Función de despedida

función matemática

En matemáticas , la familia de funciones de Debye está definida por

${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{e^{t}-1}}\,dt.}$

Las funciones reciben su nombre en honor a Peter Debye , quien se topó con esta función (con n = 3) en 1912 cuando calculó analíticamente la capacidad calorífica de lo que ahora se llama modelo de Debye .

Propiedades matemáticas

Relación con otras funciones

Las funciones de Debye están estrechamente relacionadas con el polilogaritmo .

Expansión de la serie

Tienen la expansión de la serie ^[1]

${\displaystyle D_{n}(x)=1-{\frac {n}{2(n+1)}}x+n\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k+n)(2k)!}}x^{2k},\quad |x|<2\pi ,\ n\geq 1,}$

¿Dónde está el enésimo número de Bernoulli ? ${\displaystyle B_{n}}$

Valores limitantes

${\displaystyle \lim _{x\to 0}D_{n}(x)=1.}$

Si es la función gamma y es la función zeta de Riemann , entonces, para , ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle x\gg 0}$

${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}\,dt}{e^{t}-1}}\sim {\frac {n}{x^{n}}}\Gamma (n+1)\zeta (n+1),\qquad \operatorname {Re} n>0,}$^[2]

Derivado

La derivada obedece a la relación.

${\displaystyle xD_{n}^{\prime }(x)=n(B(x)-D_{n}(x)),}$

¿Dónde está la función de Bernoulli? ${\displaystyle B(x)=x/(e^{x}-1)}$

Aplicaciones en física del estado sólido

El modelo Debyé

El modelo de Debye tiene una densidad de estados vibratorios.

${\displaystyle g_{\rm {D}}(\omega )={\frac {9\omega ^{2}}{\omega _{\rm {D}}^{3}}}}$para ${\displaystyle 0\leq \omega \leq \omega _{\rm {D}}}$

con la frecuencia de Debye ω _D .

Energía interna y capacidad calorífica.

Insertando g en la energía interna

${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }d\omega \,g(\omega )\,\hbar \omega \,n(\omega )}$

con la distribución de Bose-Einstein

${\displaystyle n(\omega )={\frac {1}{\exp(\hbar \omega /k_{\rm {B}}T)-1}}}$.

Se obtiene

${\displaystyle U=3k_{\rm {B}}T\,D_{3}(\hbar \omega _{\rm {D}}/k_{\rm {B}}T)}$.

La capacidad calorífica es la derivada de la misma.

Desplazamiento medio cuadrático

La intensidad de la difracción de rayos X o de la difracción de neutrones en el número de onda q viene dada por el factor de Debye-Waller o el factor de Lamb-Mössbauer . Para sistemas isotrópicos toma la forma

${\displaystyle \exp(-2W(q))=\exp(-q^{2}\langle u_{x}^{2}\rangle }$).

En esta expresión, el desplazamiento cuadrático medio se refiere a una sola componente cartesiana u _x del vector u que describe el desplazamiento de los átomos desde sus posiciones de equilibrio. Suponiendo armonía y desarrollando modos normales, ^[3] se obtiene

${\displaystyle 2W(q)={\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\rm {B}}T}}\int _{0}^{\infty }d\omega {\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar \omega }}g(\omega )\coth {\frac {\hbar \omega }{2k_{\rm {B}}T}}={\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\rm {B}}T}}\int _{0}^{\infty }d\omega {\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar \omega }}g(\omega )\left[{\frac {2}{\exp(\hbar \omega /k_{\rm {B}}T)-1}}+1\right].}$

Insertando la densidad de estados del modelo de Debye, se obtiene

${\displaystyle 2W(q)={\frac {3}{2}}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{M\hbar \omega _{\rm {D}}}}\left[2\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar \omega _{\rm {D}}}}\right)D_{1}\left({\frac {\hbar \omega _{\rm {D}}}{k_{\rm {B}}T}}\right)+{\frac {1}{2}}\right]}$.

De la expansión en serie de potencias anterior se deduce que el desplazamiento cuadrático medio a altas temperaturas es lineal en temperatura ${\displaystyle D_{1}}$

${\displaystyle 2W(q)={\frac {3k_{\rm {B}}Tq^{2}}{M\omega _{\rm {D}}^{2}}}}$.

La ausencia de indica que se trata de un resultado clásico . Porque va a cero para se sigue que para ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle D_{1}(x)}$ ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle T=0}$

${\displaystyle 2W(q)={\frac {3}{4}}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{M\hbar \omega _{\rm {D}}}}}$( movimiento de punto cero ).

Referencias

1. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 27". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 998.ISBN​ 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253.
2. Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. "3.411.". En Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. págs. 355 y siguientes. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
3. Ashcroft y Mermin 1976, aplicación. L,

Otras lecturas

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 27". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 998.ISBN​ 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253.
• Entrada "Función Debye" en MathWorld, define las funciones Debye sin prefactor n / x ⁿ

Implementaciones

• Ng, EW; Devine, CJ (1970). "Sobre el cálculo de funciones de Debye de órdenes de números enteros". Matemáticas. comp . 24 (110): 405–407. doi : 10.1090/S0025-5718-1970-0272160-6 . SEÑOR  0272160.
• Engeln, I.; Wobig, D. (1983). "Cálculo de las funciones generalizadas de Debye delta (x, y) y D (x, y)". Ciencia de coloides y polímeros . 261 : 736–743. doi :10.1007/BF01410947. S2CID  98476561.
• MacLeod, Allan J. (1996). "Algoritmo 757: MISCFUN, un paquete de software para calcular funciones especiales poco comunes". Transmisión ACM. Matemáticas. Software . 22 (3): 288–301. doi : 10.1145/232826.232846 . S2CID  37814348.código fortran 77
• Versión Fortran 90
• Maximón, Leonard C. (2003). "La función dilogaritmo para argumentos complejos". Proc. R. Soc. A . 459 (2039): 2807–2819. Código Bib : 2003RSPSA.459.2807M. doi :10.1098/rspa.2003.1156. S2CID  122271244.
• Guseinov, II; Mamedov, BA (2007). "Cálculo de funciones Debye n-dimensionales enteras y no enteras utilizando coeficientes binomiales y funciones gamma incompletas". En t. J. Thermophys . 28 (4): 1420-1426. Código Bib : 2007IJT....28.1420G. doi :10.1007/s10765-007-0256-1. S2CID  120284032.
• Versión C de la Biblioteca Científica GNU