Función casi periódica

Una función que "converge" a la periodicidad

En matemáticas , una función casi periódica es, en términos generales, una función de un número real que es periódica dentro de cualquier nivel deseado de precisión, dados "casi-periodos" adecuadamente largos y bien distribuidos. El concepto fue estudiado por primera vez por Harald Bohr y luego generalizado por Vyacheslav Stepanov , Hermann Weyl y Abram Samoilovitch Besicovitch , entre otros. También existe una noción de funciones casi periódicas en grupos abelianos localmente compactos , estudiada por primera vez por John von Neumann .

La periodicidad casi constante es una propiedad de los sistemas dinámicos que parecen repetir sus trayectorias a través del espacio de fases , pero no exactamente. Un ejemplo sería un sistema planetario , con planetas en órbitas que se mueven con períodos que no son conmensurables (es decir, con un vector de período que no es proporcional a un vector de números enteros ). Se puede utilizar un teorema de Kronecker de aproximación diofántica para demostrar que cualquier configuración particular que se produzca una vez, volverá a aparecer con una precisión especificada: si esperamos lo suficiente, podemos observar que todos los planetas vuelven, en un segundo de arco, a las posiciones en las que estaban antes.

Motivación

Existen varias definiciones no equivalentes de funciones casi periódicas. La primera fue dada por Harald Bohr . Su interés inicial se centró en las series finitas de Dirichlet . De hecho, al truncar la serie de la función zeta de Riemann ζ ( s ) para hacerla finita, se obtienen sumas finitas de términos del tipo

${\displaystyle e^{s\log n}\,}$

con s escrito como ( σ  +  it ) – la suma de su parte real σ y su parte imaginaria it . Fijando σ , restringiendo así la atención a una única línea vertical en el plano complejo, podemos ver esto también como

${\displaystyle n^{\sigma }e^{(\log n)it}.\,}$

Tomar una suma finita de tales términos evita las dificultades de la continuación analítica hasta la región σ < 1. Aquí las "frecuencias" log  n no serán todas conmensurables (son tan linealmente independientes sobre los números racionales como los enteros n son multiplicativamente independientes, lo que se reduce a sus factorizaciones primas).

Con esta motivación inicial de considerar tipos de polinomios trigonométricos con frecuencias independientes, se aplicó el análisis matemático para discutir el cierre de este conjunto de funciones básicas, en diversas normas .

La teoría fue desarrollada utilizando otras normas por Besicovitch , Stepanov , Weyl , von Neumann , Turing , Bochner y otros en las décadas de 1920 y 1930.

Funciones uniformes o casi periódicas de Bohr o Bochner

Bohr (1925) ^[1] definió las funciones casi periódicas uniformes como el cierre de los polinomios trigonométricos con respecto a la norma uniforme.

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x}|f(x)|}$

(sobre funciones acotadas f en R ). En otras palabras, una función f es uniformemente casi periódica si para cada ε > 0 existe una combinación lineal finita de ondas seno y coseno que se encuentra a una distancia menor que ε de f con respecto a la norma uniforme. Las frecuencias seno y coseno pueden ser números reales arbitrarios. Bohr demostró que esta definición era equivalente a la existencia de un conjunto relativamente denso de ε  casi-periodos , para todo ε  > 0: es decir, traslaciones T ( ε ) =  T de la variable t haciendo

${\displaystyle \left|f(t+T)-f(t)\right|<\varepsilon .}$

Una definición alternativa debida a Bochner (1926) es equivalente a la de Bohr y es relativamente sencilla de enunciar:

Una función f es casi periódica si cada secuencia { ƒ ( t  +  T _n )} de traslaciones de f tiene una subsecuencia que converge uniformemente para t en (−∞, +∞).

Las funciones casi periódicas de Bohr son esencialmente las mismas que las funciones continuas en la compactificación de Bohr de los reales.

Funciones casi periódicas de Stepanov

El espacio S ^p de funciones casi periódicas de Stepanov (para p  ≥ 1) fue introducido por VV Stepanov (1925). ^[2] Contiene el espacio de funciones casi periódicas de Bohr. Es la clausura de los polinomios trigonométricos bajo la norma

${\displaystyle \|f\|_{S,r,p}=\sup _{x}\left({1 \over r}\int _{x}^{x+r}|f(s)|^{p}\,ds\right)^{1/p}}$

para cualquier valor positivo fijo de r ; para diferentes valores de r, estas normas dan la misma topología y, por lo tanto, el mismo espacio de funciones casi periódicas (aunque la norma en este espacio depende de la elección de  r ).

Funciones casi periódicas de Weyl

El espacio W ^p de funciones casi periódicas de Weyl (para p  ≥ 1) fue introducido por Weyl (1927). ^[3] Contiene el espacio S ^p de funciones casi periódicas de Stepanov. Es la clausura de los polinomios trigonométricos bajo la seminorma

${\displaystyle \|f\|_{W,p}=\lim _{r\to \infty }\|f\|_{S,r,p}}$

Advertencia: hay funciones distintas de cero ƒ con || ƒ || _{W , p}  = 0, como cualquier función acotada de soporte compacto, por lo que para obtener un espacio de Banach hay que hallar el cociente entre estas funciones.

Funciones casi periódicas de Besicovitch

El espacio B ^p de funciones casi periódicas de Besicovitch fue introducido por Besicovitch (1926). ^[4] Es la clausura de los polinomios trigonométricos bajo la seminorma

${\displaystyle \|f\|_{B,p}=\limsup _{x\to \infty }\left({1 \over 2x}\int _{-x}^{x}|f(s)|^{p}\,ds\right)^{1/p}}$

Advertencia: hay funciones ƒ distintas de cero con || ƒ || _{B, p}  = 0, como cualquier función acotada de soporte compacto, por lo que para obtener un espacio de Banach hay que hallar el cociente entre estas funciones.

Las funciones casi periódicas de Besicovitch en B ² tienen una expansión (no necesariamente convergente) como

${\displaystyle \sum a_{n}e^{i\lambda _{n}t}}$

con Σ a²
_nfinito y λ _n real. Por el contrario, cada una de estas series es la expansión de alguna función periódica de Besicovitch (que no es única).

El espacio B ^p de funciones casi periódicas de Besicovitch (para p  ≥ 1) contiene el espacio W ^p de funciones casi periódicas de Weyl. Si se obtiene por cociente un subespacio de funciones "nulas", se puede identificar con el espacio de funciones L ^p en la compactificación de Bohr de los números reales.

Funciones casi periódicas en un grupo localmente compacto

Con estos desarrollos teóricos y la llegada de métodos abstractos (el teorema de Peter-Weyl , la dualidad de Pontryagin y las álgebras de Banach ) se hizo posible una teoría general. La idea general de la casi-periodicidad en relación con un grupo abeliano localmente compacto G se convierte en la de una función F en L ^∞ ( G ), tal que sus traducidas por G forman un conjunto relativamente compacto . De manera equivalente, el espacio de funciones casi periódicas es la clausura normativa de las combinaciones lineales finitas de caracteres de  G . Si G es compacto, las funciones casi periódicas son las mismas que las funciones continuas.

La compactificación de Bohr de G es el grupo abeliano compacto de todos los caracteres posiblemente discontinuos del grupo dual de G , y es un grupo compacto que contiene a G como subgrupo denso. El espacio de funciones casi periódicas uniformes en G se puede identificar con el espacio de todas las funciones continuas en la compactificación de Bohr de  G . De manera más general, la compactificación de Bohr se puede definir para cualquier grupo topológico  G , y los espacios de funciones continuas o L ^p en la compactificación de Bohr se pueden considerar como funciones casi periódicas en  G . Para grupos localmente compactos conexos G la función de G a su compactificación de Bohr es inyectiva si y solo si G es una extensión central de un grupo compacto, o equivalentemente el producto de un grupo compacto y un espacio vectorial de dimensión finita.

Una función en un grupo localmente compacto se llama débilmente casi periódica si su órbita es débilmente relativamente compacta en . ${\displaystyle L^{\infty }}$

Dado un sistema dinámico topológico que consiste en un espacio topológico compacto X con una acción del grupo localmente compacto G , una función continua en X es (débilmente) casi periódica si su órbita es (débilmente) precompacta en el espacio de Banach . ${\displaystyle (X,G)}$ ${\displaystyle C(X)}$

Señales cuasiperiódicas en la síntesis de audio y música

En el procesamiento del habla , el procesamiento de señales de audio y la síntesis musical , una señal cuasiperiódica , a veces llamada señal cuasifiarmónica , es una forma de onda que es prácticamente periódica microscópicamente, pero no necesariamente periódica macroscópicamente. Esto no da una función cuasiperiódica , sino algo más parecido a una función casi periódica, siendo una función casi periódica donde cualquier período es virtualmente idéntico a sus períodos adyacentes pero no necesariamente similar a períodos mucho más lejanos en el tiempo. Este es el caso de los tonos musicales (después del transitorio de ataque inicial) donde todos los parciales o sobretonos son armónicos (es decir, todos los sobretonos están en frecuencias que son un múltiplo entero de una frecuencia fundamental del tono).

Cuando una señal es completamente periódica con período , entonces la señal satisface exactamente ${\displaystyle x(t)\ }$ ${\displaystyle P\ }$

${\displaystyle x(t)=x(t+P)\qquad \forall t\in \mathbb {R} }$

o

${\displaystyle {\Big |}x(t)-x(t+P){\Big |}=0\qquad \forall t\in \mathbb {R} .\ }$

La representación de la serie de Fourier sería

${\displaystyle x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\big [}a_{n}\cos(2\pi nf_{0}t)-b_{n}\sin(2\pi nf_{0}t){\big ]}}$

o

${\displaystyle x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }r_{n}\cos(2\pi nf_{0}t+\varphi _{n})}$

donde es la frecuencia fundamental y los coeficientes de Fourier son ${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{P}}}$

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\,dt\ }$

${\displaystyle a_{n}=r_{n}\cos \left(\varphi _{n}\right)={\frac {2}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\cos(2\pi nf_{0}t)\,dt\qquad n\geq 1}$

${\displaystyle b_{n}=r_{n}\sin \left(\varphi _{n}\right)=-{\frac {2}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\sin(2\pi nf_{0}t)\,dt\ }$

donde puede ser en cualquier momento: . ${\displaystyle t_{0}\ }$ ${\displaystyle -\infty <t_{0}<+\infty \ }$

La frecuencia fundamental y los coeficientes de Fourier , , , o , son constantes, es decir, no son funciones del tiempo. Las frecuencias armónicas son múltiplos enteros exactos de la frecuencia fundamental. ${\displaystyle f_{0}\ }$ ${\displaystyle a_{n}\ }$ ${\displaystyle b_{n}\ }$ ${\displaystyle r_{n}\ }$ ${\displaystyle \varphi _{n}\ }$

¿Cuándo es cuasiperiódico entonces? ${\displaystyle x(t)\ }$

${\displaystyle x(t)\approx x{\big (}t+P(t){\big )}\ }$

o

${\displaystyle {\Big |}x(t)-x{\big (}t+P(t){\big )}{\Big |}<\varepsilon \ }$

dónde

${\displaystyle 0<\epsilon \ll {\big \Vert }x{\big \Vert }={\sqrt {\overline {x^{2}}}}={\sqrt {\lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{-\tau /2}^{\tau /2}x^{2}(t)\,dt}}.\ }$

Ahora la representación de la serie de Fourier sería

${\displaystyle x(t)=a_{0}(t)\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}(t)\cos \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)-b_{n}(t)\sin \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)\right]}$

o

${\displaystyle x(t)=a_{0}(t)\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }r_{n}(t)\cos \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau +\varphi _{n}(t)\right)}$

o

${\displaystyle x(t)=a_{0}(t)+\sum _{n=1}^{\infty }r_{n}(t)\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}f_{n}(\tau )\,d\tau +\varphi _{n}(0)\right)}$

donde es la frecuencia fundamental posiblemente variable en el tiempo y los coeficientes de Fourier variables en el tiempo son ${\displaystyle f_{0}(t)={\frac {1}{P(t)}}}$

${\displaystyle a_{0}(t)={\frac {1}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\,d\tau \ }$

${\displaystyle a_{n}(t)=r_{n}(t)\cos {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}={\frac {2}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\cos {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau {\big )}\,d\tau \qquad n\geq 1}$

${\displaystyle b_{n}(t)=r_{n}(t)\sin {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}=-{\frac {2}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\sin {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau {\big )}\,d\tau \ }$

y la frecuencia instantánea para cada parcial es

${\displaystyle f_{n}(t)=nf_{0}(t)+{\frac {1}{2\pi }}\varphi _{n}^{\prime }(t).\,}$

Mientras que en este caso cuasiperiódico, la frecuencia fundamental , las frecuencias armónicas y los coeficientes de Fourier , , , o no son necesariamente constantes, y son funciones del tiempo aunque varían lentamente . Dicho de otra manera, estas funciones del tiempo están limitadas por una banda mucho menor que la frecuencia fundamental para ser consideradas cuasiperiódicas. ${\displaystyle f_{0}(t)\ }$ ${\displaystyle f_{n}(t)\ }$ ${\displaystyle a_{n}(t)\ }$ ${\displaystyle b_{n}(t)\ }$ ${\displaystyle r_{n}(t)\ }$ ${\displaystyle \varphi _{n}(t)\ }$ ${\displaystyle x(t)\ }$

Las frecuencias parciales son casi armónicas, pero no necesariamente exactamente armónicas. La derivada temporal de , es decir , tiene el efecto de desafinar las frecuencias parciales respecto de su valor armónico entero exacto . Un cambio rápido significa que la frecuencia instantánea de esa frecuencia parcial está severamente desafinada respecto del valor armónico entero, lo que significaría que no es cuasiperiódica. ${\displaystyle f_{n}(t)\ }$ ${\displaystyle \varphi _{n}(t)\ }$ ${\displaystyle \varphi _{n}^{\prime }(t)\ }$ ${\displaystyle nf_{0}(t)\ }$ ${\displaystyle \varphi _{n}(t)\ }$ ${\displaystyle x(t)\ }$

Véase también

• Función cuasiperiódica
• Función aperiódica
• Teselación cuasiperiódica
• Serie de Fourier
• Síntesis aditiva
• Serie armónica (música)
• Música por computadora

Referencias

1. H. Bohr, "Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I" Acta Math., 45 (1925) págs.
2. W. Stepanoff (= VV Stepanov), "Sur quelques généralisations des fonctions presque périodiques" CR Acad. Ciencia. París, 181 (1925) págs. 90–92; W. Stepanoff (=VV Stepanov), "Ueber einige Verallgemeinerungen der fastperiodischen Funktionen" Math. Ann., 45 (1925) págs. 473–498
3. H. Weyl, "Integralgleichungen und fastperiodische Funktionen" Matemáticas. Ann., 97 (1927) págs. 338–356
4. AS Besicovitch, "Sobre funciones casi periódicas generalizadas" Proc. London Math. Soc. (2), 25 (1926) págs. 495–512

Bibliografía

• Amerio, Luigi ; Prouse, Giovanni (1971), Funciones casi periódicas y ecuaciones funcionales , The University Series in Higher Mathematics, Nueva York–Cincinnati–Toronto–Londres–Melbourne: Van Nostrand Reinhold , pp. viii+184, ISBN 0-442-20295-4, MR  0275061, Zbl  0215.15701.
• AS Besicovitch, "Funciones casi periódicas", Cambridge Univ. Press (1932)
• Bochner, S. (1926), "Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen", Math. Annalen , 96 : 119–147, doi : 10.1007/BF01209156, S2CID  118124462
• S. Bochner y J. von Neumann, "Función casi periódica en un grupo II", Trans. Amer. Math. Soc., 37 núm. 1 (1935) págs. 21–50
• H. Bohr, "Funciones casi periódicas", Chelsea, reimpresión (1947)
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "Funciones casi periódicas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "Funciones casi periódicas de Besicovitch", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "Funciones casi periódicas de Bohr", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "Funciones casi periódicas de Stepanov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "Funciones casi periódicas de Weyl", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• J. von Neumann, "Funciones casi periódicas en un grupo I", Trans. Amer. Math. Soc., 36 núm. 3 (1934) págs. 445–492

Enlaces externos

• "Función casi periódica (definición equivalente)". PlanetMath .