirección: es una función únicamente de la latitud:

${\displaystyle k(\varphi )=\sec \varphi .\,}$

Para la versión secante de la proyección hay un factor de k ₀ en el lado derecho de todas estas ecuaciones: esto asegura que la escala sea igual a k ₀ en el ecuador.

Retículas normales y transversales

Retículas transversales de Mercator

La figura de la izquierda muestra cómo se relaciona un cilindro transversal con la retícula convencional de la esfera. Es tangente a un meridiano elegido arbitrariamente y su eje es perpendicular al de la esfera. Los ejes x e y definidos en la figura se relacionan con el ecuador y el meridiano central exactamente como lo están para la proyección normal. En la figura de la derecha, una retícula rotada se relaciona con el cilindro transversal de la misma manera que el cilindro normal se relaciona con la retícula estándar. El "ecuador", los "polos" (E y O) y los "meridianos" de la retícula rotada se identifican con el meridiano central elegido, los puntos del ecuador a 90 grados al este y al oeste del meridiano central y los círculos máximos que pasan por esos puntos.

Geometría transversal de Mercator

La posición de un punto arbitrario ( φ , λ ) en la retícula estándar también se puede identificar en términos de ángulos en la retícula rotada: φ′ (ángulo M′CP) es una latitud efectiva y − λ′ (ángulo M′CO) se convierte en una longitud efectiva. (El signo menos es necesario para que ( φ′ , λ′ ) estén relacionados con la retícula rotada de la misma manera que ( φ , λ ) están relacionados con la retícula estándar). Los ejes cartesianos ( x′ , y′ ) están relacionados con la retícula rotada de la misma manera que los ejes ( x , y ) están relacionados con la retícula estándar.

La proyección transversal tangente de Mercator define las coordenadas ( x′ , y′ ) en términos de − λ′ y φ′ mediante las fórmulas de transformación de la proyección normal tangente de Mercator:

${\displaystyle x'=-a\lambda '\,\qquad y'={\frac {a}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi '}{1-\sin \varphi '}}\right].}$

Esta transformación proyecta el meridiano central en una línea recta de longitud finita y, al mismo tiempo, proyecta los círculos máximos que pasan por E y O (que incluyen el ecuador) en infinitas líneas rectas perpendiculares al meridiano central. Los verdaderos paralelos y meridianos (excepto el ecuador y el meridiano central) no tienen una relación simple con la retícula rotada y se proyectan en curvas complicadas.

La relación entre las retículas

Los ángulos de las dos retículas se relacionan mediante trigonometría esférica en el triángulo esférico NM′P definido por el meridiano verdadero que pasa por el origen, OM′N, el meridiano verdadero que pasa por un punto arbitrario, MPN, y el círculo máximo WM′PE. Los resultados son: ^[27]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \varphi '&=\sin \lambda \cos \varphi ,\\\tan \lambda '&=\sec \lambda \tan \varphi .\end{aligned}}}$

Fórmulas de transformación directa

Las fórmulas directas que dan las coordenadas cartesianas ( x , y ) se desprenden inmediatamente de lo anterior. Fijando x  =  y′ e y  = − x′ (y restableciendo los factores de k ₀ para dar cabida a las versiones secantes)

${\displaystyle {\begin{aligned}x(\lambda ,\varphi )&={\frac {1}{2}}k_{0}a\ln \left[{\frac {1+\sin \lambda \cos \varphi }{1-\sin \lambda \cos \varphi }}\right],\\[5px]y(\lambda ,\varphi )&=k_{0}a\arctan \left[\sec \lambda \tan \varphi \right],\end{aligned}}}$

Las expresiones anteriores se dan en Lambert ^[1] y también (sin derivaciones) en Snyder, ^[13] Maling ^[28] y Osborne ^[27] (con detalles completos).

Fórmulas de transformación inversa

Invirtiendo las ecuaciones anteriores se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (x,y)&=\arctan \left[\sinh {\frac {x}{k_{0}a}}\sec {\frac {y}{k_{0}a}}\right],\\[5px]\varphi (x,y)&=\arcsin \left[{\mbox{sech}}\;{\frac {x}{k_{0}a}}\sin {\frac {y}{k_{0}a}}\right].\end{aligned}}}$

Escala de puntos

En términos de las coordenadas con respecto a la retícula rotada, el factor de escala del punto está dado por k  = sec  φ′ : esto puede expresarse en términos de las coordenadas geográficas o en términos de las coordenadas de proyección:

${\displaystyle {\begin{aligned}k(\lambda ,\varphi )&={\frac {k_{0}}{\sqrt {1-\sin ^{2}\lambda \cos ^{2}\varphi }}},\\[5px]k(x,y)&=k_{0}\cosh \left({\frac {x}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}}$

La segunda expresión muestra que el factor de escala es simplemente una función de la distancia desde el meridiano central de la proyección. Un valor típico del factor de escala es k ₀  = 0,9996, de modo que k  = 1 cuando x es aproximadamente 180 km. Cuando x es aproximadamente 255 km y k ₀  = 1,0004: el factor de escala está dentro del 0,04% de la unidad en una franja de aproximadamente 510 km de ancho.

Convergencia

El ángulo de convergencia

El ángulo de convergencia γ en un punto de la proyección se define por el ángulo medido desde el meridiano proyectado, que define el norte verdadero, hasta una línea de cuadrícula de x constante , que define el norte de la cuadrícula. Por lo tanto, γ es positivo en el cuadrante al norte del ecuador y al este del meridiano central y también en el cuadrante al sur del ecuador y al oeste del meridiano central. La convergencia debe sumarse a un rumbo de cuadrícula para obtener un rumbo desde el norte verdadero. Para la secante transversal de Mercator, la convergencia puede expresarse ^[27] en términos de las coordenadas geográficas o en términos de las coordenadas de proyección:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (\lambda ,\varphi )&=\arctan(\tan \lambda \sin \varphi ),\\[5px]\gamma (x,y)&=\arctan \left(\tanh {\frac {x}{k_{0}a}}\tan {\frac {y}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}}$

Fórmulas para la elipse transversal de Mercator

Detalles de implementaciones reales

• Serie de Gauss-Kruger en longitud: Transversal de Mercator: Serie de Redfearn
• Serie de Gauss-Kruger en n (tercer aplanamiento): Mercator transversal: serie de aplanamiento
• Proyección transversal de Mercator exacta (forma cerrada): Proyección transversal de Mercator: solución exacta
• Serie de Redfearn de cuarto orden por fórmulas concisas (ejemplo): Mercator transversal: Serie de Bowring

Coordenadas, cuadrículas, coordenadas este y norte

Las coordenadas de la proyección resultantes de los distintos desarrollos de la elipsoidal transversal de Mercator son coordenadas cartesianas, de modo que el meridiano central corresponde al eje x y el ecuador al eje y . Tanto x como y están definidas para todos los valores de λ y ϕ . La proyección no define una cuadrícula: la cuadrícula es una construcción independiente que podría definirse arbitrariamente. En la práctica, las implementaciones nacionales y UTM sí utilizan cuadrículas alineadas con los ejes cartesianos de la proyección, pero son de extensión finita, con orígenes que no necesitan coincidir con la intersección del meridiano central con el ecuador.

El origen verdadero de la cuadrícula siempre se toma en el meridiano central, de modo que las coordenadas de la cuadrícula serán negativas al oeste del meridiano central. Para evitar estas coordenadas de cuadrícula negativas, la práctica estándar define un origen falso al oeste (y posiblemente al norte o al sur) del origen de la cuadrícula: las coordenadas relativas al origen falso definen coordenadas este y norte que siempre serán positivas. La coordenadas este falsas , E ₀ , es la distancia del origen verdadero de la cuadrícula al este del origen falso. La coordenadas norte falsas , N ₀ , es la distancia del origen verdadero de la cuadrícula al norte del origen falso. Si el origen verdadero de la cuadrícula está en la latitud φ ₀ en el meridiano central y el factor de escala del meridiano central es k _0, entonces estas definiciones dan coordenadas este y norte por:

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=E_{0}+x(\lambda ,\varphi ),\\[5px]N&=N_{0}+y(\lambda ,\varphi )-k_{0}m(\varphi _{0}).\end{aligned}}}$

Los términos "orientación este" y "orientación norte" no significan direcciones este y norte estrictas. Las líneas de la cuadrícula de la proyección transversal, distintas de los ejes x e y , no discurren en dirección norte-sur o este-oeste, tal como lo definen los paralelos y meridianos. Esto es evidente en las proyecciones globales que se muestran arriba. Cerca del meridiano central, las diferencias son pequeñas pero mensurables. La diferencia entre las líneas de la cuadrícula norte-sur y los meridianos verdaderos es el ángulo de convergencia.

Véase también

• Lista de proyecciones cartográficas
• Proyección de Mercator
• Escala (mapa)
• Proyección oblicua de Mercator

Referencias

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Enlaces externos

• Las proyecciones utilizadas para ilustrar este artículo se prepararon utilizando Geocart, que está disponible en Mapthematics Geocart 3