Fórmula de Riemann-Siegel

En matemáticas , la fórmula de Riemann-Siegel es una fórmula asintótica para el error de la ecuación funcional aproximada de la función zeta de Riemann , una aproximación de la función zeta mediante una suma de dos series finitas de Dirichlet . Fue encontrado por Siegel (1932) en manuscritos inéditos de Bernhard Riemann que datan de la década de 1850. Siegel lo derivó de la fórmula integral de Riemann-Siegel , una expresión para la función zeta que involucra integrales de contorno . A menudo se utiliza para calcular valores de la fórmula de Riemann-Siegel, a veces en combinación con el algoritmo de Odlyzko-Schönhage, que lo acelera considerablemente. Cuando se usa a lo largo de la línea crítica, a menudo es útil usarlo en una forma en la que se convierte en una fórmula para la función Z.

Si M y N son números enteros no negativos, entonces la función zeta es igual a

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^{M}{\frac {1}{n^{1-s}}}+R(s)}$

dónde

${\displaystyle \gamma (s)=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}-s}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(1-s)\right)}}}$

es el factor que aparece en la ecuación funcional ζ ( s ) = γ (1 −  s ) ζ (1 −  s ) , y

${\displaystyle R(s)={\frac {-\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int {\frac {(-x)^{s-1}e^{-Nx}}{e^{x}-1}}dx}$

es una integral de contorno cuyo contorno comienza y termina en +∞ y rodea las singularidades de valor absoluto como máximo 2 πM . La ecuación funcional aproximada proporciona una estimación del tamaño del término de error. Siegel (1932) ^[1] y Edwards (1974) derivan la fórmula de Riemann-Siegel a partir de esto aplicando el método del descenso más pronunciado a esta integral para dar una expansión asintótica para el término de error R ( s ) como una serie de potencias negativas de Soy s ). En aplicaciones, s suele estar en la línea crítica, y los números enteros positivos M y N se eligen para que sean aproximadamente (2 π Im( s )) ^1/2 . Gabcke (1979) encontró buenos límites para el error de la fórmula de Riemann-Siegel.

Fórmula integral de Riemann

Riemann demostró que

${\displaystyle \int _{0\searrow 1}{\frac {e^{-i\pi u^{2}+2\pi ipu}}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}}\,du={\frac {e^{i\pi p^{2}}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}}}$

donde el contorno de integración es una línea de pendiente −1 que pasa entre 0 y 1 (Edwards 1974, 7.9).

Usó esto para dar la siguiente fórmula integral para la función zeta:

${\displaystyle \pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\int _{0\swarrow 1}{\frac {x^{-s}e^{\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx+\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {1-s}{2}}\right)\int _{0\searrow 1}{\frac {x^{s-1}e^{-\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx}$

Referencias

1. Barkan, Eric; Sklar, David (2018). "Sobre Riemanns Nachlass para la teoría analítica de números: una traducción del Uber de Siegel". arXiv : 1810.05198 [matemáticas HO].

• Berry, Michael V. (1995), "La expansión de Riemann-Siegel para la función zeta: órdenes superiores y restos", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A: Ciencias Matemáticas, Físicas y de Ingeniería , 450 (1939): 439–462, doi :10.1098/rspa.1995.0093, ISSN  0962-8444, MR  1349513, Zbl  0842.11030
• Edwards, HM (1974), Función zeta de Riemann , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 58, Nueva York-Londres: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0, Zbl  0315.10035
• Gabcke, Wolfgang (1979), Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel (en alemán), Georg-August-Universität Göttingen, hdl :11858/00-1735-0000-0022-6013-8, Zbl  0499.10040
• Patterson, SJ (1988), Introducción a la teoría de la función zeta de Riemann , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 14, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-33535-3, Zbl  0641.10029
• Siegel, CL (1932), "Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie", Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. Y Phys. Abt. B: Estudio 2 : 45–80, JFM  58.1037.07, Zbl  0004.10501Reimpreso en Gesammelte Abhandlungen, vol. 1. Berlín: Springer-Verlag , 1966.

enlaces externos

• Gourdon, X., Evaluación numérica de la función Zeta de Riemann.
• Weisstein, Eric W. "Fórmula de Riemann-Siegel". MundoMatemático .