Transformada de Fourier fraccionaria

Transformada de Fourier de potencia n-ésima

En matemáticas , en el área del análisis armónico , la transformada de Fourier fraccionaria ( FRFT ) es una familia de transformaciones lineales que generalizan la transformada de Fourier . Puede considerarse como la transformada de Fourier a la n -ésima potencia, donde n no necesita ser un número entero ; por lo tanto, puede transformar una función a cualquier dominio intermedio entre el tiempo y la frecuencia . Sus aplicaciones van desde el diseño de filtros y el análisis de señales hasta la recuperación de fase y el reconocimiento de patrones .

La FRFT se puede utilizar para definir la convolución fraccionaria , la correlación y otras operaciones, y también se puede generalizar aún más en la transformación canónica lineal (LCT). Una definición temprana de la FRFT fue introducida por Condon ^[1] , al resolver la función de Green para rotaciones en el espacio de fases, y también por Namias ^[2], generalizando el trabajo de Wiener ^[3] sobre polinomios de Hermite .

Sin embargo, no fue ampliamente reconocido en el procesamiento de señales hasta que fue reintroducido independientemente alrededor de 1993 por varios grupos. ^[4] Desde entonces, ha habido un aumento de interés en extender el teorema de muestreo de Shannon ^{[5] [6]} para señales que están limitadas en banda en el dominio de Fourier fraccional.

^{Bailey y Swartztrauber [7]} introdujeron un significado completamente diferente para "transformada de Fourier fraccionaria" como esencialmente otro nombre para una transformada z , y en particular para el caso que corresponde a una transformada de Fourier discreta desplazada por una cantidad fraccionaria en el espacio de frecuencia (multiplicando la entrada por un chirp lineal ) y evaluando en un conjunto fraccionario de puntos de frecuencia (por ejemplo, considerando solo una pequeña porción del espectro). (Estas transformadas se pueden evaluar de manera eficiente mediante el algoritmo FFT de Bluestein ). Sin embargo, esta terminología ha caído en desuso en la mayor parte de la literatura técnica, en preferencia a la FRFT. El resto de este artículo describe la FRFT.

Introducción

La transformada de Fourier continua de una función es un operador unitario del espacio que asigna la función a su versión frecuencial (todas las expresiones se toman en el sentido, en lugar de puntualmente): ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {C} }$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} x}$$

y se determina mediante la transformada inversa ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\,,}$

$${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi i\xi x}\,\mathrm {d} \xi \,.}$$

Estudiemos su iteración n -ésima definida por y cuando n es un entero no negativo, y . Su sucesión es finita ya que es un automorfismo 4-periódico : para cada función , . ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{n}[f]={\mathcal {F}}[{\mathcal {F}}^{n-1}[f]]}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-n}=({\mathcal {F}}^{-1})^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{0}[f]=f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}[f]=f}$

Más precisamente, introduzcamos el operador de paridad que invierte , . Entonces se cumplen las siguientes propiedades: ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}[f]\colon x\mapsto f(-x)}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}^{0}=\mathrm {Id} ,\qquad {\mathcal {F}}^{1}={\mathcal {F}},\qquad {\mathcal {F}}^{2}={\mathcal {P}},\qquad {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {Id} }$$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}^{3}={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}}.}$$

La FRFT proporciona una familia de transformaciones lineales que extienden aún más esta definición para manejar potencias no enteras de la FT. ${\displaystyle n=2\alpha /\pi }$

Definición

Nota: algunos autores escriben la transformación en términos del "orden a " en lugar del "ángulo α ", en cuyo caso α suele ser a por π /2 . Aunque estas dos formas son equivalentes, hay que tener cuidado con la definición que utiliza el autor.

Para cualquier α real , la transformada de Fourier fraccionaria del ángulo α de una función ƒ se denota por y se define por ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(u)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }[f](u)={\sqrt {1-i\cot(\alpha )}}e^{i\pi \cot(\alpha )u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi i\left(\csc(\alpha )ux-{\frac {\cot(\alpha )}{2}}x^{2}\right)}f(x)\,\mathrm {d} x}$

^{[8] [9] [10]}

Para α = π /2 , esta se convierte precisamente en la definición de la transformada de Fourier continua, y para α = − π /2 es la definición de la transformada de Fourier continua inversa.

El argumento de FRFT u no es ni espacial x ni de frecuencia ξ . Veremos por qué se puede interpretar como combinación lineal de ambas coordenadas ( x , ξ ) . Cuando queramos distinguir el dominio fraccionario α -angular, denotaremos el argumento de . ${\displaystyle x_{a}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }}$

Observación: con la convención de frecuencia angular ω en lugar de la de frecuencia, la fórmula FRFT es el núcleo de Mehler . $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(f)(\omega )={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}e^{i\cot(\alpha )\omega ^{2}/2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\csc(\alpha )\omega t+i\cot(\alpha )t^{2}/2}f(t)\,dt~.}$$

Propiedades

El operador de transformada de Fourier fraccionaria de orden α , , tiene las propiedades: ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }}$

Aditividad

Para cualquier ángulo real α, β , $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha +\beta }={\mathcal {F}}_{\alpha }\circ {\mathcal {F}}_{\beta }={\mathcal {F}}_{\beta }\circ {\mathcal {F}}_{\alpha }.}$$

Linealidad

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }\left[\sum \nolimits _{k}b_{k}f_{k}(u)\right]=\sum \nolimits _{k}b_{k}{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[f_{k}(u)\right]}$$

Órdenes enteras

Si α es un múltiplo entero de , entonces: ${\displaystyle \pi /2}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }={\mathcal {F}}_{k\pi /2}={\mathcal {F}}^{k}=({\mathcal {F}})^{k}}$$

Además, tiene la siguiente relación

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}}&&{\mathcal {P}}[f(u)]=f(-u)\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}=({\mathcal {F}})^{-1}\\{\mathcal {F}}^{4}&={\mathcal {F}}^{0}={\mathcal {I}}\\{\mathcal {F}}^{i}&={\mathcal {F}}^{j}&&i\equiv j\mod 4\end{aligned}}}$$

Inverso

$${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{\alpha })^{-1}={\mathcal {F}}_{-\alpha }}$$

Conmutatividad

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}}$$

Asociatividad

$${\displaystyle \left({\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}\right){\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}\left({\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}\right)}$$

Unitaridad

$${\displaystyle \int f(t)g^{*}(t)dt=\int f_{\alpha }(u)g_{\alpha }^{*}(u)du}$$

Inversión del tiempo

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }{\mathcal {P}}={\mathcal {P}}{\mathcal {F}}_{\alpha }}$$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }[f(-u)]=f_{\alpha }(-u)}$$

Transformada de una función desplazada

Defina los operadores de desplazamiento y de desplazamiento de fase de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {SH}}(u_{0})[f(u)]&=f(u+u_{0})\\{\mathcal {PH}}(v_{0})[f(u)]&=e^{j2\pi v_{0}u}f(u)\end{aligned}}}$$

Entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{\alpha }{\mathcal {SH}}(u_{0})&=e^{j\pi u_{0}^{2}\sin \alpha \cos \alpha }{\mathcal {PH}}(u_{0}\sin \alpha ){\mathcal {SH}}(u_{0}\cos \alpha ){\mathcal {F}}_{\alpha },\end{aligned}}}$$

eso es,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{\alpha }[f(u+u_{0})]&=e^{j\pi u_{0}^{2}\sin \alpha \cos \alpha }e^{j2\pi uu_{0}\sin \alpha }f_{\alpha }(u+u_{0}\cos \alpha )\end{aligned}}}$$

Transformada de una función escalada

Defina los operadores de escala y multiplicación de chirp de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}M(M)[f(u)]&=|M|^{-{\frac {1}{2}}}f\left({\tfrac {u}{M}}\right)\\Q(q)[f(u)]&=e^{-j\pi qu^{2}}f(u)\end{aligned}}}$$

Entonces, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{\alpha }M(M)&=Q\left(-\cot \left({\frac {1-\cos ^{2}\alpha '}{\cos ^{2}\alpha }}\alpha \right)\right)\times M\left({\frac {\sin \alpha }{M\sin \alpha '}}\right){\mathcal {F}}_{\alpha '}\\[6pt]{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[|M|^{-{\frac {1}{2}}}f\left({\tfrac {u}{M}}\right)\right]&={\sqrt {\frac {1-j\cot \alpha }{1-jM^{2}\cot \alpha }}}e^{j\pi u^{2}\cot \left({\frac {1-\cos ^{2}\alpha '}{\cos ^{2}\alpha }}\alpha \right)}\times f_{a}\left({\frac {Mu\sin \alpha '}{\sin \alpha }}\right)\end{aligned}}}$$

Obsérvese que la transformada de Fourier fraccionaria de no se puede expresar como una versión escalada de . En cambio, la transformada de Fourier fraccionaria de resulta ser una versión escalada y modulada por chirp de donde es un orden diferente. ^[11] ${\displaystyle f(u/M)}$ ${\displaystyle f_{\alpha }(u)}$ ${\displaystyle f(u/M)}$ ${\displaystyle f_{\alpha '}(u)}$ ${\displaystyle \alpha \neq \alpha '}$

Núcleo fraccional

La FRFT es una transformación integral donde el núcleo del ángulo α es $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }f(u)=\int K_{\alpha }(u,x)f(x)\,\mathrm {d} x}$$ $${\displaystyle K_{\alpha }(u,x)={\begin{cases}{\sqrt {1-i\cot(\alpha )}}\exp \left(i\pi (\cot(\alpha )(x^{2}+u^{2})-2\csc(\alpha )ux)\right)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is not a multiple of }}\pi ,\\\delta (u-x)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is a multiple of }}2\pi ,\\\delta (u+x)&{\mbox{if }}\alpha +\pi {\mbox{ is a multiple of }}2\pi ,\\\end{cases}}}$$

Aquí nuevamente los casos especiales son consistentes con el comportamiento límite cuando α se acerca a un múltiplo de π .

La FRFT tiene las mismas propiedades que sus núcleos:

• simetría: ${\displaystyle K_{\alpha }~(u,u')=K_{\alpha }~(u',u)}$
• inverso: ${\displaystyle K_{\alpha }^{-1}(u,u')=K_{\alpha }^{*}(u,u')=K_{-\alpha }(u',u)}$
• aditividad: ${\displaystyle K_{\alpha +\beta }(u,u')=\int K_{\alpha }(u,u'')K_{\beta }(u'',u')\,\mathrm {d} u''.}$

Transformaciones relacionadas

También existen generalizaciones fraccionarias relacionadas de transformadas similares, como la transformada de Fourier discreta .

• La transformada de Fourier fraccionaria discreta está definida por Zeev Zalevsky . ^{[12] [13]} Somma describe un algoritmo cuántico para implementar una versión de la transformada de Fourier fraccionaria discreta en tiempo subpolinomial. ^[14]
• La transformada wavelet fraccional (FRWT) es una generalización de la transformada wavelet clásica en los dominios de la transformada de Fourier fraccional. ^[15]
• La transformada chirplet es una generalización relacionada de la transformada wavelet .

Generalizaciones

La transformada de Fourier es esencialmente bosónica ; funciona porque es consistente con el principio de superposición y los patrones de interferencia relacionados. También existe una transformada de Fourier fermiónica . ^[16] Estas se han generalizado en una FRFT supersimétrica y una transformada de Radon supersimétrica . ^[16] También existe una transformada de Radon fraccionaria, una FRFT simpléctica y una transformada wavelet simpléctica . ^[17] Debido a que los circuitos cuánticos se basan en operaciones unitarias , son útiles para calcular transformadas integrales ya que estas últimas son operadores unitarios en un espacio de funciones . Se ha diseñado un circuito cuántico que implementa la FRFT. ^[18]

Interpretación

Una función rect se convierte en una función sinc cuando el orden de la transformada de Fourier fraccionaria se convierte en 1

La interpretación habitual de la transformada de Fourier es como una transformación de una señal del dominio del tiempo en una señal del dominio de la frecuencia. Por otro lado, la interpretación de la transformada de Fourier inversa es como una transformación de una señal del dominio de la frecuencia en una señal del dominio del tiempo. Las transformadas de Fourier fraccionarias transforman una señal (ya sea en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia) en el dominio entre el tiempo y la frecuencia: es una rotación en el dominio del tiempo-frecuencia . Esta perspectiva se generaliza mediante la transformación canónica lineal , que generaliza la transformada de Fourier fraccionaria y permite transformadas lineales del dominio del tiempo-frecuencia distintas de la rotación.

Tomemos como ejemplo la siguiente figura. Si la señal en el dominio del tiempo es rectangular (como se muestra a continuación), se convierte en una función sinc en el dominio de la frecuencia. Pero si se aplica la transformada de Fourier fraccionaria a la señal rectangular, la salida de la transformación estará en el dominio entre el tiempo y la frecuencia.

Transformada de Fourier fraccionaria

La transformada de Fourier fraccionaria es una operación de rotación sobre una distribución de tiempo-frecuencia . De la definición anterior, para α  = 0, no habrá ningún cambio después de aplicar la transformada de Fourier fraccionaria, mientras que para α  =  π /2, la transformada de Fourier fraccionaria se convierte en una transformada de Fourier simple, que rota la distribución de tiempo-frecuencia con  π /2. Para otros valores de  α , la transformada de Fourier fraccionaria rota la distribución de tiempo-frecuencia según α. La siguiente figura muestra los resultados de la transformada de Fourier fraccionaria con diferentes valores de  α .

Distribución de tiempo/frecuencia de la transformada de Fourier fraccionaria

Solicitud

La transformada de Fourier fraccional se puede utilizar en el análisis de frecuencia de tiempo y DSP . ^[19] Es útil para filtrar el ruido, pero con la condición de que no se superponga con la señal deseada en el dominio de tiempo-frecuencia. Considere el siguiente ejemplo. No podemos aplicar un filtro directamente para eliminar el ruido, pero con la ayuda de la transformada de Fourier fraccional, podemos rotar la señal (incluyendo la señal deseada y el ruido) primero. Luego aplicamos un filtro específico, que permitirá que solo pase la señal deseada. Por lo tanto, el ruido se eliminará por completo. Luego usamos la transformada de Fourier fraccional nuevamente para rotar la señal nuevamente y podemos obtener la señal deseada.

Transformada de Fourier fraccionaria en DSP

Por lo tanto, utilizando únicamente el truncamiento en el dominio del tiempo, o equivalentemente filtros de paso bajo en el dominio de la frecuencia, se puede cortar cualquier conjunto convexo en el espacio de tiempo-frecuencia. Por el contrario, utilizando herramientas del dominio del tiempo o del dominio de la frecuencia sin una transformada de Fourier fraccionaria solo se podrían cortar rectángulos paralelos a los ejes.

Las transformadas de Fourier fraccionarias también tienen aplicaciones en la física cuántica. Por ejemplo, se utilizan para formular relaciones de incertidumbre entrópica ^[20] , en esquemas de distribución de claves cuánticas de alta dimensión con fotones individuales ^[21] y en la observación del entrelazamiento espacial de pares de fotones ^{[22] .}

También son útiles en el diseño de sistemas ópticos y para optimizar la eficiencia del almacenamiento holográfico. ^{[23] [24]}

Véase también

• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• Cálculo fraccionario
• Núcleo de Mehler

Otras transformadas de tiempo-frecuencia:

• Transformación canónica lineal
• Transformada de Fourier de corta duración
• Transformada wavelet
• Transformación de Chirplet
• Función de distribución en forma de cono
• Transformada cuadrática de Fourier
• Transformada Z de Chirp

Referencias

1. Condon, Edward U. (1937). "Inmersión de la transformada de Fourier en un grupo continuo de transformaciones funcionales". Proc. Natl. Sci. USA . 23 (3): 158–164. Bibcode :1937PNAS...23..158C. doi : 10.1073/pnas.23.3.158 . PMC  1076889 . PMID  16588141.
2. Namias, V. (1980). "La transformada de Fourier de orden fraccionario y su aplicación a la mecánica cuántica". IMA Journal of Applied Mathematics . 25 (3): 241–265. doi :10.1093/imamat/25.3.241.
3. Wiener, N. (abril de 1929). "Polinomios hermíticos y análisis de Fourier". Revista de matemáticas y física . 8 (1–4): 70–73. doi :10.1002/sapm19298170.
4. Almeida, Luís B. (1994). "La transformada de Fourier fraccional y las representaciones tiempo-frecuencia". IEEE Trans. Signal Process . 42 (11): 3084–3091. Bibcode :1994ITSP...42.3084A. doi :10.1109/78.330368. S2CID  29757211.
5. Tao, Ran; Deng, Bing; Zhang, Wei-Qiang; Wang, Yue (2008). "Muestreo y conversión de frecuencia de muestreo de señales limitadas por banda en el dominio de la transformada de Fourier fraccional". IEEE Transactions on Signal Processing . 56 (1): 158–171. Bibcode :2008ITSP...56..158T. doi :10.1109/TSP.2007.901666. S2CID  7001222.
6. Bhandari, A.; Marziliano, P. (2010). "Muestreo y reconstrucción de señales dispersas en el dominio fraccional de Fourier". IEEE Signal Processing Letters . 17 (3): 221–224. Bibcode :2010ISPL...17..221B. doi :10.1109/LSP.2009.2035242. hdl : 10356/92280 . S2CID  11959415.
7. Bailey, DH; Swarztrauber, PN (1991). "La transformada de Fourier fraccional y aplicaciones". SIAM Review . 33 (3): 389–404. doi :10.1137/1033097.(Tenga en cuenta que este artículo se refiere a la variante de transformación chirp-z, no a la FRFT).
8. Formalmente, esta fórmula solo es válida cuando la función de entrada está en un espacio suficientemente agradable (como L¹ o el espacio de Schwartz ), y se define a través de un argumento de densidad en el caso general.
9. Missbauer, Andreas (2012). Marcos de Gabor y la transformada de Fourier fraccional (PDF) (MSc). Universidad de Viena . Archivado desde el original (PDF) el 3 de noviembre de 2018. Consultado el 3 de noviembre de 2018 .
10. Si α es un múltiplo entero de π, entonces las funciones cotangente y cosecante anteriores divergen. Esta aparente divergencia se puede manejar tomando el límite en el sentido de distribuciones templadas , y conduce a una función delta de Dirac en el integrando. Este enfoque es consistente con la intuición de que, dado que debe ser simplemente f ( t ) o f (− t ) para α un múltiplo par o impar de π respectivamente. ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}(f)=f(-t)~,~~{\mathcal {F}}_{\alpha }~(f)}$
11. Una receta elemental, utilizando la función contangente y su inversa (multivaluada), para en términos de y existe. ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle M}$
12. Candan, Kutay y Ozaktas 2000.
13. Ozaktas, Zalevsky y Kutay 2001, capítulo 6.
14. Somma, Rolando D. (2016). "Simulaciones cuánticas de sistemas cuánticos unidimensionales". Información y computación cuántica . 16 : 1125–1168. arXiv : 1503.06319v2 .
15. Shi, Jun; Zhang, NaiTong; Liu, Xiaoping (junio de 2012). "Una nueva transformada wavelet fraccional y sus aplicaciones". Sci. China Inf. Sci . 55 (6): 1270–1279. doi :10.1007/s11432-011-4320-x. S2CID  3772011.
16. De Bie, Hendrik (1 de septiembre de 2008). "Transformada de Fourier y transformadas integrales relacionadas en el superespacio". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 345 (1): 147–164. arXiv : 0805.1918 . Código Bibliográfico :2008JMAA..345..147D. doi :10.1016/j.jmaa.2008.03.047. S2CID  17066592.
17. Fan, Hong-yi; Hu, Li-yun (2009). "Transformación óptica de chirplet a núcleo de transformación de Fourier fraccional". Journal of Modern Optics . 56 (11): 1227–1229. arXiv : 0902.1800 . Código Bibliográfico :2009JMOp...56.1227F. doi :10.1080/09500340903033690. S2CID  118463188.
18. Klappenecker, Andreas; Roetteler, Martin (enero de 2002). "Ingeniería de algoritmos cuánticos funcionales". Physical Review A . 67 (1): 010302. arXiv : quant-ph/0208130 . doi :10.1103/PhysRevA.67.010302. S2CID  14501861.
19. Sejdic, Ervin; Djurović, Igor; Stanković, LJubiša (junio de 2011). "La transformada fraccional de Fourier como herramienta de procesamiento de señales: una descripción general de los desarrollos recientes". Procesamiento de señales . 91 (6): 1351-1369. doi :10.1016/j.sigpro.2010.10.008. S2CID  14203403.
20. Huang, Yichen (24 de mayo de 2011). "Relaciones de incertidumbre entrópica en espacios multidimensionales de posición y momento". Physical Review A . 83 (5): 052124. arXiv : 1101.2944 . Código Bibliográfico :2011PhRvA..83e2124H. doi :10.1103/PhysRevA.83.052124. S2CID  119243096.
21. Walborn, SP; Lemelle, DS; Tasca, DS; Souto Ribeiro, PH (13 de junio de 2008). "Esquemas para la distribución de claves cuánticas con alfabetos de orden superior utilizando óptica de Fourier fraccional de fotón único". Physical Review A . 77 (6): 062323. doi :10.1103/PhysRevA.77.062323.
22. Tasca, DS; Walborn, SP; Souto Ribeiro, PH; Toscano, F (8 de julio de 2008). "Detección de entrelazamiento transversal en el espacio de fases". Physical Review A . 78 (1): 010304(R). arXiv : 0806.3044 . doi :10.1103/PhysRevA.78.010304. S2CID  118607762.
23. Pégard, Nicolas C.; Fleischer, Jason W. (2011). "Optimización del almacenamiento de datos holográficos mediante una transformada de Fourier fraccional". Optics Letters . 36 (13): 2551–2553. Bibcode :2011OptL...36.2551P. doi :10.1364/OL.36.002551. PMID  21725476.
24. Jagoszewski, Eugeniusz (1998). "Transformada de Fourier fraccionaria en configuraciones ópticas" (PDF) . Optica Applicata . XXVIII (3): 227–237.

Bibliografía

• Candan, C.; Kutay, MA; Ozaktas, HM (mayo de 2000). "La transformada de Fourier fraccionaria discreta" (PDF) . IEEE Transactions on Signal Processing . 48 (5): 1329–1337. Bibcode :2000ITSP...48.1329C. doi :10.1109/78.839980. hdl : 11693/11130 .
• Ding, Jian-Jiun (2007). Análisis de frecuencia temporal y transformada wavelet (Apuntes de clase). Taipei, Taiwán: Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad Nacional de Taiwán (NTU).
• Lohmann, AW (1993). "Rotación de imágenes, rotación de Wigner y la transformada de Fourier fraccional". J. Opt. Soc. Am . A (10): 2181–2186. Código Bibliográfico :1993JOSAA..10.2181L. doi :10.1364/JOSAA.10.002181.
• Ozaktas, Haldun M .; Zalevsky, Zeev; Kutay, M. Alper (2001). La transformada de Fourier fraccionaria con aplicaciones en óptica y procesamiento de señales. Serie en Óptica pura y aplicada. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-96346-2.
• Pei, Soo-Chang; Ding, Jian-Jiun (2001). "Relaciones entre operaciones fraccionarias y distribuciones de tiempo-frecuencia, y sus aplicaciones". IEEE Trans. Signal Process . 49 (8): 1638–1655. Bibcode :2001ITSP...49.1638P. doi :10.1109/78.934134.
• Saxena, Rajiv; Singh, Kulbir (enero-febrero de 2005). "Transformada fraccional de Fourier: una nueva herramienta para el procesamiento de señales" (PDF) . J. Indian Inst. Sci . 85 : 11–26. Archivado desde el original (PDF) el 16 de julio de 2011.

Enlaces externos

• DiscreteTFDs: software para calcular la transformada de Fourier fraccionaria y las distribuciones de tiempo-frecuencia
• "Transformada Fraccionaria de Fourier" de Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project .
• Páginas web sobre la Transformada Fraccionaria de Fourier (FRFT) del Dr. YangQuan Chen
• LTFAT - Una caja de herramientas gratuita (GPL) de Matlab / Octave Contiene varias versiones de la transformada de Fourier fraccionaria Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine .