cociente git

En geometría algebraica , un cociente GIT afín , o cociente de teoría invariante geométrica afín , de un esquema afín con una acción por un esquema de grupo G es el esquema afín , el espectro primo del anillo de invariantes de A , y se denota por . Un cociente GIT es un cociente categórico : cualquier morfismo invariante lo influye de forma única. ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A^{G})}$ ${\displaystyle X/\!/G}$

Tomando Proj (de un anillo graduado ) en lugar de , se obtiene un cociente GIT proyectivo (que es un cociente del conjunto de puntos semiestables ). ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$

Un cociente GIT es un cociente categórico del lugar geométrico de puntos semiestables; es decir, "el" cociente del lugar semiestable. Como el cociente categórico es único, si hay un cociente geométrico , entonces las dos nociones coinciden: por ejemplo, se tiene

${\displaystyle G/H=G/\!/H=\operatorname {Spec} \!{\big (}k[G]^{H}{\big )}}$

para un grupo algebraico G sobre un campo k y subgrupo cerrado H . ^{[ se necesita aclaración ]}

Si X es una variedad proyectiva suave compleja y si G es un grupo de Lie complejo reductivo , entonces el cociente GIT de X por G es homeomorfo al cociente simpléctico de X por un subgrupo compacto máximo de G ( teorema de Kempf-Ness ).

Construcción de un cociente GIT

Sea G un grupo reductor que actúa sobre un esquema cuasi proyectivo X sobre un campo y L un paquete de líneas amplias linealizado sobre X. Dejar

${\displaystyle R=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,L^{\otimes n})}$

ser el anillo de sección. Por definición, el lugar semiestable es el complemento del cero fijado en X ; en otras palabras, es la unión de todos los subconjuntos abiertos para secciones globales s de , n grandes. Por amplitud, cada uno es afín; decir y así podemos formar el cociente GIT afín ${\displaystyle X^{ss}}$ ${\displaystyle V(R_{+}^{G})}$ ${\displaystyle U_{s}=\{s\neq 0\}}$ ${\displaystyle (L^{\otimes n})^{G}}$ ${\displaystyle U_{s}}$ ${\displaystyle U_{s}=\operatorname {Spec} (A_{s})}$

${\displaystyle \pi _{s}\colon U_{s}\to U_{s}/\!/G=\operatorname {Spec} (A_{s}^{G}).}$

Nótese que es de tipo finito según el teorema de Hilbert sobre el anillo de invariantes . Por propiedad universal de los cocientes categóricos , estos cocientes afines se unen y dan como resultado ${\displaystyle U_{s}/\!/G}$

${\displaystyle \pi \colon X^{ss}\to X/\!/_{L}G,}$

que es el cociente GIT de X con respecto a L . Tenga en cuenta que si X es proyectivo; es decir, es el Proj de R , entonces el cociente se da simplemente como el Proj del anillo de invariantes . ${\displaystyle X/\!/_{L}G}$ ${\displaystyle R^{G}}$

El caso más interesante es cuando el locus estable ^[1] no está vacío; es el conjunto abierto de puntos semiestables que tienen estabilizadores finitos y órbitas cerradas . En tal caso, el cociente GIT se restringe a ${\displaystyle X^{s}}$ ${\displaystyle X^{s}}$ ${\displaystyle X^{ss}}$

${\displaystyle \pi ^{s}\colon X^{s}\to X^{s}/\!/G,}$

que tiene la propiedad: cada fibra es una órbita. Es decir, es un cociente genuino (es decir, cociente geométrico ) y se escribe . Debido a esto, cuando no está vacío, el cociente GIT a menudo se denomina "compactación" de un cociente geométrico de un subconjunto abierto de X. ${\displaystyle \pi ^{s}}$ ${\displaystyle X^{s}/G=X^{s}/\!/G}$ ${\displaystyle X^{s}}$ ${\displaystyle \pi }$

Una pregunta difícil y aparentemente abierta es: ¿qué cociente geométrico surge del modo GIT anterior? La pregunta es de gran interés ya que el enfoque GIT produce un cociente explícito , a diferencia de un cociente abstracto, que es difícil de calcular. Una respuesta parcial conocida a esta pregunta es la siguiente: ^[2] sea una variedad algebraica factorial local (por ejemplo, una variedad suave) con una acción de . Supongamos que hay un subconjunto abierto y un cociente geométrico tal que (1) es un morfismo afín y (2) es cuasi proyectivo. Luego, para algún paquete de líneas linealizado L en X . (Una pregunta análoga es determinar qué subanillo es el anillo de invariantes de alguna manera). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \pi \colon U\to U/G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle U/G}$ ${\displaystyle U\subset X^{s}(L)}$

Ejemplos

Acción de grupo finito por z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2}

Un ejemplo simple de un cociente GIT lo da la acción -al enviar ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\mapsto (-x)&&y\mapsto (-y)\end{aligned}}}$

Observe que los monomios generan el anillo . Por tanto, podemos escribir el anillo de invariantes como ${\displaystyle x^{2},xy,y^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2}}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2}=\mathbb {C} [x^{2},xy,y^{2}]={\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}}$

Esquema teóricamente, obtenemos el morfismo.

${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}\to {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}\right)=:\mathbb {A} ^{2}/(\mathbb {Z} /2)}$

que es una subvariedad singular de con singularidad aislada en . Esto se puede comprobar utilizando los diferenciales, que son ${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}}$ ${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle df={\begin{bmatrix}c&-2b&a\end{bmatrix}}}$

por lo tanto, el único punto donde el diferencial y el polinomio desaparecen es en el origen. El cociente obtenido es una superficie cónica con un punto doble ordinario en el origen. ${\displaystyle f}$

Acción de toro en el avión.

Considere la acción toroidal de on by . Tenga en cuenta que esta acción tiene algunas órbitas: el origen , los ejes perforados y las cónicas afines dadas por para algunos . Entonces, el cociente GIT tiene una estructura de haz que es el subanillo de polinomios , por lo que es isomorfo a . Esto da el cociente GIT ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle t\cdot (x,y)=(tx,t^{-1}y)}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle \{(x,0):x\neq 0\},\{(0,y):y\neq 0\}}$ ${\displaystyle xy=a}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle X//\mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{2}}^{\mathbb {G} _{m}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [xy]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle \pi \colon \mathbb {A} ^{2}\to \mathbb {A} ^{2}//\mathbb {G} _{m}}$

Observe que la imagen inversa del punto está dada por las órbitas , lo que muestra que el cociente GIT no es necesariamente un espacio de órbita. Si así fuera, habría tres orígenes, un espacio no separado. ^[3] ${\displaystyle (0)}$ ${\displaystyle (0,0),\{(x,0):x\neq 0\},\{(0,y):y\neq 0\}}$

Ver también

• pila de cocientes
• variedad de personajes
• cociente de comida

Notas

1. NB: En (Mumford, Fogarty y Kirwan 1994), se le llamó conjunto de puntos propiamente estables.
2. Mumford, Fogarty y Kirwan 1994, Conversar 1.13. NB: aunque el resultado se indica para una variedad suave, la prueba es válida para una variedad localmente factorial.
3. Thomas, Richard P. (2006). "Notas sobre GIT y reducción simpléctica de haces y variedades". Levantamientos en Geometría Diferencial . 10 (1). Prensa internacional de Boston: 221–273. arXiv : matemáticas/0512411 . doi :10.4310/sdg.2005.v10.n1.a7. ISSN  1052-9233. SEÑOR  2408226. S2CID  16294331.

Referencias

Pedagógico

• Mukai, Shigeru (2002). Una introducción a las invariantes y los módulos. Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 81.ISBN​ 978-0-521-80906-1.
• Brión, Michel. «Introducción a las acciones de grupos algebraicos» (PDF) .
• Laza, Radu (15 de marzo de 2012). "GIT y módulos con un toque diferente". arXiv : 1111.3032 [matemáticas.AG].
• Thomas, Richard P. (2006). "Notas sobre GIT y reducción simpléctica de haces y variedades". Un homenaje al profesor S.-S. Chern . Levantamientos en Geometría Diferencial. vol. 10. págs. 221–273. arXiv : matemáticas/0512411 . doi :10.4310/SDG.2005.v10.n1.a7. SEÑOR  2408226. S2CID  16294331.

Referencias

• Alper, Jarod (14 de abril de 2008). "Buenos espacios de módulo para pilas de Artin". arXiv : 0804.2242 [matemáticas.AG].
• Doran, Brent; Kirwan, Frances (2007). "Hacia la teoría invariante geométrica no reductiva". Matemática Pura y Aplicada Trimestral . 3 (1, Número especial: En honor a Robert D. MacPherson. Parte 3): 61–105. arXiv : matemáticas/0703131 . Código Bib : 2007 matemáticas ...... 3131D. doi :10.4310/PAMQ.2007.v3.n1.a3. SEÑOR  2330155. S2CID  3190064.
• Hoskins, Victoria. "Cocientes en geometría algebraica y simpléctica".
• Kirwan, Frances C. (1984). Cohomología de cocientes en geometría compleja y algebraica . Notas matemáticas. vol. 31. Princeton Nueva Jersey: Princeton University Press .
• Mumford, David ; Fogarty, John; Kirwan, Frances (1994). Teoría de las invariantes geométricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (2)]. vol. 34 (3ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3. SEÑOR  1304906.