En matemáticas , se espera que las funciones L de la teoría de números tengan varias propiedades características, una de las cuales es que satisfacen ciertas ecuaciones funcionales . Existe una teoría elaborada sobre cómo deberían ser estas ecuaciones, gran parte de la cual aún es conjetural.
Un ejemplo prototípico, la función zeta de Riemann tiene una ecuación funcional que relaciona su valor en el número complejo s con su valor en 1 − s . En todos los casos esto se relaciona con algún valor ζ( s ) que solo se define por continuación analítica a partir de la definición de serie infinita . Es decir, escribiendo – como es convencional – σ para la parte real de s , la ecuación funcional relaciona los casos
y también cambia un caso con
En la franja crítica se pasa a otro caso similar, reflejado en la recta σ = ½. Por lo tanto, el uso de la ecuación funcional es básico para estudiar la función zeta en todo el plano complejo .
La ecuación funcional en cuestión para la función zeta de Riemann toma la forma simple
donde Z ( s ) es ζ( s ) multiplicado por un factor gamma , que involucra la función gamma . Esto ahora se lee como un factor 'extra' en el producto de Euler para la función zeta, correspondiente al primo infinito . La misma forma de ecuación funcional se cumple para la función zeta de Dedekind de un cuerpo numérico K , con un factor gamma apropiado que depende solo de las incrustaciones de K (en términos algebraicos, del producto tensorial de K con el cuerpo real ).
Existe una ecuación similar para las funciones L de Dirichlet , pero esta vez relacionándolas en pares: [1]
con χ un carácter primitivo de Dirichlet , χ * su conjugado complejo, Λ la función L multiplicada por un factor gamma, y ε un número complejo de valor absoluto 1, de forma
donde G (χ) es una suma de Gauss formada a partir de χ. Esta ecuación tiene la misma función en ambos lados si y solo si χ es un carácter real , que toma valores en {0,1,−1}. Entonces ε debe ser 1 o −1, y el caso del valor −1 implicaría un cero de Λ ( s ) en s = ½. Según la teoría (de Gauss, en efecto) de las sumas de Gauss, el valor es siempre 1, por lo que no puede existir un cero tan simple (la función es incluso sobre el punto).
Erich Hecke propuso una teoría unificada de tales ecuaciones funcionales , que fue retomada por John Tate en su tesis doctoral . Hecke encontró caracteres generalizados de cuerpos numéricos, ahora llamados caracteres de Hecke , para los cuales su demostración (basada en funciones theta ) también funcionó. Ahora se entiende que estos caracteres y sus funciones L asociadas están estrictamente relacionados con la multiplicación compleja , como los caracteres de Dirichlet lo están con los cuerpos ciclotómicos .
También hay ecuaciones funcionales para las funciones zeta locales , que surgen a un nivel fundamental para la dualidad de Poincaré (análoga a la) en la cohomología étale . Se conjetura que los productos de Euler de la función zeta de Hasse–Weil para una variedad algebraica V sobre un cuerpo de números K , formada mediante la reducción de ideales módulo primos para obtener funciones zeta locales, tienen una ecuación funcional global ; pero actualmente se considera que esto está fuera de alcance excepto en casos especiales. La definición se puede leer directamente de la teoría de la cohomología étale, nuevamente; pero en general parece requerirse algún supuesto proveniente de la teoría de la representación automórfica para obtener la ecuación funcional. La conjetura de Taniyama–Shimura fue un caso particular de esto como teoría general. Al relacionar el aspecto del factor gamma con la teoría de Hodge y estudios detallados del factor ε esperado, la teoría como empírica se ha llevado a un estado bastante refinado, incluso si faltan pruebas.
